孫攀旭，楊 紅,2，劉慶林3(. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶；重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶；深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院交通與環(huán)境學(xué)院，深圳 5872)

由不同阻尼特性材料組成的工程結(jié)構(gòu)稱為混合結(jié)構(gòu)，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用到機(jī)械工程、航空航天工程、土木工程等領(lǐng)域?；旌辖Y(jié)構(gòu)是非比例阻尼體系，對應(yīng)的阻尼矩陣不再滿足經(jīng)典阻尼條件，如何求解混合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)是抗震分析中亟待解決的問題。解決該問題的常見方法是，采用應(yīng)變能法[1 ? 4]、近似解耦法[5 ? 6]、復(fù)頻率法[7 ? 8]、Rayleigh 阻尼法[9 ? 11]等計算出等效阻尼比，進(jìn)而基于傳統(tǒng)的實模態(tài)疊加法計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。上述方法的思路是將混合結(jié)構(gòu)簡化為等效的單一材料比例阻尼體系，這容易導(dǎo)致一定的誤差，計算精度難以保證。Foss[12]將運動方程擴(kuò)展為狀態(tài)方程組，進(jìn)而提出了狀態(tài)空間法。依據(jù)狀態(tài)空間法，可實現(xiàn)混合結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)疊加法，在復(fù)數(shù)域中求得運動方程的精確解[13 ? 16]。復(fù)模態(tài)疊加法計算結(jié)果的正確性依賴于阻尼矩陣的合理構(gòu)造，但在結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中，合理地構(gòu)造出能正確反映結(jié)構(gòu)真實情況的阻尼矩陣是十分困難的[17]。

Rayleigh 阻尼模型假定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合[18]，由于數(shù)學(xué)處理上的簡易性，使其得到了廣泛的應(yīng)用。Clough 等[19]將子結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣假定為Rayleigh 阻尼矩陣，進(jìn)而組裝得到混合結(jié)構(gòu)的分塊Rayleigh 阻尼矩陣。保證分塊Rayleigh 阻尼模型合理性的關(guān)鍵在于如何確定阻尼系數(shù)。阻尼系數(shù)的計算方法不合理將帶來較大誤差[20 ? 22]。針對如何確定Rayleigh阻尼系數(shù)的問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了系統(tǒng)研究，Idriss 等[23]僅采用結(jié)構(gòu)的基本頻率確定阻尼系數(shù)，Yoshida 等[24]提出了在主要頻率范圍內(nèi)計算阻尼系數(shù)的方法，Hudson 等[25]依據(jù)結(jié)構(gòu)的基本頻率和地震波的卓越頻率確定阻尼系數(shù)，鄒德高等[26]、李哲等[27]在考慮結(jié)構(gòu)基本頻率和地震波卓越頻率的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步修正了阻尼系數(shù)的計算方法，許紫剛等[28]提出基于基本頻率、地震波卓越頻率與形心頻率的平均值確定阻尼系數(shù)。為考慮整個振動頻率范圍內(nèi)阻尼系數(shù)的影響，王田友等[29]依據(jù)結(jié)構(gòu)的基本頻率和輸入振動的頻率范圍確定兩個振型，并用于計算阻尼系數(shù)，潘旦光等[30 ? 32]以結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)峰值的誤差為目標(biāo)函數(shù)，采用最小二乘法確定阻尼系數(shù)。

