李智強(qiáng) 鄒紅霞 齊 斌 郭江昆

(航天工程大學(xué)航天信息學(xué)院 北京 101400)

0 引 言

年降水量變化一直都是氣象科學(xué)界對氣候變化研究的熱點(diǎn)問題。年降水量的變化對河流徑流量有著直接影響，同時(shí)還緊密地關(guān)系到農(nóng)業(yè)發(fā)展和糧食安全，對年降水量序列變化的研究可以為洪澇、干旱災(zāi)害的預(yù)測預(yù)防提供參考，為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供有利條件。年降水量變化受到地理、季風(fēng)、海洋和太陽等多方面的影響[1]，影響降水的特征指標(biāo)眾多，比如高原積雪、海表溫度、ENSO、季風(fēng)等多種特征因子[2]，其內(nèi)部機(jī)理異常復(fù)雜，因此目前大部分的年降水量預(yù)測方法主要為氣象學(xué)方法。雖然現(xiàn)有的氣象學(xué)預(yù)測方法已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用[3-5]，但是由于氣象學(xué)方法的自變量難以確定，模型的計(jì)算量也異常巨大。時(shí)間序列的ARIMA分析方法不用考慮復(fù)雜的影響因素，計(jì)算量小，因此在降水研究中也有應(yīng)用[6-7]，但是ARIMA方法對于非線性序列的擬合效果不好，而年際降水序列大多都是非線性的[8]。

為解決上述問題，有學(xué)者提出了基于集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)的ARIMA時(shí)間序列模型[9]，主要得益于EEMD能夠自適應(yīng)地處理任意非線性非平穩(wěn)時(shí)間序列的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[10]的研究表明，EEMD-ARIMA模型在短期徑流上的預(yù)測精度高于傳統(tǒng)ARIMA模型。

1 相關(guān)模型

1.1 EMD和EEMD

由于EEMD是在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD基礎(chǔ)上的改進(jìn)，因此先介紹EMD的方法原理。EMD比小波和傅里葉分解變換具有更好的時(shí)頻分辨率和自適應(yīng)的特點(diǎn)，且其在非平穩(wěn)、非線性的信號時(shí)頻序列處理上表現(xiàn)更加優(yōu)秀，該方法在海洋、大氣和天體觀測等領(lǐng)域有應(yīng)用。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的關(guān)鍵就是將復(fù)雜的信號分解為有限個(gè)本征模函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)，其計(jì)算方法如下：

首先取原始序列信號X(t)的所有極值點(diǎn)，通過三次樣條插值函數(shù)[11]分別連接所有極大值點(diǎn)和所有極小值點(diǎn)，形成上包絡(luò)線和下包絡(luò)線，使得整個(gè)序列信號都在上下包絡(luò)線中，將原序列減去上下包絡(luò)線的均值m1，得到新的序列h1(t)，即：

X(t)-m1=h1(t)

(1)

一般來說，h1(t)還不是IMF分量，通過一次的篩選不一定能得到平穩(wěn)序列，因此需要重復(fù)以上過程，第二次篩選將h1(t)作為被分解序列。假設(shè)h1(t)的包絡(luò)均值為m11，則得到的新的序列h11(t)，即：

h1(t)-m11=h11(t)

(2)

篩選的目的是消除噪聲波，使波形輪廓對稱，直到第k次的篩選，得到的波形第一個(gè)滿足IMF定義的分量h1k(t)，將第一個(gè)IMF分量h1k(t)用c1表示。

c1(t)=h1k

(3)

一個(gè)原始信號一般由多個(gè)IMF分量組成，由式(3)可得剩余分量r1(t)，然后將剩余分量r1(t)作為新的被分解信號，此過程一直重復(fù)，直到滿足以下條件之一：(1) 最后一個(gè)剩余量rn(t)或IMF分量cn(t)小于某個(gè)給定的常量；(2) 剩余量rn(t)為單調(diào)函數(shù)。

