何靜

四川省綿陽市游仙區(qū)綿陽中學(xué)英才學(xué)校

圓在幾何圖形中屬于一個(gè)規(guī)則但有特殊的圖形，在日常生活中也是經(jīng)常出現(xiàn)的，但是如果想引導(dǎo)學(xué)生們正確的掌握圓的性質(zhì)概念以及數(shù)學(xué)知識，教師們在科學(xué)執(zhí)教的同時(shí)讓同學(xué)們從生活中找到圓形特殊性質(zhì)的突破口，讓學(xué)生們帶著興趣和疑問投入學(xué)習(xí)，由淺入深的引導(dǎo)學(xué)生。

一、圓的基本定義

圓的定義：圓是一種比較特殊的幾何圖形，指的是在一個(gè)平面當(dāng)中存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)都遵從一個(gè)特性，它們到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等。而滿足條件的這些點(diǎn)的集合就稱為圓。這個(gè)給定的點(diǎn)稱為圓的圓心，到這個(gè)定點(diǎn)的距離就稱為圓的半徑。在教學(xué)當(dāng)中，用來作圖的工具是圓規(guī)。(圓規(guī)的設(shè)計(jì)也正好說明了圓的性質(zhì)，一個(gè)確定的圓心和一段確定的半徑就能畫出一個(gè)圓)。圓是一條閉合的曲線，曲線以內(nèi)為圓的內(nèi)部，曲線以外為圓的外部。圓之間的內(nèi)切指的就是兩個(gè)圓在圓的內(nèi)部相切，圓之間的外切指的就是兩個(gè)圓在圓的外部相切。這條閉合曲線稱為圓周，圓周的長度稱為圓的周長。

二、與圓相關(guān)的一些其他參數(shù)

1.弦：連接已知圓上任意兩點(diǎn)的線段。一個(gè)圓可以由無數(shù)條弦組成，過圓心的弦就是圓的直徑。

2.直徑：通過圓心的弦就是直徑。直徑的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上，用d 表示。直徑所在的直線是圓的對稱軸。因?yàn)閷τ谝粋€(gè)圓來說，其直徑是唯一大小的。所以直徑是決定圓的大小的單位。

3.?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的距離。(將一個(gè)圓以任意圓上的兩點(diǎn)截?cái)嗫傻玫絻啥吻€，這兩條曲線就是弧)。弧分為劣弧和優(yōu)弧。小于半徑的弧稱為劣弧，通常用圓上的兩個(gè)點(diǎn)來表示，如大于半徑的弧稱為優(yōu)弧，通常用圓上的三個(gè)點(diǎn)來表示，如。

三、圓的對稱

關(guān)于圓的對稱有一個(gè)重要的定理——垂徑定理。圓的重要性質(zhì)需要通過垂徑定理來推敲，圓的對稱性也是證明弧相等、線段相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)。在進(jìn)行作圖、做圓輔助線以及圓的計(jì)算都涉及圓的對稱。因此，這部分內(nèi)容是圓教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

1.圓的軸對稱性及垂徑定理。垂徑定理指的是圓的直徑和弦，以及弦所對的弧之間的對應(yīng)關(guān)系，如弦所對的弧之間的垂直或平分，是解決圓內(nèi)的弧、角、線段的關(guān)系以及垂直關(guān)系的定理。例如，“已知四邊形ABCD 是⊙O 的內(nèi)接梯形，AB ∥CD，AB=8，CD=6，圓O 的半徑是5，則梯形的面積是？”想要求梯形面積就必須知道以下條件：上底、下底、高。求高則成了這道題的難點(diǎn)。由于已知半徑，做一條垂直于底邊的垂直平分輔助線，由輔助線做出兩個(gè)三角形，由勾股定理求出未知直角邊，兩直角邊之和就是梯形的高。由梯形面積公式可得梯形面積為49。

2.圓的中心對稱性。圓是中心對稱圖形。中心對稱圖形是指一個(gè)圖形本身成中心對稱。圓的對稱中心點(diǎn)是圓心。圓上所有點(diǎn)都是關(guān)于它的對稱中心的對應(yīng)點(diǎn)。而對應(yīng)點(diǎn)都在這個(gè)圖形上。如果將中心對稱的兩個(gè)圓看成一個(gè)圖形，那么這個(gè)由兩個(gè)圓組成的圖形就是中心對稱圖形。

四、圓周角定理

圓周角指的是頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角。即圓周角的頂點(diǎn)在圓上，而它的兩邊為圓的兩條弦。圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半。在圓周角的有關(guān)證明題、計(jì)算題當(dāng)中，如果能從圓心角與圓周角的關(guān)系來思考，一般都可以快捷地找到解題思路，從而使問題在短時(shí)間內(nèi)得到解答。例如，“在一個(gè)圓當(dāng)中，已知一條圓心角為60 度的弦，請畫出另外一條與其平行且長度為其二分之一弦?！苯忸}思路：“想要畫出一條與已知弦平行且長度為其二分之一的一條弦，只需要畫一條圓心角為30 度的且與其平行的弦即可。”

五、輔助圓的應(yīng)用

1.畫輔助圓求三角形的度數(shù)。求三角形的度數(shù)的一般方法為在公共點(diǎn)做一個(gè)頂點(diǎn)，然后再畫出三角形的外接圓。從而建立三角形與輔助圓之間的相應(yīng)關(guān)系，從而解決問題。例如，“在一個(gè)不規(guī)則三角形中做出一個(gè)等腰三角形?！苯忸}思路：“只需取三角形任意頂點(diǎn)為圓心以一條臨邊為半徑畫圓，該圓與三角形另一邊的交點(diǎn)則與其相等，從而得到等腰三角形。”

2.畫輔助圓求線段的長度。此方法較為簡單，只需遵循在同一圓內(nèi)任一半徑都相等的原則。

3.畫輔助圓求正多邊形的面積。正多邊形的面積是一個(gè)難點(diǎn)，如果在其外面畫輔助圓，然后通過畫三角形建立圓與多邊形之間的關(guān)系，即可簡化問題難度。

六、結(jié)語

圓是最基礎(chǔ)的平面圖形，在初中最常見的數(shù)學(xué)問題中都有涉及。當(dāng)我們遇到用常規(guī)思維方式不能解決的問題時(shí)，不妨利用畫輔助圓的方式將問題簡單化，仔細(xì)思考圓的各種特殊定義和性質(zhì)，即可將抽象題目直觀化，進(jìn)而解決我們遇到的各種復(fù)雜問題。