上述方法依據(jù)結(jié)構(gòu)體系的振動特性和/或外激勵的頻譜特性確定阻尼系數(shù)，本文在上述研究的基礎(chǔ)上，提出了基于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性確定阻尼系數(shù)的新思路。Rayleigh 阻尼系數(shù)一般通過選擇兩個重要振型的自振頻率和振型阻尼比進(jìn)行確定，為保持這一工程常用方法的簡便性，同時解決振型選擇方式不唯一導(dǎo)致地震響應(yīng)計算結(jié)果存在不確定性的問題，本文提出了一種基于動力特性確定Rayleigh 阻尼系數(shù)的計算方法，即在求解瞬態(tài)反應(yīng)時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階振型確定阻尼系數(shù)；求解穩(wěn)態(tài)反應(yīng)時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的基本振型和外激勵頻率確定阻尼系數(shù)，可有效避免傳統(tǒng)方法計算阻尼系數(shù)時振型選擇的不唯一性，從而構(gòu)建出對應(yīng)的分塊Rayleigh 阻尼矩陣，實現(xiàn)了混合結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)疊加法。事實上，非比例阻尼模型計算過程需涉及復(fù)振型，這樣才能更符合工程問題的本質(zhì)特性[33]，相比基于等效阻尼比的實模態(tài)疊加法，本文提出的基于動力特性的混合結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)復(fù)模態(tài)疊加法可考慮工程結(jié)構(gòu)中不同阻尼特性材料導(dǎo)致的非比例阻尼特性。

1 基于動力特性的阻尼矩陣構(gòu)建

1.1 黏性阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法

基于黏性阻尼模型的時域運動方程為：

式中：M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；I為與地震動輸入有關(guān)的向量(N×1 )，與g(t)方向相同的位移自由度元素為1。

由M和K可計算得到結(jié)構(gòu)的無阻尼自振頻率，進(jìn)一步依據(jù)分塊Rayleigh 阻尼模型[19]，阻尼矩陣可表示為：

1.2 基于動力特性的阻尼矩陣構(gòu)造

混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法的正確性依賴于合理的阻尼矩陣，目前常用的阻尼矩陣構(gòu)造方法為分塊Rayleigh 阻尼模型。Rayleigh 阻尼模型的實質(zhì)是選擇兩個重要的振型，以便使計算的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)逼近結(jié)構(gòu)的實際響應(yīng)。結(jié)構(gòu)承受地面運動激勵時需要考慮瞬態(tài)反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)反應(yīng)[19]，因此本文依據(jù)瞬態(tài)反應(yīng)和穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的特性分別確定對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的兩個振型，進(jìn)而構(gòu)建出阻尼矩陣。

考慮到地震波可以分解為一系列簡諧波，因此首先分析諧波作用下基于黏性阻尼模型的時域運動方程，對應(yīng)的方程形式為：

隨著振型階數(shù)的增加，ωj逐漸增大，振幅的幅值H逐漸減小，qpj(t)逐漸減小，同時振型參與系數(shù) γj也逐漸減??；當(dāng)阻尼比 ξj較小， 2ξjβj的大小可忽略不計， βj接近1 時，振幅的幅值趨近于無窮大，此時結(jié)構(gòu)發(fā)生共振現(xiàn)象。因此，在結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)xp(t)中，最重要的兩階振型分別為第一階振型以及與外激勵頻率接近的振型。

綜上，本文提出了基于結(jié)構(gòu)線彈性響應(yīng)分離的經(jīng)典思路構(gòu)造分塊Rayleigh 阻尼矩陣的新方法，即針對瞬態(tài)反應(yīng)部分，選擇與第一階振型和第二階振型對應(yīng)的自振頻率、振型阻尼比構(gòu)造分塊Rayleigh 阻尼矩陣；針對穩(wěn)態(tài)反應(yīng)部分，選擇第一階振型以及與外激勵頻率接近振型所對應(yīng)的自振頻率、振型阻尼比構(gòu)造分塊Rayleigh 阻尼矩陣。

2 基于地震波卓越頻率的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法

2.1 基于地震波卓越頻率的阻尼矩陣

地震波作用下基于分塊Rayleigh 阻尼矩陣模型的齊次運動方程為：

依據(jù)1.2 節(jié)分析，求解齊次方程通解時，選取第一階振型和第二階振型對應(yīng)的自振頻率和振型阻尼比，可計算出阻尼系數(shù)為：

式中：ω1為第一階振型的自振頻率；ω2為第二階振型的自振頻率； ξei為第i種材料對應(yīng)子結(jié)構(gòu)的材料阻尼系數(shù)產(chǎn)生的振型阻尼比[9, 34 ? 35]。

