劉直玉，楊曉紅，任建新

（沈陽工程學(xué)院a.電力學(xué)院；b.基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 沈陽 110136）

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中慣性大小的物理量，它與剛體質(zhì)量、密度、形狀大小及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)，正確測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在工程技術(shù)中有著十分重要的意義。用三線擺測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是高校理工科大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱中一個(gè)重要的基本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目［1-2］，因受辦學(xué)經(jīng)費(fèi)短缺制約，目前很多院校仍采用IM-1 新型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀（上海大學(xué)研制）、FD-IM-I 型、FD-IM-Ⅱ型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量儀（上海復(fù)旦大學(xué)研制）。該類儀器的最大缺陷是沒有安裝角度控制裝置，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)很難準(zhǔn)確控制轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角度的大小，通常轉(zhuǎn)動(dòng)角度在20°左右，不能滿足轉(zhuǎn)角小于5°的關(guān)鍵實(shí)驗(yàn)條件，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差增加。為了提高實(shí)驗(yàn)精度，減小實(shí)驗(yàn)誤差，為上述儀器設(shè)計(jì)一個(gè)角度控制裝置十分必要［3］。

1 三線擺角度控制裝置設(shè)計(jì)與制作

將IM-1型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀的啟動(dòng)盤與橫梁支架拆卸開，將盤上面、側(cè)面共6 個(gè)小螺母取下保存好備用。在啟動(dòng)盤小螺母下端圓周處均勻刻上72條刻度線，其分度值為5°，注意切勿破壞螺孔，如圖1所示。

圖1 IM-1型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀

制作一個(gè)Γ 型指針［4］，在指針?biāo)矫嫣庨_一個(gè)圓孔，用圓墊固定指針，并使指針圓孔直徑、圓墊孔直徑與中軸直徑相等，如圖2所示。

將指針、圓墊一起套在中軸上，并固定在大螺母與橫梁支架之間。讓指針與啟動(dòng)盤盡量靠近但不能接觸，以免產(chǎn)生摩擦阻力，影響啟動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)。調(diào)整指針與刻度線相互平行，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)啟動(dòng)盤時(shí)可觀察到指針經(jīng)過刻度的角度數(shù)值，即完成角度控制裝置的安裝，如圖3 所示。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)可準(zhǔn)確控制轉(zhuǎn)角小于5°，達(dá)到實(shí)驗(yàn)條件的基本要求。

圖2 指針、圓墊、中軸

圖3 組裝后角度控制裝置

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)原理

逆時(shí)針扭轉(zhuǎn)啟動(dòng)盤，使其轉(zhuǎn)角θ≤5°，接著順時(shí)針旋回相同角度，使啟動(dòng)盤回到初始位置，松手后懸盤自由擺動(dòng)起來，如圖4 所示。當(dāng)懸盤旋轉(zhuǎn)角θ≤5°時(shí)，其擺動(dòng)可近似看做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

圖4 實(shí)驗(yàn)原理

懸盤機(jī)械能守恒方程如下：

式中，m0為懸盤質(zhì)量；g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；h為懸盤沿兩盤中心軸上升高度；J為懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω0為懸盤擺動(dòng)到平衡位置時(shí)角速度。

懸盤擺動(dòng)角位移與時(shí)間關(guān)系如下：

式中，θ0為懸盤最大角位移；T0為懸盤擺動(dòng)周期。

懸盤擺動(dòng)角速度與時(shí)間關(guān)系如下：

將（7）式代入（4）中得，懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式為

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量

2.2.1 不同轉(zhuǎn)角的懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量

懸盤和啟動(dòng)盤的相關(guān)幾何參數(shù)如表1所示。

表1 懸盤、啟動(dòng)盤幾何參數(shù)

根據(jù)J=m0D2計(jì)算出懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為1.261×10-3kg·m2。根據(jù)三角形幾何關(guān)系計(jì)算出=b=3.81 cm。將已測(cè)得的物理量mo、R、r、H、T0及當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=9.786 1 m/s2帶入懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=相對(duì)誤差Er=×100%中，分別計(jì)算出懸盤在不同角度下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表2 所示。根據(jù)表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對(duì)誤差與懸盤轉(zhuǎn)角之間Er-θ關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)誤差Er與懸盤轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系曲線

表2 不同轉(zhuǎn)角的懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)周期、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

2.2.2 不同擺長的懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量

在擺角均為5°且其他實(shí)驗(yàn)條件不變情況下，改變擺長l大小測(cè)得懸盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 不同擺長的懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及誤差分析

