云南 唐明超 子銀奎

解三角形是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)研究三角形的三條邊與三個(gè)角共六個(gè)基本元素，常規(guī)試題中一般是給出六個(gè)元素中的某幾個(gè)具有關(guān)聯(lián)的元素求解另外幾個(gè)元素，主要考查正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用.解單個(gè)三角形的過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，但是解答有公共邊的兩個(gè)或三個(gè)三角形的復(fù)合問(wèn)題就顯得相對(duì)復(fù)雜，雖然本質(zhì)還是解三角形，但問(wèn)題的分析與解決過(guò)程對(duì)抽象概括能力、推理論證能力與運(yùn)算求解能力的要求比較高，主要體現(xiàn)在正弦定理與余弦定理的有效選擇以及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.本文基于解三角形的基本原理和方法對(duì)一類(lèi)具有公共邊的復(fù)合三角形問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，并嘗試對(duì)此類(lèi)題型進(jìn)行分析，給出一般性的求解策略，為學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)、為教師開(kāi)展教學(xué)研究活動(dòng)提供參考素材.

類(lèi)型1 解有一條公共邊的兩個(gè)三角形

1.1三角形內(nèi)角平分線問(wèn)題

【例1】(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

試題分析：從試題的呈現(xiàn)方式上看，試題由兩個(gè)具有公共邊的三角形復(fù)合得來(lái)，圖形中含有三個(gè)不同的三角形，而且公共邊恰好是大三角形的內(nèi)角平分線；從知識(shí)的角度看，本題主要考查正弦定理、余弦定理等平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用.第(Ⅰ)問(wèn)的求解需要根據(jù)已知條件中的面積關(guān)系并借助三角形的面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，選用三角形的不同面積公式可以得到不同的解法如下.

對(duì)于第(Ⅱ)問(wèn)的解答需要充分用好已知條件及第(Ⅰ)問(wèn)的結(jié)論，尋找相關(guān)量間的邏輯聯(lián)系，建立已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得出答案，突出三角形中的方程思想.

1.2三角形的中線問(wèn)題

試題分析：公共邊是大三角形的中線，根據(jù)鄰角或補(bǔ)角的性質(zhì)可以考慮運(yùn)用余弦定理建立方程組解題.

評(píng)析：該種方法具有一定的局限性，僅適用于確定了兩個(gè)或確定更多基本量的三角形問(wèn)題，對(duì)于其他類(lèi)型的問(wèn)題要嘗試用好三角形的中線性質(zhì)，靈活運(yùn)用向量間的基本關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題，如例3.

【例3】(2012·浙江卷理·15改編)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1，∠BAC=60°，則△ABC面積的最大值=________.

評(píng)析：對(duì)于公共邊是中線的解三角形問(wèn)題，首先要結(jié)合已知條件確定三角形的基本量，從已知基本量最多的三角形入手，利用余弦定理或是正弦定理構(gòu)造關(guān)于邊與角的方程組，通過(guò)解方程組實(shí)現(xiàn)三角形基本量的求解；但如果三角形中已知的基本量不足3個(gè)時(shí)要考慮借助中線的性質(zhì)綜合向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)向量與數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)解題.

1.3三角形的高線問(wèn)題

試題分析：當(dāng)公共邊為三角形的高線時(shí)，復(fù)合三角形中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形，此時(shí)既可以考慮使用勾股定理也可以結(jié)合已知條件合理選用正弦定理和余弦定理解題，當(dāng)然出現(xiàn)垂直這個(gè)特殊的幾何特征，坐標(biāo)法也是一種簡(jiǎn)單快捷的方法.

評(píng)析：在平面幾何圖形中求相關(guān)幾何量時(shí)，需尋找各個(gè)三角形之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及的已知幾何量與所要求的幾何量集中到某一個(gè)三角形中，然后選用正弦定理與余弦定理求解.該題還可以使用坐標(biāo)系法和向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)解題，由于題目較基礎(chǔ)，此處不予展開(kāi).

1.4其他三角形中連接頂點(diǎn)與對(duì)邊任意一點(diǎn)的復(fù)合問(wèn)題

【例5】(2019·浙江卷·14)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D在線段AC上，若∠BDC=45°，則BD=________，cos∠ABD=________.

