山東 史立霞 秦 振

高中數(shù)學(xué)存在性問題，一般是已知某些條件，判斷是否存在某種數(shù)學(xué)對象，使結(jié)論成立.這類問題的解題策略是先假設(shè)符合條件的數(shù)學(xué)對象存在，然后進(jìn)行運(yùn)算和推理，若經(jīng)過運(yùn)算能求出這個數(shù)學(xué)對象，或經(jīng)過推理沒有產(chǎn)生矛盾，那就說明符合條件的數(shù)學(xué)對象存在；若經(jīng)過運(yùn)算求不出這個數(shù)學(xué)對象，或者經(jīng)過推理產(chǎn)生矛盾，那就說明符合條件的數(shù)學(xué)對象不存在.也可以找出一個符合條件的數(shù)學(xué)對象，然后證明其存在.下面結(jié)合例題介紹高中數(shù)學(xué)存在性問題的常見題型及解題策略.

一、是否存在“值”的問題

題型特點(diǎn)：一般是在確定的條件下判斷某個常數(shù)是否存在，或是否存在某個常數(shù)的范圍，或某條線段是否存在最小值(或最大值)，或某個圖形的面積是否存在最小值(或最大值)的問題.這類問題常常出現(xiàn)“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問詞，以示結(jié)論有待判斷.

解題策略：解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的“值”存在，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.

【例1】(2019·全國卷Ⅲ理·20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.

【分析】(Ⅰ)求出f′(x)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論解決；(Ⅱ)假設(shè)滿足題設(shè)的a，b存在.由(Ⅰ)的結(jié)果，將問題轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值問題，根據(jù)題意列出方程組，解方程組，得到a，b的值，然后判斷所得值是否滿足條件，得出結(jié)論.

若a=0，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)設(shè)滿足題設(shè)的a，b存在.

(ⅰ)當(dāng)a≤0時，由(Ⅰ)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=b，最大值為f(1)=2-a+b.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1，2-a+b=1時，即a=0，b=-1.

(ⅱ)當(dāng)a≥3時，由(Ⅰ)知，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)=b，最小值f(1)=2-a+b.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=1，2-a+b=-1時，即a=4，b=1.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=-1或a=4，b=1時，滿足f(x)在[0,1]上的最小值為-1，最大值為1.

【說明】第(Ⅱ)問的解法具有代表性，它是利用(Ⅰ)的結(jié)果和方法，也就是由(Ⅰ)得到的“形成性解法”，經(jīng)過計算，推理得到答案.

二、是否存在某種位置關(guān)系

題型特點(diǎn)：一般是在確定的條件下判斷某一位置關(guān)系是否存在的問題.這類問題也是以“是否存在”“是否有”“是否變化”“能否出現(xiàn)”等疑問詞呈現(xiàn)，以示結(jié)論有待判斷.

解題策略：解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的位置關(guān)系存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)、或者直線方程、或者向量，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在，最后求出點(diǎn)的坐標(biāo).

【例2】(2017·全國卷Ⅲ文·20)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：

(Ⅰ)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由.

(Ⅱ)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.

【分析】(Ⅰ)假設(shè)能出現(xiàn)AC⊥BC.設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，由x1，x2的特點(diǎn)，可得x1·x2=-2，驗證直線AC的斜率與直線BC的斜率之積是否等于-1，即可得出結(jié)論.(Ⅱ)通過求BC，AB的中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)來確定圓心坐標(biāo)及半徑.由弦心距、半弦長、半徑組成一個直角三角形，借助勾股定理求出弦長為定值，從而得證.

【解析】(Ⅰ)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況.理由如下：

【說明】常見的位置關(guān)系還有點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線、點(diǎn)與二次曲線、直線與二次曲線、二次曲線與二次曲線的關(guān)系等，解題時通過數(shù)形結(jié)合，合理轉(zhuǎn)化，將題目變?yōu)槲覀兪煜さ摹俺Ｒ?guī)”問題來解決.

三、是否存在點(diǎn)的問題

題型特點(diǎn)：一般是在確定的條件下判斷某一點(diǎn)，或某幾個點(diǎn)是否存在的問題.這類問題也是以“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問詞呈現(xiàn)，以示結(jié)論有待判斷.

解題策略：解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的點(diǎn)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.最后求出點(diǎn)的坐標(biāo).

【例3】(2019·全國卷Ⅰ文·21)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB|=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切.

(Ⅰ)若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

(Ⅱ)存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA|-|MP|為定值.

理由如下：

【說明】第(Ⅱ)問的解法是從條件入手，根據(jù)問題的特點(diǎn)，借助圖形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，推出結(jié)果，是典型的綜合法.這也是解存在性問題的常用方法.

四、是否存在直線的問題

題型特點(diǎn)：一般是在確定的條件下判斷某一條直線，或幾條直線是否存在的問題.這類問題也是以“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問詞呈現(xiàn)，以示結(jié)論有待判斷.

解題策略：解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的直線存在，設(shè)出直線方程為y=kx+b，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，將問題轉(zhuǎn)化為探索參數(shù)k和b的存在問題.若直線的斜率和截距存在，則所求直線存在，可求出直線方程；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在.注意直線斜率不存在時，需要驗證此時直線的存在性.

(Ⅱ)當(dāng)∠F1AB=90°時，A在x軸上方，求A，B的坐標(biāo)；

(Ⅲ)若直線AF1交y軸于M，直線BF1交y軸于N，問是否存在直線l，使得S△F1AB=S△F1MN，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

【說明】解第(Ⅲ)問時，根據(jù)直線的特點(diǎn)，設(shè)直線AB方程為x=my+2，避免了斜率的討論；因可構(gòu)成△F1AB，由m的存在判定直線l存在.在利用S△F1AB=S△F1MN時，根據(jù)圖形的特征得S△F1AB=S△F1AF2+S△F1BF2，將兩點(diǎn)M(0,ym)，N(0,yn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為用A(x1,y1)，B(x2,y2)的坐標(biāo)表示，由此聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于m的方程，從而得到直線方程.從解題過程可知，解決問題的過程就是將問題合理轉(zhuǎn)化的過程.

五、是否存在圓錐曲線的問題

題型特點(diǎn)：一般是在確定的條件下判斷某條圓錐曲線是否存在的問題.這類問題也是以“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問詞呈現(xiàn)，以示結(jié)論有待判斷.

解題策略：解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的曲線存在，設(shè)出曲線方程，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若曲線是橢圓或雙曲線時，就將問題轉(zhuǎn)化為探索參數(shù)a，b的存在問題；若曲線是拋物線時，就將問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)p是否存在問題；若曲線是圓時，設(shè)出圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，將問題轉(zhuǎn)化為探索參數(shù)a，b和r的存在問題.若參數(shù)存在，則所求曲線存在，可求出曲線方程；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在.

(Ⅰ)求雙曲線E的離心率；

(Ⅱ)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)(A，B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.

若直線AB與雙曲線E另有公共點(diǎn)N，則x1≠x2.因為x1=x2時，A，B關(guān)于x軸對稱，y0=0.從而由對稱性可知，AB與雙曲線E有兩個公共點(diǎn)，相矛盾.

當(dāng)x1=x2時，有x1=x2=2，點(diǎn)M(2,0)在E上，此時M為E的右頂點(diǎn)，為AB與E的唯一公共點(diǎn).