X(t)-c1(t)=r1(t)
r1(t)-c2(t)=r2(t)

(4)

?
rn-1(t)-cn(t)=rn(t)

最終原始信號被分解為n個(gè)不同周期和不同頻率的IMF分量和一個(gè)殘差量：

(5)

雖然EMD基于數(shù)據(jù)本身變化，使得IMF與采樣頻率相關(guān)，克服了傅里葉變換的局限性，但是EMD存在的一個(gè)重要問題就是IMF分量存在模態(tài)混疊[12]，為了更好地解決這一問題，Wu等[13]提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)。

EEMD是基于噪聲輔助分析的方法，原理較為簡單，通過在年降水序列中加入白噪聲，白噪聲頻譜均勻分布，使得信號自動分布到合適的尺度上。由EMD的零均值特性，噪聲在多次平均計(jì)算后會相互抵消，從而得到的集成均值計(jì)算結(jié)果即可視為最終結(jié)果，最終結(jié)果與原始序列的誤差隨著集成平均次數(shù)的增加而減小。因此從理論上講，EEMD對抑制EMD的模態(tài)重疊有較好的效果。EEMD的算法流程如圖1所示。

圖1 EEMD算法流程示意圖

1.2 ARIMA模型

通過EEMD分解得到不同周期的IMF分量后，對分量建立擬合模型。差分自回歸移動平均模型ARIMA是在ARMA模型針對非平穩(wěn)序列模型擬合效果差的基礎(chǔ)上作出的改進(jìn)，通過將非平穩(wěn)序列進(jìn)行一次或多次差分轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)序列，再進(jìn)行ARMA擬合，其構(gòu)成如下：

ARIMA(p,d,q)=AR(p)+Difference(d)+MA(q)

(6)

式中：AR(p)、Difference(d)、MA(q)分別為自回歸模型、差分模型和移動平均模型；p、d、q分別為自回歸項(xiàng)、差分階數(shù)和移動平均項(xiàng)數(shù)，這三個(gè)參數(shù)決定了模型的好壞。ARIMA模型預(yù)測方程如下：

xt=φ0+φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+

εt+γ1εt-1+γ2εt-2+…+γqεt-q

(7)

式中：xt為樣本值；εt為當(dāng)期隨機(jī)誤差干擾；φi和γj為模型參數(shù)；p、d、q是模型階數(shù)。xt為前p階xt-1,xt-2,…,xt-p和前q階εt-1,εt-2,…,εt-q的多元線性函數(shù)。ARIMA的建模流程如圖2所示。

圖2 ARIMA建模流程

2 EEMD-ARIMA模型

2.1 模型框架

EEMD是在對EMD做白噪聲統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)提出的，由于EEMD分解克服了EMD分解過程中產(chǎn)生模態(tài)混疊的問題，因此在序列擬合預(yù)測中更具優(yōu)勢。本文針對降水時(shí)間序列的特點(diǎn)，首先對降水序列EEMD分解，然后對分解后的序列做白噪聲檢驗(yàn)，一般EEMD會將高頻的白噪聲分量直接刪除，但這樣會直接影響模型擬合的精度。本文的做法是保留分離出來的白噪聲分量，對其也建立ARIMA模型以降低擬合誤差，對其他的分量進(jìn)行平穩(wěn)性判別，然后對平穩(wěn)序列建立ARMA模型，對非平穩(wěn)序列建立ARIMA模型，最后對剩余模型擬合分量重構(gòu)和評價(jià)。

本文基于EEMD-ARIMA的年降水序列模型，其整體框架如圖3所示。首先通過EEMD分解得到n-1個(gè)分量和一個(gè)剩余分量，通過白噪聲檢驗(yàn)后單獨(dú)對白噪聲分量建立ARIMA模型，然后對各IMF分量進(jìn)行平穩(wěn)性判別，平穩(wěn)序列采取ARMA模型擬合，非平穩(wěn)序列采用ARIMA模型擬合，最后對各個(gè)分量進(jìn)行疊加重構(gòu)并進(jìn)行模型評價(jià)。其模型框架如圖3所示。