試題分析：解決一般性的復(fù)合三角形問(wèn)題，要基于已知條件尋找基本量之間的數(shù)量關(guān)系，盡可能地將三角形的邊角關(guān)系確定下來(lái)，再借助正弦定理與余弦定理先計(jì)算已知基本量最多的三角形的邊和角，多次運(yùn)用正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)解題.

評(píng)析：利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題往往需要將實(shí)際問(wèn)題抽象概括后盡可能地讓已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，這樣既可以使用正弦定理也可以使用余弦定理求解；實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先處理有兩個(gè)條件及以上的三角形，再逐步解答其他的三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，通過(guò)解方程(組)得出所要的解.

1.5三角形中連接三個(gè)頂點(diǎn)與內(nèi)部任意一點(diǎn)的復(fù)合問(wèn)題

(Ⅱ)若∠APB=150°，求tan∠PBA的值.

試題分析：該題可以理解為由三個(gè)兩兩共邊的三角形復(fù)合而來(lái)，整體看上去相對(duì)復(fù)雜，但是認(rèn)真讀題后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)還是解三角形，所以弄清楚三角形邊與角的關(guān)系，將未知量固定于某個(gè)已知量較多的三角形中，逆向思考要解決該問(wèn)題還需要什么條件，用什么定理，最后正向書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程即可.

評(píng)析：解該題的關(guān)鍵在于列方程前把要知道的邊用目標(biāo)角表示出來(lái)，通過(guò)分析題目發(fā)現(xiàn)要解決第(Ⅰ)問(wèn)首先要建立關(guān)于PA的方程，而建立方程先要確定一個(gè)包含PA邊的三角形；第(Ⅱ)問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)還是要用目標(biāo)角θ將未知邊PB表示出來(lái)，再利用三角形內(nèi)角和定理確定第三個(gè)角，這樣在△PBA中就找到了四個(gè)可以建立關(guān)系的基本量，從而實(shí)現(xiàn)弦切互化得出結(jié)果；當(dāng)然本題出現(xiàn)了垂直關(guān)系，還可以借助平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)解題.

類(lèi)型2 三角形復(fù)合為四邊形的問(wèn)題

2.1四邊形對(duì)角互補(bǔ)問(wèn)題

【例7】(2014·全國(guó)卷Ⅱ文·17)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

(Ⅰ)求C和BD；

(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積.

試題分析：該題中具有公共邊的兩個(gè)三角形復(fù)合為對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，而且四邊形的邊都是已知的，對(duì)于其中的任意一個(gè)三角形均能找出三個(gè)有關(guān)系的基本量；又由兩個(gè)角互補(bǔ)可知余弦值互為相反數(shù)，所以可以考慮用兩次余弦定理求出未知量；第(Ⅱ)問(wèn)在第(Ⅰ)問(wèn)的基礎(chǔ)上很容易，分別求出兩個(gè)三角形的面積，從而得出四邊形的面積.

評(píng)析：整個(gè)解答過(guò)程完全基于三角形基本量的運(yùn)算，雖然題目呈現(xiàn)的是四邊形的邊角關(guān)系，但是本質(zhì)還是解三角形，用好對(duì)角互補(bǔ)這一條件，既可以根據(jù)余弦值互為相反數(shù)還可以根據(jù)正弦值相等建立等量關(guān)系實(shí)現(xiàn)解題.

2.2四邊形的其他問(wèn)題

【例8】(2018·全國(guó)卷Ⅰ理·17)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(Ⅰ)求cos∠ADB；

試題分析：該題中的兩個(gè)三角形均有至少兩個(gè)已知的基本量，可以很自然地想到利用余弦定理或是正弦定理求解，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)△ABD中已知兩邊及其一邊的對(duì)角，可以考慮將第(Ⅰ)問(wèn)中未知量的求解置于△ABD中，進(jìn)一步選擇最簡(jiǎn)便的方法；第(Ⅱ)問(wèn)在第(Ⅰ)問(wèn)的基礎(chǔ)之上可以利用兩角互余確定cos∠BDC，從而求得BC.

評(píng)析：解答該題的關(guān)鍵在于找出已知的基本量，將要求的基本量固定于一個(gè)具體的三角形中，合理選擇正弦定理與余弦定理實(shí)現(xiàn)基本量的計(jì)算，另外注意利用互余的兩個(gè)角正弦值與余弦值相等建立等量關(guān)系.