趙露露，李 星，金新政

(華中科技大學(xué)同濟(jì)醫(yī)學(xué)院醫(yī)藥衛(wèi)生管理學(xué)院，湖北 武漢 430030)

冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒、中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病[1]。新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，可以在人與人之間傳染，主要的傳播途徑是呼吸道飛沫傳播和接觸傳播，各個(gè)年齡段的人均易感。

2019年12月，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起新冠肺炎感染者，隨后新冠肺炎開始在武漢市內(nèi)大范圍的傳播、爆發(fā)。隨之，中國(guó)其他地區(qū)也出現(xiàn)感染者。截至2020年6月，國(guó)內(nèi)新冠肺炎疫情已經(jīng)得到了很好的控制。但是，此次新冠肺炎疫情對(duì)我國(guó)人民的生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了嚴(yán)重的影響。此類突發(fā)公共衛(wèi)生事件具有波及方式多元、規(guī)模大、危害性嚴(yán)重等特點(diǎn)[2]。數(shù)學(xué)建模對(duì)傳染病傳播過(guò)程的描述、分析、預(yù)報(bào)和控制能起到積極的作用，為降低以后此類突發(fā)公共衛(wèi)生事件對(duì)人民生活和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響程度，有必要對(duì)新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)建模后進(jìn)行回顧性分析。鑒于新冠肺炎是一種新型的傳染病，對(duì)它知之甚少，在前期不可能擁有太多的案例的情況下，本研究采用灰色模型的思想來(lái)對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，事實(shí)證明，灰色預(yù)測(cè)模型在此類突發(fā)公共衛(wèi)生事件的預(yù)測(cè)中具有較高的準(zhǔn)確性，現(xiàn)將具體研究情況報(bào)告如下。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

從國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站[3]選取2020年2月6日-4月2日全國(guó)(除湖北省外)每日本土新增的新型冠狀病毒感染的肺炎患者數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)真實(shí)可靠、可信度高。

1.2 研究方法

本文采用灰色預(yù)測(cè)模型中的GM(1，1)模型來(lái)預(yù)測(cè)傳染病病毒感染的患者人數(shù)的變化[4]，主要是預(yù)測(cè)該傳染病病毒感染的患者人數(shù)為零的時(shí)間點(diǎn)，即“勝利日”的具體時(shí)間，并與實(shí)際“勝利日”數(shù)據(jù)做對(duì)比，以分析GM(1，1)模型在預(yù)測(cè)此類突發(fā)公共衛(wèi)生事件受感染患者人數(shù)是否具有科學(xué)性。

1.3 模型構(gòu)建

GM(1，1)模型中的兩個(gè)“1”分別代表的是模型中包含1個(gè)變量，且這個(gè)變量近似符合1階線性微分方程[5]。建立GM(1，1)模型的具體步驟如下：

首先確定原始的數(shù)據(jù)組，假設(shè)原始數(shù)據(jù)組包括n個(gè)數(shù)據(jù)，那么數(shù)據(jù)可以表示為：

X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3)…X(0)(n)}

(1)

然后假設(shè)X(1)為X(0)做1-AGO生成得到的數(shù)據(jù)組，則X(1)表示為：

X(1)={X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3)…X(1)(n)}

(2)

接下來(lái)用X(0)與X(1)來(lái)建立矩陣B和YN矩陣，具體計(jì)算方法如下：

(3)

(4)

然后使用最小二乘法，通過(guò)B和YN計(jì)算出a和b：

(5)

接著將a和b代入時(shí)間序列方程之中，這樣就可以得到GM(1，1)模型的方程：

(6)

最后，可以通過(guò)下列式子計(jì)算出相應(yīng)的模型預(yù)測(cè)值：

(7)

1.4 模型精度測(cè)試

為了檢驗(yàn)GM(1，1)模型的精準(zhǔn)性，需要對(duì)該模型的精度進(jìn)行測(cè)試，主要包括小誤差概率P和后驗(yàn)差比值C，首先計(jì)算小誤差概率P。