圖3 EEMD-ARIMA模型框架

2.2 評價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證EEMD-ARIMA模型擬合效果是否優(yōu)于EMD-ARIMA模型以及單一的EMD、ARIMA、EEMD模型，引入均方根誤差(RMSE)和平均相對誤差(MRE)兩個(gè)指標(biāo)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果。均方根誤差(RMSE)能夠從總體上反映預(yù)測值的離散程度，其公式如下：

(8)

平均相對誤差(MRE)能夠反映模型誤差的大小以及模型預(yù)測的準(zhǔn)確程度，其計(jì)算公式如下：

(9)

在實(shí)際的年際降水預(yù)測中，通常采用趨勢分析的方式，離精準(zhǔn)預(yù)測的水平還相差甚遠(yuǎn)。由于中長期預(yù)報(bào)的復(fù)雜性，當(dāng)預(yù)測值與實(shí)際值的相對誤差低于20%時(shí)即視為正確[14]，正確率公式如下：

(10)

3 模型實(shí)證分析

首先通過數(shù)據(jù)預(yù)處理得到原始年降水序列，然后根據(jù)EEMD-ARIMA模型框架進(jìn)行模型的建立和訓(xùn)練，為了檢驗(yàn)該模型的應(yīng)用效果，還建立了EMD、EEMD分解-重構(gòu)模型、ARIMA模型和EMD-ARIMA模型，以便進(jìn)行對比分析。

3.1 數(shù)據(jù)來源及實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本文的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于《中國地面氣候月值數(shù)據(jù)集3.0》，選取[52984]臨夏地面氣象觀測站1953年—2012年共60年的逐日降水資料，通過數(shù)據(jù)預(yù)處理得到60年的年降水序列。由于時(shí)間序列預(yù)測精度隨時(shí)間的增加而降低的特性，為了保證模型的穩(wěn)定性和可靠性，選取前57年數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練，后3年數(shù)據(jù)用于預(yù)測。實(shí)證分析使用Python開發(fā)語言，使用Jupyter Notebook交互式編程平臺，ARIMA模型構(gòu)建選取Statsmodels庫。

3.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

《中國地面氣候資料月值數(shù)據(jù)集3.0》中的文件命名為：SURF_CLI_CHN_MUL_MON-YYYY.txt，其中“SURF_CLI_CHN_MUL_MON”為數(shù)據(jù)集代碼，文件按年份拆分，文件名中的“YYYY”表示年份。

數(shù)據(jù)集包括了中國752個(gè)基本、基準(zhǔn)地面氣象觀測站及自動站自1951年以來的氣候資料月值數(shù)據(jù)集。本文從數(shù)據(jù)集中選取了降水?dāng)?shù)據(jù)集，其格式如圖4(a)所示；降水?dāng)?shù)據(jù)集中文件內(nèi)部數(shù)據(jù)形式如圖4(b)所示；截取出[52984]臨夏氣象站共60年的逐日降水量數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)格式如圖4(c)所示，可見數(shù)據(jù)中存在“32766”、“32700”等異常值，分別表示缺測、微量數(shù)據(jù)，因此均選取零值填充；通過缺失填充、數(shù)據(jù)集成，將日降水量以年為單位分別累加求和，最終得到年降水序列，如圖4(d)所示。

圖4 數(shù)據(jù)預(yù)處理過程

3.3 模型建立

1) EEMD的分解。根據(jù)EEMD的算法流程，將57年的年降水序列按照添加噪聲、EMD分解、計(jì)算集成的順序，通過Python語言實(shí)現(xiàn)EEMD的分解，部分代碼如下：

eemd=EEMD()

eemd.trials=50

eemd.noise_seed(12345)

E_IMFs=eemd.eemd(S, T, max_imf)

imfNo=E_IMFs.shape[0]

最終得到4個(gè)IMF分量序列(IMF1-IMF4)和1個(gè)剩余分量IMF5，如圖5所示，其中：橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為降水量。