地震波作用下基于分塊Rayleigh 阻尼矩陣的非齊次運動方程為：

穩(wěn)態(tài)反應(yīng)對應(yīng)的阻尼矩陣可表示為：

依據(jù)1.2 節(jié)分析，求解非齊次方程特解時，選擇第一階振型、與外激勵頻率接近振型對應(yīng)的自振頻率和振型阻尼比。目前確定阻尼系數(shù)的計算方法較多[23 ? 32]，本文對比了利用結(jié)構(gòu)基頻確定阻尼系數(shù)的方法、利用最小二乘法確定阻尼系數(shù)的方法、利用結(jié)構(gòu)基頻和地震波卓越頻率確定阻尼系數(shù)的方法。選擇不同的方法并不影響以下理論推導(dǎo)過程，為了更清楚地展示本文方法的核心思路、保持計算的簡便性，并考慮同時利用結(jié)構(gòu)振動特性和地震動特性，本文首先選擇依據(jù)結(jié)構(gòu)的第一階振型自振頻率、地震波卓越頻率確定阻尼系數(shù)，進(jìn)一步可得：

綜上，由式(35)可確定阻尼系數(shù)，進(jìn)而得到了基于地震波卓越頻率的分塊Rayleigh 阻尼矩陣。

2.2 基于地震波卓越頻率的復(fù)模態(tài)疊加法

采用數(shù)值積分方法進(jìn)行計算時，按照時間步長 ?t對輸入地震動加速度記錄進(jìn)行離散，任意時刻可表示為tk=k?t(k=0,1,2,···) ，利用tk時刻結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，計算tk+1時刻的響應(yīng)。由式(16)可知，求解混合結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)需要計算方程式(14)中單自由度結(jié)構(gòu)的加加速度(即qj(t)的三階微分)，因此傳統(tǒng)的時域逐步積分計算方法將不再適用，本文采用瞬態(tài)反應(yīng)與穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分離的時域數(shù)值方法計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

重復(fù)式(36)～式(45)，可實現(xiàn)基于地震波卓越頻率的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法。

3 基于地震波的諧波頻率的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法

3.1 基于諧波頻率的阻尼矩陣

對于頻帶較寬的地震波，卓越頻率不能有效地表現(xiàn)地震波的主要頻譜特性，為此本文對基于地震波卓越頻率的阻尼矩陣進(jìn)行改進(jìn)，將輸入地震波加速度采用三角級數(shù)展開，得：

綜上，由式(51)可確定阻尼系數(shù)，進(jìn)而得到基于諧波頻率的分塊Rayleigh 阻尼矩陣。

3.2 基于諧波頻率的復(fù)模態(tài)疊加法

為實現(xiàn)基于諧波頻率的復(fù)模態(tài)疊加法，首先計算齊次運動方程對應(yīng)的通解xc(t)，與基于地震波卓越頻率的復(fù)模態(tài)疊加法相同，解耦后的齊次方程為式(36)，求解可得：

依據(jù)復(fù)特征向量的正交性，可由xc(t0) 和x˙c(t0)得到qcj(t0) 和q˙cj(t0)，完成初值的確定，進(jìn)而實現(xiàn)基于諧波頻率的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法。

4 試驗校核與計算分析

圖1 試件動力響應(yīng)的試驗系統(tǒng)Fig. 1 Test system of specimens’ dynamic responses

將由不同阻尼特性材料組成的懸臂板試件作為試驗對象采用圖1 所示的試驗測試系統(tǒng)，通過振動臺控制系統(tǒng)對試件的基底施加隨機(jī)激勵，同時采用多普勒振動測試系統(tǒng)測量試件的動力響應(yīng)。振動測試系統(tǒng)可直接采集試件的速度響應(yīng)，需根據(jù)采集頻率進(jìn)行相應(yīng)的積分或微分處理才能得到構(gòu)件的位移或加速度響應(yīng)，為避免后期的數(shù)據(jù)再處理導(dǎo)致的誤差，本文僅分析了試件的速度響應(yīng)，以驗證本文方法的正確性。

