李顯凌,柳艷杰

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點實驗室,長春 130033;2.黑龍江大學(xué) 建筑工程學(xué)院,哈爾濱150080)

0 引 言

隨著計算機性能的提高和研拋工藝的發(fā)展,數(shù)控拋光已經(jīng)成為超精密拋光技術(shù)的主流,包括磁流變拋光 (Magnetorheological finishing,M RF)[1]、離子束拋光 (Ion beam figuring,IBF)[2]和射流拋光 (Fluid jet polishing,FJP)[3]等拋光技術(shù)都采用了數(shù)控技術(shù),其基本思想是根據(jù)光學(xué)表面面形檢測的結(jié)果,由計算機控制加工參數(shù)和加工路徑,完成加工。由于制造、裝配、控制及運動過程中熱變形、摩擦、振動和慣性等各種誤差因素的影響,使得數(shù)控機床的實際運動軌跡難以同理想軌跡相吻合,造成加工誤差,影響了被加工工件的加工精度,對數(shù)控機床進行誤差補償是提高加工精度的最為經(jīng)濟、有效的方法,而快速建立起準(zhǔn)確的誤差模型則是實施誤差補償?shù)那疤岷突A(chǔ),因此對數(shù)控機床進行誤差建模研究具有重要意義。

多體系統(tǒng)理論[4]是解決復(fù)雜工程系統(tǒng)運動學(xué)問題和動力學(xué)問題的科學(xué)理論體系,具有很好的通用性和系統(tǒng)性。多體系統(tǒng)理論已在機器人、機床、坐標(biāo)測量機等復(fù)雜機械的運動分析與控制中得到成功應(yīng)用,并且應(yīng)用領(lǐng)域正在不斷擴大。以往的多體系統(tǒng)理論主要用于分析研究理想多體系統(tǒng)。近年來,多體系統(tǒng)理論開始用于分析研究有誤差多體系統(tǒng)。

數(shù)控機床是一種典型的多體系統(tǒng)[5]?；诙囿w系統(tǒng)理論,以特有的低序體陣列來描述復(fù)雜系統(tǒng),對數(shù)控機床進行誤差分析和建模,不僅能全面考慮影響機床加工精度的各項因素以及相互耦合情況,而且能夠充分利用現(xiàn)代計算機技術(shù)的發(fā)展成果,使建模過程具有程式化、規(guī)范化、約束條件少、易于解決復(fù)雜系統(tǒng)運動問題的優(yōu)點,非常適宜于機械誤差的計算機自動建模。

本文根據(jù)數(shù)控超光滑加工機床的拓撲結(jié)構(gòu),運用多體系統(tǒng)運動學(xué)理論的基本原理,使用低序體陣列來描述機床各部件的關(guān)聯(lián)關(guān)系,使用齊次特征矩陣來表示各部件之間的幾何特征,系統(tǒng)地推導(dǎo)出了有誤差運動的數(shù)控超光滑加工機床運動學(xué)模型。建立了數(shù)控超光滑加工機床的空間誤差模型,并給出了具體數(shù)學(xué)表達式。

1 拓撲結(jié)構(gòu)和低序體陣列

數(shù)控超光滑加工機床的結(jié)構(gòu)見圖1,整個機床由回轉(zhuǎn)工作臺C軸和直線運動單元X軸,直線運動單元Z軸、回轉(zhuǎn)運動單元B軸以及電主軸回轉(zhuǎn)運動單元組成,用于球面和非球面光學(xué)元件的超光滑表面加工。

圖1 數(shù)控超光滑加工機床結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the CNCsuper-smooth process machine

拓撲結(jié)構(gòu)是對多體系統(tǒng)本質(zhì)的高度提煉和概括,是研究多體系統(tǒng)的依據(jù)和基礎(chǔ)。用低序體陣列方法描述多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)簡潔方便,是一種適用于計算機自動描述多體系統(tǒng)的方法,因此本文采用低序體陣列方法描述數(shù)控超光滑加工機床的拓撲結(jié)構(gòu)。在多體系統(tǒng)分析中,把構(gòu)成拓撲結(jié)構(gòu)的單元稱為體,描述體與體的關(guān)聯(lián)關(guān)系的低序體陣列可通過下列定義的低序體運算得到。

多體系統(tǒng)中任意體j的n階低序體定義[4]為:

式(1)～式(4)中,L稱為低序體算子。

當(dāng)L(j)=i時,稱體i是體j的相鄰低序體,體j是體i的相鄰高序體。

圖2為經(jīng)過簡化后數(shù)控超光滑加工機床的結(jié)構(gòu)示意圖,圖中0為床身、1為工作臺、2為工件、3為X軸導(dǎo)軌、4為Z軸導(dǎo)軌、5為擺動軸、6為電主軸、7為拋光頭。對其進行提煉和概括,可以得到如圖3所示的拓撲結(jié)構(gòu)圖。