假設(shè)該模型的殘差為F(K)，也就是實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之差：

(8)

同時(shí)，計(jì)算出原數(shù)據(jù)組X(0)的方差S0：

(9)

然后根據(jù)殘差的方差S0乘以0.6745確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，小誤差概率P計(jì)算的就是殘差與殘差平均值差的絕對(duì)值落在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的概率：

(10)

然后計(jì)算后驗(yàn)差比值C，根據(jù)數(shù)據(jù)的殘差F(K)，計(jì)算出殘差的方差S1，再根據(jù)后驗(yàn)差比值等于原數(shù)據(jù)的方差除以殘差的方差，計(jì)算出C：

(11)

(12)

計(jì)算出來(lái)的后驗(yàn)差比值C與小誤差概率P，結(jié)合擬合等級(jí)檢驗(yàn)評(píng)判表(見(jiàn)表1)，可以判斷模型的擬合等級(jí)，以此為依據(jù)來(lái)檢驗(yàn)該模型是否具有科學(xué)性，以及是否可以外推用于預(yù)測(cè)。

表1 GM(1，1)模型擬合程度等級(jí)檢驗(yàn)評(píng)判表

2 實(shí)證分析

2.1 建立灰色系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型

全國(guó)(除湖北省外)2月6-10日新型冠狀病毒感染的肺炎每日新增確診病例數(shù)(見(jiàn)表2)為原始數(shù)據(jù)X(0)：X(0)={X(0)(1)，X(0)(2) ，X(0)(3)，X(0)(4)}=(696， 558， 509， 444， 381)；對(duì)原始數(shù)據(jù)X(0)處理累加得X(1)：X(1)={X(1)(1)，X(1)(2) ，X(1)(3)，X(1)(4)}=(1254， 1763， 2207， 2588)；接下來(lái)結(jié)合公式(5)及相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算出參數(shù)a=-0.1248554，b=687.3141；將X(0)(1)、a、b等帶入公式計(jì)算，最終得新型冠狀病毒肺炎感染的患者每日新增確診病例數(shù)GM(1，1)灰色預(yù)測(cè)模型X(1)(k+1)=5,504.88-480,888e-0.124855k。根據(jù)所得預(yù)測(cè)模型測(cè)得2月6-18日全國(guó)(除湖北省外)新型冠狀病毒感染的肺炎確診病例數(shù)，并與2月6-18日全國(guó)(除湖北省外)新型冠狀病毒肺炎病例實(shí)際數(shù)值進(jìn)行比較，計(jì)算得出殘差和相對(duì)誤差，相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

表3 全國(guó)(除湖北省外)2020年2月6-18日

2.2 模型檢驗(yàn)與分析

為了檢測(cè)模型的精度，根據(jù)GM(1，1)模型精度評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P來(lái)判斷模型的精度等級(jí)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)的計(jì)算以及公式(10)和公式(12)，得到上述模型中的C=0.061965026，P=1，參考擬合等級(jí)檢驗(yàn)評(píng)判表可知C≤0.35，P≥0.95，該模型的精度等級(jí)為優(yōu)，平均相對(duì)誤差經(jīng)計(jì)算結(jié)果為1.19%。因此，可以認(rèn)定本文的GM(1，1)模型可以較為精準(zhǔn)地描述該市傳染病感染者每日新增人數(shù)的變化趨勢(shì)，也可以用該模型進(jìn)行未來(lái)的傳染病感染者每日新增人數(shù)的預(yù)測(cè)，見(jiàn)圖1。

通過(guò)表3可以發(fā)現(xiàn)，全國(guó)(除湖北省外)新型冠狀病毒感染肺炎的新增人數(shù)一直呈現(xiàn)遞減的態(tài)勢(shì)，且在2月14-18日新增數(shù)持續(xù)小于模型預(yù)測(cè)值，并且差值逐漸增大，說(shuō)明全國(guó)(除湖北省外)居家封閉式管理等措施成果顯著，疫情持續(xù)向好發(fā)展。