懸臂板試件的具體尺寸如圖2 所示，拾振點的位置如圖3 所示，考慮到4 個拾振點的位置是對稱分布的，本文僅選取拾振點A和拾振點B的動力響應(yīng)進(jìn)行分析、對比。試驗選取尺寸和材料相同的2 個試件(CP-1 和CP-2)進(jìn)行測試，試件的材料參數(shù)如表1 所示，子結(jié)構(gòu)的振型阻尼比為對應(yīng)材料損耗因子的1/2[38?40]，基層結(jié)構(gòu)的振型阻尼比為0.0015，阻尼層結(jié)構(gòu)的振型阻尼比為0.295。采用數(shù)值模擬，由試件的整體質(zhì)量矩陣和整體剛度矩陣通過模態(tài)分析可得到試件的前5 階振型的無阻尼自振頻率為15.26 Hz、35.58 Hz、90.13 Hz、118.54 Hz 和132.41 Hz。

圖2 試件的尺寸 /mm Fig. 2 Size of specimen

圖3 拾振點的位置 /mm Fig. 3 Locations of vibration receiving points

表1 試件的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of specimen

4.1 試件CP-1 的試驗結(jié)果和計算結(jié)果對比

利用振動臺控制系統(tǒng)，對試件CP-1 施加隨機(jī)激勵，其振動頻率的范圍為100 Hz～150 Hz。由信號采集系統(tǒng)可得到隨機(jī)激勵的加速度時程(見圖4(a))和對應(yīng)的傅里葉譜(見圖4(b))。分別采用基于第一階振型和第二階振型的復(fù)模態(tài)疊加法(CRS)、本文提出的基于地震波卓越頻率的復(fù)模態(tài)疊加法(CRZ)和基于地震波的諧波頻率的復(fù)模態(tài)疊加法(CRX)計算試件CP-1 在隨機(jī)激勵作用下的速度時程，并將其分別與多普勒振動測試系統(tǒng)測量的試件速度響應(yīng)時程(CP-1-Test)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5 所示。如表2 所示，對比拾振點A的速度峰值IA，CRS的相對誤差 δA為39.33%，CRZ 的相對誤差 δA為10.49%，CRX 的相對誤差 δA為8.16%；對比拾振點B的速度峰值IB，CRS 的相對誤差 δB為32.19%，CRZ 的相對誤差 δB為15.78%，CRX 的相對誤差δB為11.90%。結(jié)果表明，相比CRS，考慮了地震動頻譜特征影響的CRZ 和CRX 的計算精度更高；對于窄頻帶的外激勵，相比CRZ，CRX 的計算精度并沒有明顯提高，但CRX 的計算量較大。因此，對于窄頻帶的外激勵，應(yīng)優(yōu)先選用CRZ。

4.2 試件CP-2 的試驗結(jié)果和計算結(jié)果對比

利用振動臺控制系統(tǒng)對試件CP-2 施加頻帶較寬的隨機(jī)激勵，其振動頻率的范圍為40 Hz～150 Hz。由信號采集系統(tǒng)可得到隨機(jī)激勵的加速度時程(見圖6(a))和對應(yīng)的傅里葉譜(見圖6(b))。分別采用CRS、CRZ 和CRX 計算試件CP-2 在隨機(jī)激勵作用下的速度時程，并分別與多普勒振動測試系統(tǒng)得到的速度時程(CP-2-Test)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。如表3 所示，對比拾振點A的速度峰值IA，CRS 的相對誤差 δA為23.45%，CRZ 的相對誤差 δA為13.11%，CRX 的相對誤差 δA為7.92%；對比拾振點B的速度峰值IB，CRS 的相對誤差 δB為47.50%，CRZ 的相對誤差 δB為19.28%，CRX 的相對誤差 δB為11.15%。結(jié)果表明，與試件CP-1 的分析結(jié)果相同，CRZ 和CRX 的計算精度相比CRS 明顯更高。與試件CP-1 不同的是，隨著外激勵頻帶增寬，CRX 的計算精度比CRZ 明顯增高。因此，CRZ 計算量更小、適用范圍受限，CRX 的計算精度更高，具有更寬泛的適用范圍，在對計算精度有要求時，建議采用CRX。