圖5 EEMD年降水序列分解圖

可以看出：IMF1頻率最高，IMF2、IMF3、IMF4頻率依次降低，IMF5為殘余分量，為遞減的單調(diào)函數(shù)。最高頻率的IMF1代表時(shí)間周期較短的隨機(jī)波動，一般作為噪聲處理。但是噪聲的直接刪除會導(dǎo)致擬合和預(yù)測的精度大大降低，因此同樣將隨機(jī)波動也進(jìn)行擬合，能夠降低模型誤差。

2) 白噪聲檢測。白噪聲檢測又稱為純隨機(jī)性檢測，通過白噪聲檢測，檢測各IMF分量中是否含有沒有意義的純隨機(jī)序列，一般對于純隨機(jī)序列，都采取舍棄的原則。常用的白噪聲檢測方法包括Ljung Box假設(shè)檢驗(yàn)和Box Pierce假設(shè)檢驗(yàn)[15]。除此之外，通過自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖，也能從經(jīng)驗(yàn)上判斷出序列是否是白噪聲序列。首先通過各個(gè)IMF分量的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，可以確定是否存在白噪聲序列，如圖6所示。由于IMF1分量的自相關(guān)和偏自相關(guān)階數(shù)幾乎都落在置信區(qū)間內(nèi)，其自相關(guān)性較小，因此判斷IMF1分量為可能的隨機(jī)性序列。

圖6 IMF分量自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

3) 平穩(wěn)性判別。判斷序列的平穩(wěn)性是為了建立更好的模型，平穩(wěn)性判斷除了根據(jù)圖5進(jìn)行主觀判斷外，常用擴(kuò)展迪基-福勒檢驗(yàn)(Augmented Dickey-Fuller，ADF)[16]進(jìn)一步確定平穩(wěn)性。對各個(gè)IMF的ADF檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 ADF 平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

可以看出，IMF1、IMF2、IMF3的T統(tǒng)計(jì)值均小于各自1%顯著性水平，同時(shí)P值接近0，IMF1、IMF2、IMF3分量為平穩(wěn)序列，IMF4、IMF5的T統(tǒng)計(jì)值均大于10%顯著性水平，IMF4、IMF5為非平穩(wěn)序列，與圖5的結(jié)果一致。因此，對前3個(gè)IMF分量用ARMA模型擬合，后兩個(gè)IMF分量用ARIMA模型進(jìn)行擬合。

4) 模型擬合。在年際降水預(yù)測中，大多學(xué)者選擇使用單一ARIMA時(shí)間序列模型。本文在考慮時(shí)間序列數(shù)據(jù)含有噪聲和多重頻率特性的基礎(chǔ)上，將序列進(jìn)行EMD分解，將復(fù)雜序列變?yōu)槎鄠€(gè)簡單序列和一個(gè)殘差序列。由于EMD分解會產(chǎn)生模態(tài)重疊，因此使用EMD的改進(jìn)算法EEMD，對得到的簡單序列和殘差序進(jìn)行白噪聲和平穩(wěn)性檢驗(yàn)后，得到平穩(wěn)分量IMF1、IMF2、IMF3和非平穩(wěn)序列IMF4、IMF5，并分別采用ARMA模型和ARIMA模型進(jìn)行擬合，通過參數(shù)優(yōu)化。建模及優(yōu)化部分代碼如下：

order0=st.arma_order_select_ic(imf0,max_ar=5,max_ma=5,ic=[′aic′, ′bic′, ′hqic′])

arma_mod10=ARMA(imf0,(2,0)).fit()

pimf0=arma_mod10.fittedvalues

ax1.plot(imf0)