2.3.1 三線擺扭轉(zhuǎn)角度帶來的誤差

三線擺振動(dòng)原理表明：當(dāng)扭擺轉(zhuǎn)角θ≤5°時(shí)，才能保證三線擺振動(dòng)系統(tǒng)為線性［6］，即該振動(dòng)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)機(jī)械能守恒，進(jìn)而推出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)公式（8）。所以扭擺轉(zhuǎn)角在實(shí)驗(yàn)中起關(guān)鍵作用，對(duì)實(shí)驗(yàn)精度影響較大。由圖5 可見，在擺角θ≤5°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量值較精確，相對(duì)誤差大約在0.3%以下；當(dāng)扭擺角度在10°～30°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)誤差均勻增加；當(dāng)擺角大于35°時(shí)，相對(duì)誤差迅速增大。用沒有角度控制裝置的實(shí)驗(yàn)儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，其相對(duì)誤差大約在5%～10%范圍內(nèi)，若不考慮其他誤差，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)會(huì)盲目地將轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到20°～40°之間。所以，給三線擺安裝一個(gè)角度控制裝置十分必要，可以有效避免學(xué)生在扭轉(zhuǎn)角度時(shí)的盲目性，減少實(shí)驗(yàn)誤差，提高實(shí)驗(yàn)精準(zhǔn)度。

2.3.2 三線擺擺長l帶來的誤差

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：三線擺長度對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量精度也有很大影響。就上述研究對(duì)象而言，擺長l≤35 cm 時(shí)相對(duì)誤差迅速增大；而擺角大于l≥45 cm 時(shí)，誤差較少；擺長接近懸盤尺寸時(shí)（本實(shí)驗(yàn)中懸盤半徑R'=7.391 cm），相對(duì)誤差較大。根據(jù)阻尼理論，三線擺在振動(dòng)時(shí)受空氣阻尼作用，這個(gè)阻尼與系統(tǒng)形狀有關(guān)，并與振動(dòng)物體速度的平方成正比［7］。短擺的振動(dòng)頻率高、角速度大、阻尼大，實(shí)驗(yàn)誤差就大；反之，長擺的振動(dòng)頻率低、角速度小、阻尼小，實(shí)驗(yàn)誤差就小。所以，在實(shí)驗(yàn)中三線擺擺長應(yīng)遠(yuǎn)大于懸盤半徑，即l＞＞R'。

2.3.3 懸盤懸點(diǎn)之間距離R、啟動(dòng)盤懸點(diǎn)之間距離r、懸盤與啟動(dòng)盤距離H帶來的誤差

由實(shí)驗(yàn)公式（8）可知，R、r、H測(cè)量誤差也將直接影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量精度。該實(shí)驗(yàn)中，R、r、H只能用精度不高的米尺（精度0.1 cm）測(cè)量。實(shí)驗(yàn)時(shí)如果測(cè)量不精確，也會(huì)引起較大誤差。比如：設(shè)R、r的真值分別為7.05 cm 和3.81 cm，而測(cè)量值分別為7.15 cm 和3.91 cm，則相對(duì)誤差分別是1.39%和2.61%。由此可見，對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)值越小的物理量，若測(cè)量不準(zhǔn)確，帶來的誤差就越大。

2.3.4 其他誤差

擺線材料不同，產(chǎn)生的阻尼不同，帶來的實(shí)驗(yàn)誤差也不同。從理論上講，被測(cè)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中必須是單一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)［8］，實(shí)驗(yàn)前必須將啟動(dòng)盤、懸盤調(diào)至絕對(duì)水平，并使放在懸盤上的待測(cè)物體與兩盤保持同軸，否則會(huì)使擺做非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生誤差。此外，本實(shí)驗(yàn)采用電子天平（精度0.005 g）測(cè)量懸盤質(zhì)量，用光電傳感接收裝置數(shù)字毫秒儀（精度0.001 s）測(cè)量周期，這兩個(gè)設(shè)備的精度較高，可忽略其產(chǎn)生的誤差。

3 結(jié)論

1）給IM-1、FD-IM-I、FD-IM-Ⅱ等相關(guān)型號(hào)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量儀加裝一個(gè)角度控制裝置，彌補(bǔ)了該類儀器的最大缺陷。其設(shè)計(jì)思路新穎獨(dú)特，制作過程簡(jiǎn)單易行，在實(shí)驗(yàn)過程中起關(guān)鍵性作用，可謂“小改動(dòng)、大成效”。實(shí)踐證明：學(xué)生使用改裝后的三線擺實(shí)驗(yàn)儀更加得心應(yīng)手，避免了在扭轉(zhuǎn)角度時(shí)的盲目性，取得十分滿意的實(shí)驗(yàn)效果。

2）用三線擺方法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，扭擺轉(zhuǎn)角≤5°，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)到10°～30°時(shí)，相對(duì)誤差會(huì)增加10%左右。三線擺擺長應(yīng)遠(yuǎn)大于懸盤半徑，若擺長和懸盤直徑接近相等時(shí)，相對(duì)誤差也會(huì)增加10%左右。此外，應(yīng)選擇阻尼較小的材料作為擺線。在實(shí)際測(cè)量時(shí)一定要保持兩盤水平，并保證兩盤和待測(cè)物體同軸。