圖4 試件CP-1 的隨機(jī)激勵Fig. 4 Random external excitation of specimen CP-1

圖5 試件CP-1 的速度響應(yīng)時程Fig. 5 Velocity time-history responses of specimen CP-1

5 算例分析

如圖8 所示，模型A 和模型B 是由不同阻尼特性材料組成的7 層平面框架，1 層～4 層均為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)、5 層～7 層為鋼結(jié)構(gòu)?？蚣艿讓痈叨冉詾? m、其余各層層高均為3 m，跨度均為6 m，鋼筋混凝土柱、梁的截面尺寸分別為400 mm×500 mm、300 mm×400 mm，鋼柱、梁的截面尺寸分別為HM400 mm×300 mm×10 mm×16 mm、HM300 mm×200 mm×8 mm×12 mm，各 樓 層 集 中 質(zhì) 量 皆 為2 0000 kg。與模型A 相比，模型B 的唯一區(qū)別是增設(shè)了X 型阻尼器，材料參數(shù)見表4。

表2 試件CP-1 的動力響應(yīng)對比Table 2 Comparisons of dynamic responses of specimen CP-1

圖6 試件CP-2 的隨機(jī)激勵Fig. 6 Random external excitation of specimen CP-2

圖7 試件CP-2 的速度響應(yīng)時程Fig. 7 Velocity time-history responses of specimen CP-2

表3 試件CP-2 的動力響應(yīng)對比Table 3 Comparisons of dynamic responses of specimen CP-2

地震動輸入選取天津地震波和遷安地震波，對應(yīng)的加速度時程和傅里葉幅值譜分別如圖9 和圖10 所示。其中，天津地震波的頻帶較窄，遷安地震波的頻帶較寬。分別采用基于應(yīng)變能法的實模態(tài)疊加法(RY)[1 ? 4]、CRZ 和CRX 計算模型A、模型B 在地震波作用下結(jié)構(gòu)頂層節(jié)點1(位置見圖8)的動力響應(yīng)，結(jié)果如圖11、圖12、圖13 和圖14所示。

圖8 模型示意圖Fig. 8 Schematics of structural models

表4 不同材料的參數(shù)Table 4 Parameters of different materials

對于模型A，天津地震波作用下，RY、CRZ和CRX 計算得到的頂層動力響應(yīng)時程近似相等(見圖11)。相比RY，CRZ 的位移峰值相對誤差為3.65%，加速度峰值相對誤差為2.47%；CRX的位移峰值相對誤差為0.35%，加速度峰值相對誤差為在0.30%(見表5)。遷安地震波作用下，RY和CRX 計算得到的頂層加速度時程近似相等，但CRZ 計算得到的動力響應(yīng)時程明顯不同(見圖12)。相比RY，CRZ 的位移峰值相對誤差為19.78%，加速度峰值相對誤差為14.96%；CRX 的位移峰值相對誤差為0.27%，加速度峰值相對誤差為在0.18%(見表5)。因此，對于非比例阻尼特性較小的混合結(jié)構(gòu)，RY 和CRX 的計算結(jié)果近似相等，而CRZ 僅適用于計算窄頻帶地震波作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。

圖9 天津地震波的加速度時程和傅里葉譜Fig. 9 Acceleration time-history and Fourier amplitude spectrum of Tianjin seismic wave

圖10 遷安地震波的加速度時程和傅里葉譜Fig. 10 Acceleration time-history and Fourier amplitude spectrum of Qian'an seismic wave

圖11 天津波作用下模型A 的頂層時程響應(yīng)Fig. 11 Top floor time-history responses of Model A under Tianjin wave

圖12 遷安波作用下模型A 的頂層時程響應(yīng)Fig. 12 Top floor time-history responses of Model A under Qian'an wave