根據(jù)上述低序體運算公式可以求出各體的各階低序體號,從而構(gòu)成表1所示的低序體陣列,它即是數(shù)控超光滑加工機床的低序體陣列。

表1 數(shù)控超光滑加工機床的低序體陣列Table 1 Low-order body arrays of the CNC super-smooth process machine

2 特征矩陣

在多軸數(shù)控機床中,各運動單元都有自己的運動軸名,如將工作臺單元取名為w,刀具裝夾單元取名t,除床身單元外,其它各體都有自己的名。為了使表達更簡化、清晰和直觀,可以將相鄰體之間的運動及運動誤差表達式的下標(biāo)——相鄰體標(biāo)號“ij”+“s”改用其高序體的運動單元名表示,相鄰體之間的位置及位置誤差表達式的下標(biāo) “ij”+“p”改用除當(dāng)其高序體為工作臺單元或刀具裝夾單元時用高序體的單元名+“d”表示外,用相鄰體的單元名表示。這樣,參考系也就不必命名。數(shù)控超光滑加工機床的特征矩陣見表2,其中,若特征矩陣等于 I4×4,則是因為考慮到誤差相對很小(如運動部件的一些靜止誤差)或沒有(如非運動部件的運動誤差)。

3 綜合空間誤差模型

設(shè)刀具成形點在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為:

那么,刀具成形點在工件坐標(biāo)系內(nèi)的理想成形函數(shù)為:

設(shè)刀具路線為:

則理想運動的刀具成形點的位置約束方程為:

在超光滑加工機床中,由于進給系統(tǒng)有兩個回轉(zhuǎn)運動,為成形過程調(diào)整刀具與光學(xué)元件的相對姿態(tài)提供了條件,因此可以加工復(fù)雜的光學(xué)表面,為此也需要掌握和控制成形過程中的刀具姿態(tài)。為了描述刀具的位姿變化,在刀具上固定一個矢量,令其與刀具一起運動,然后考察該矢量的轉(zhuǎn)動情況。設(shè)刀具上刀柄至刀尖兩點間的矢量 →V在刀具坐標(biāo)系中的表達式為:

數(shù)控超光滑加工機床的特征矩陣見表2。

表2 數(shù)控超光滑加工機床的特征矩陣Table 2 Characteristic matrix of the CNCsuper-smooth process machine

那么在理想運動條件下,矢量→V在工件坐標(biāo)系中的表達式為:

則理想運動的刀具姿態(tài)約束方程為:

刀具成形點在工件坐標(biāo)系內(nèi)的實際成形函數(shù)為:

實際運動的刀具成形點的位置約束方程為:

在實際運動條件下,矢量 →V在工件坐標(biāo)系中的表達式為:

則實際運動的刀具姿態(tài)約束方程為:

在實際成形運動中,刀具成形點的實際位置不可避免地會偏離理想位置,產(chǎn)生空間位置誤差。刀具成形點的綜合空間位置誤差即為:

在實際成形運動中,實際刀具姿態(tài)也會不可避免地與刀具理論姿態(tài)存在偏差,這種偏差可以用與的矢量差來描述,這里用表示,因此刀具空間姿態(tài)誤差即為:

式(18)即為超光滑加工機床的空間誤差模型。

只需將表2中數(shù)控超光滑加工機床各體的特征矩陣代入空間位置誤差模型的一般表達式,即可得到數(shù)控超光滑加工機床空間誤差模型的具體表達式。在數(shù)控超光滑加工機床加工控制和誤差補償中的目標(biāo)就是使拋光磨頭(即刀具)中心點的實際位置盡可能地接近理想位置以及拋光磨頭的實際姿態(tài)盡可能地接近理想姿態(tài),亦即E和→E盡可能小。

4 結(jié) 論

基于多體系統(tǒng)運動學(xué)理論,建立了數(shù)控超光滑加工機床成形系統(tǒng)的低序體陣列,并推導(dǎo)出機床相鄰體的特征矩陣,它是進行機床精度分析與建模的核心?；诙囿w系統(tǒng)運動學(xué)理論精度分析理論,詳細研究了數(shù)控超光滑加工機床成形運動函數(shù)、成形運動約束、綜合空間誤差的建模過程,給出了具體模型表達式。基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床成形運動和誤差分析和建模方法,全面考慮了影響機床加工精度的各項因素以及相互耦合情況,以低序體陣列來描述復(fù)雜系統(tǒng),使運動學(xué)建模過程具有程式化、規(guī)范化、約束條件少的特點,易于解決復(fù)雜系統(tǒng)運動問題。

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