筆者做完自我介紹和簡單的開場白，考慮和新員工年齡差距較小，設(shè)計(jì)的PPT可以自動播放和用激光筆遠(yuǎn)程控制，對于所講內(nèi)容成竹在胸，于是就嘗試走進(jìn)新員工中間去說，拉近了彼此之間的物理距離。這個(gè)嘗試，有比較好的收效，全程半個(gè)小時(shí)的授課過程中，基本沒有看到新員工們有低頭看手機(jī)的現(xiàn)象。

ax1.plot(pimf0,′--′,color=′red′)

對IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF5分別選取ARMA(2,0)、ARMA(4,2)、ARMA(2,4)、ARIMA(5,0,1)、ARIMA(1,1,1)5個(gè)模型進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖7所示。

圖7 分量擬合結(jié)果

可以看出，ARMA對于IMF1分量的擬合效果還不夠理想，相比于直接舍棄高頻分量，該IMF1分量將大大降低對擬合結(jié)果的誤差，IMF2、IMF3、IMF4、IMF5分量的擬合效果較好。EEMD和EMD都具有完備性，即將全部分解的分量直接相加就能重構(gòu)出原信號。因此通過對各個(gè)分量的重構(gòu)，就能得到非常接近原始序列的新序列，誤差接近0。從模型訓(xùn)練的結(jié)果來看，低頻的分量擬合效果比高頻分量的擬合效果好。

3.4 模型對比分析

3.4.1模型結(jié)果

為了得到直觀的對比，同時(shí)對同一年降水序列建立了EMD模型、ARIMA模型、EEMD模型和EMD-ARIMA模型，其中EMD模型和EEMD模型均采用了分解-刪除高頻分量-重構(gòu)的方法，ARIMA模型是直接對年降水序列建立的，經(jīng)過參數(shù)調(diào)優(yōu)，設(shè)定為ARIMA(1,0,1)。得到的各個(gè)模型最終結(jié)果對比如圖8所示。

圖8 各模型結(jié)果對比

通過圖8的模型結(jié)果對比分析，有以下4點(diǎn)結(jié)論：(1) 5個(gè)模型都能反映出真實(shí)年降水序列的波動趨勢；(2) 從EEMD模型和EMD模型的擬合結(jié)果看，二者的擬合效果都比較平滑，且EEMD的擬合效果要略好于EMD模型；(3) EMD-ARIMA模型和EEMD-ARIMA模型擬合效果均好于單一模型，單一模型的擬合值波動幅度范圍偏??；(4) EEMD-ARIMA模型和EMD-ARIMA模型結(jié)果的走勢大致相同，但EMD-ARIMA在極值點(diǎn)處的擬合效果更加激進(jìn)，單從擬合效果圖分析，還不能確定兩類模型的優(yōu)劣。

3.4.2模型評價(jià)

5個(gè)模型的擬合結(jié)果的誤差分析如表2所示。

表2 模型評價(jià)結(jié)果

可以看出EEMD-ARIMA模型的擬合效果最好，其RMSE和MRE均為最小值。本文提出的模型效果較EMD-ARIMA均方根誤差小14.53，平均相對誤差小0.006。在5個(gè)模型中，EEMD-ARIMA的預(yù)測準(zhǔn)確率最高，達(dá)到了82.46%。綜合三種模型評價(jià)指標(biāo)來看，EEMD-ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果是最好的。

4 結(jié) 語

本文運(yùn)用結(jié)合了EEMD分解的算法和ARIMA時(shí)間序列分析模型，針對年降水時(shí)間序列進(jìn)行了分析建模，初步探索了EEMD-ARIMA模型在年降水時(shí)間序列的分析應(yīng)用方法。該模型對年降水量時(shí)間序列的預(yù)測指導(dǎo)性較高，在年際降水預(yù)測中具有實(shí)際應(yīng)用的意義，可以應(yīng)用于中長期天氣業(yè)務(wù)工作中。

本文對于EEMD分解后的高頻分量模型選取簡單，未來可選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可能對高頻分量擬合得更好。同時(shí)，本文使用的EEMD算法解決了模態(tài)重疊問題，但還存在分解出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)，未來可以進(jìn)一步探索有效的分解算法，提高準(zhǔn)確率。