圖13 天津波作用下模型B 的頂層時程響應(yīng)Fig. 13 Top floor time-history responses of Model B under Tianjin wave

圖14 遷安波作用下模型B 的頂層時程響應(yīng)Fig. 14 Top floor time-history responses of Model B under Qian'an wave

表5 模型A 的頂層響應(yīng)對比Table 5 Comparisons of top floor responses of Model A

對于模型B，天津地震波作用下，CRZ 和CRX計算得到的頂層動力響應(yīng)時程近似相等，RY 計算得到的動力響應(yīng)時程明顯不同(見圖13)。相比RY，CRZ 的位移峰值相對誤差為12.85%，加速度峰值相對誤差為22.11%；CRX 的位移峰值相對誤差為10.19%，加速度峰值相對誤差為在17.16%(見表6)。遷安地震波作用下，RY、CRZ 和CRX計算得到的模型B 頂層加速度時程明顯不同(見圖14)。相比RY，CRZ 的位移峰值相對誤差為22.21%，加速度峰值相對誤差為11.58%；CRX 的位移峰值相對誤差為12.12%，加速度峰值相對誤差為在11.98%(見表6)。因此，對于非比例阻尼特性較大的混合結(jié)構(gòu)，RY 與CRZ、CRX 的計算結(jié)果差異較大。與模型A 的規(guī)律相同，窄頻帶地震波作用下，CRZ 和CRX 的計算結(jié)果近似相等，隨著地震波頻帶的增寬，CRZ 與CRX 的計算結(jié)果差異增大。

表6 模型B 的頂層響應(yīng)對比Table 6 Comparisons of top floor responses of Model B

綜上，對于非比例阻尼特性較小的混合結(jié)構(gòu)，RY 與CRZ、CRX 的計算結(jié)果近似相等，隨著混合結(jié)構(gòu)非比例阻尼特性增大，RY 與CRZ、CRX 的計算結(jié)果差異增大。與試驗結(jié)果的規(guī)律相同，CRZ 的計算量小，但僅適用于窄頻帶地震波作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算；CRX 的計算精度更高，且適用于寬頻帶地震波作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算，但計算量大。

6 結(jié)論

針對基于Rayleigh 阻尼模型的地震反應(yīng)分析過程中阻尼系數(shù)確定方法存在的問題，本文提出了基于動力特性確定Rayleigh 阻尼系數(shù)的新方法，經(jīng)過理論推導(dǎo)和試驗校核得到以下結(jié)論：

(1)求解地震波作用下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)反應(yīng)時，依據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階振型確定阻尼系數(shù)；求解地震波作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)時，依據(jù)結(jié)構(gòu)的基本振型、與地震波卓越頻率接近的振型確定阻尼系數(shù)，得到基于地震波卓越頻率的分塊Rayleigh 阻尼模型。結(jié)合輸入地震波加速度時程在時間步長內(nèi)線性變化的假定，提出了相應(yīng)的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法。

(2)卓越頻率僅能反映窄頻帶地震波的頻譜特性。對于具有明顯寬帶頻譜特性的地震波，借助快速傅里葉變換，將輸入地震波加速度表示為一系列諧波的疊加組合，得到每一條諧波的頻率。求解地震波作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)時，依據(jù)結(jié)構(gòu)的基本振型、與諧波頻率接近的振型確定阻尼系數(shù)，得到基于諧波頻率的分塊Rayleigh 阻尼模型，建立了對應(yīng)的混合結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)疊加法。

(3)試驗結(jié)果和計算對比分析表明，基于動力響應(yīng)特性確定Rayleigh 阻尼系數(shù)的計算方法避免了傳統(tǒng)方法存在的振型選擇不唯一導(dǎo)致的計算結(jié)果不確定的問題，且計算結(jié)果誤差較小；與基于地震波卓越頻率的復(fù)模態(tài)疊加法相比，基于諧波頻率的復(fù)模態(tài)疊加法計算量更大，但計算精度更高、適用范圍更廣。