利用模型對(duì)疫情勝利日進(jìn)行預(yù)測(cè)，從圖1可以看出，全國(guó)(除湖北省外)新型冠狀病毒感染的肺炎每日新增人數(shù)在4月初趨近于零，即模型預(yù)測(cè)的疫情“勝利日”為4月初。而實(shí)際情況是，除湖北外的全國(guó)疫情在3月底(除去境外輸入病例)接近結(jié)束。

圖1 全國(guó)(除湖北省外)新型冠狀病毒感染的肺炎患者每日新增人數(shù)預(yù)測(cè)

如圖2所示，全國(guó)(除湖北省外)2月6日到4月2日新型冠狀病毒感染的肺炎患者每日新增人數(shù)預(yù)測(cè)值與實(shí)際新增人數(shù)對(duì)比，模型預(yù)測(cè)時(shí)間與實(shí)際時(shí)間相差不大，說(shuō)明灰色預(yù)測(cè)模型在類似傳染病等公共衛(wèi)生事件中，能進(jìn)行基于歷史數(shù)據(jù)的分析，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算分析出公共衛(wèi)生事件的大致結(jié)束時(shí)間。

3 GM(1，1)模型的應(yīng)用現(xiàn)狀

灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型的成功應(yīng)用，解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)技術(shù)等領(lǐng)域的大量實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展到設(shè)計(jì)、能源、軍事、金融、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、體育等領(lǐng)域。近年來(lái)，大量研究者對(duì)GM(1，1)算法的優(yōu)勢(shì)與局限性進(jìn)行深入的研究，使其應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。馬寧等[6]用灰色模型GM(1，1)預(yù)測(cè)全國(guó)及遼寧省2015-2018年手足口病發(fā)病趨勢(shì)，與實(shí)際情況較為符合，模型預(yù)測(cè)精度為優(yōu)，能較好的為手足口病防治工作提供參考和科學(xué)依據(jù)。高凡[7]應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論研究高速列車ATO(列車自動(dòng)駕駛)系統(tǒng)速度控制器模型，建立的GM(1，1)模型通過(guò)實(shí)際線路驗(yàn)證了速度控制器的仿真結(jié)果，表明該方法具有較高的預(yù)測(cè)精度，生成的策略能有效地控制列車?？涤赖萚8]利用灰色系統(tǒng)建立GM(1，1)預(yù)測(cè)模型，將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際市場(chǎng)銷售量進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際市場(chǎng)銷售量相吻合，利用灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)銷售量，從而減少了制定生產(chǎn)計(jì)劃中的盲目性，有利于企業(yè)的生產(chǎn)調(diào)控。

圖2 全國(guó)(除湖北省外)2月6日-4月2日新型冠狀病毒感染的肺炎患者每日新增人數(shù)預(yù)測(cè)與實(shí)際新增人數(shù)對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

自從鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論開始，經(jīng)過(guò)20多年的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論已成為研究的前沿?zé)狳c(diǎn)，它涉及多個(gè)研究領(lǐng)域，基于“小樣本”“貧信息”進(jìn)行預(yù)測(cè)的灰色預(yù)測(cè)方法與其他預(yù)測(cè)方法相比具有自己的優(yōu)勢(shì)。在事件發(fā)生初期，信息量有限時(shí)，不需要大量數(shù)據(jù)，只需4、5個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，灰色預(yù)測(cè)模型就可以預(yù)測(cè)某特征量隨著時(shí)間推移變化的規(guī)律以及將來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。灰色預(yù)測(cè)模型利用單一的變量建立起來(lái)的一階線性微分動(dòng)態(tài)時(shí)間序列模型，可以掌握數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)未來(lái)的變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)[9]。在本文的研究中，基于前期少量的數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型后利用模型預(yù)測(cè)疫情的勝利日，與實(shí)際日期非常接近，說(shuō)明灰色預(yù)測(cè)模型的精確性較好。未來(lái)灰色預(yù)測(cè)模型可以用于醫(yī)學(xué)研究領(lǐng)域，進(jìn)行疾病發(fā)病率、死亡率、新增感染人數(shù)等方面的研究分析。