房占鵬， 張孟珂， 李宏偉

(1.鄭州輕工業(yè)大學 機電工程學院，河南 鄭州 450002； 2.倫敦瑪麗女王大學 電子工程與計算機科學學院，英國 倫敦 E1 4NS)

0 引言

約束阻尼結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、布置方便、占用空間少和在寬頻帶范圍內(nèi)具有很好減振降噪效果等特點[1]，在工程的減振降噪領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。對約束阻尼材料的布局進行優(yōu)化，獲得約束阻尼材料的優(yōu)化構(gòu)型，使約束阻尼材料粘貼在最佳的位置是嚴格控制附加質(zhì)量、提高約束阻尼材料使用效率有效的方法。

當前，很多學者以模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標對約束阻尼材料的布局進行優(yōu)化，使優(yōu)化的構(gòu)型能夠提高結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子，有效抑制結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)[2-5]。此外，以約束阻尼薄壁件的聲輻射最小化為優(yōu)化目標對阻尼材料的布局優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果對聲輻射有很好的抑制效果[6-7]。

基于頻率響應(yīng)的拓撲優(yōu)化能夠直接反映結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)，具有良好的工程應(yīng)用性和設(shè)計針對性[8-12]。結(jié)構(gòu)往往經(jīng)受復雜的振動激勵，特別是隨機激勵，會引起設(shè)備適應(yīng)性與人員舒適性以及結(jié)構(gòu)振動疲勞等問題[13]。約束阻尼結(jié)構(gòu)具有非比例阻尼特性， 結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)的靈敏度計算成本很高，因此，提出高效的靈敏度分析方法是隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化亟待解決的問題。

采用拓撲優(yōu)化方法對平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)的布局進行優(yōu)化。以平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的均方根值為優(yōu)化目標建立拓撲優(yōu)化模型。提出復模態(tài)疊加法和伴隨法相結(jié)合的靈敏度分析方法，有效提高靈敏度計算效率。采用移動漸近線法(MMA)對建立的拓撲優(yōu)化模型求解，得到優(yōu)化的約束阻尼結(jié)構(gòu)布局，提高約束阻尼結(jié)構(gòu)的減振降噪特性。

1 平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)分析

采用復模量對黏彈性阻尼材料進行表征，建立平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)的動力學方程為：

(1)

當前，對隨機激勵下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)分析常用的方法有完全二次法(CQC)、平方和開平方法(SRSS)以及虛擬激勵法(PEM)[14]。虛擬激勵法將平穩(wěn)隨機振動分析轉(zhuǎn)變?yōu)楹喼C振動分析，在保持計算精度的前提下，可有效提高計算效率。構(gòu)造虛擬激勵和其對應(yīng)的響應(yīng)為：

(2)

將式(2)代入式(1)可得：

(3)

采用復模態(tài)疊加法對式(3)求解可得：

(4)

式中：φr為第r階復模態(tài)振型向量；ωr為第r階復圓頻率。

平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)第i個自由度位移響應(yīng)的功率譜密度Sxixi和均方根值νxixi為：

(5)

(6)

式中：[ωα,ωβ]為隨機激勵的頻率區(qū)間。

2 平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化

2.1 拓撲優(yōu)化模型

平穩(wěn)隨機激勵下，以約束阻尼結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方根值最小化為優(yōu)化目標和約束阻尼材料體積為約束條件，建立其拓撲優(yōu)化模型為：

(7)

式中:ρe為設(shè)計變量e的密度值，取值為(0,1]；ρmin為設(shè)計變量密度值的最小值，本文取值為0.000 1；n為設(shè)計變量總數(shù)；Ve為設(shè)計變量密度值ρe=1時的約束阻尼材料的體積；V*為約束阻尼材料的體積分數(shù)。

2.2 靈敏度分析

優(yōu)化目標關(guān)于設(shè)計變量e的靈敏度為：

(8)

式(5)兩邊關(guān)于設(shè)計變量密度值的偏導為：

(9)

由于激勵力與結(jié)構(gòu)無關(guān)，因而式(3)兩邊關(guān)于設(shè)計變量密度值ρe的偏導為：

(10)

引入向量：

αi=[0,0,…,1,0,…,0]T,

(11)

式中除了優(yōu)化目標自由度i所對應(yīng)的第i個元素的值為1，其他元素值均為0。則

(12)

引入復伴隨向量：

Λ=ΛR+jΛI。

(13)

將式(10)兩邊左乘于ΛT并加上式(12)，可得

(14)

使復伴隨向量滿足以下方程：

αi-ΛT(KR+jKI-Mω2)=0。

(15)

式(15)即為伴隨方程，采用復模態(tài)疊加法對式(15)求解即可得到伴隨向量，則

(16)

根據(jù)SIMP的插值模型，約束阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可表示為：

(17)

約束阻尼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度為：

(18)

2.3 優(yōu)化流程

采用MMA對設(shè)計變量更新，最終獲得約束阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化構(gòu)型，優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程Figure 1 Block diagram of the optimization procedure

3 算例分析

3.1 懸臂的約束阻尼板

懸臂的矩形約束阻尼板的尺寸為：200 mm×100 mm，黏彈性阻尼層的彈性模量、密度、泊松比和損耗因子分別為：12 MPa、1 200 kg/m3、0.495和0.5，厚度為0.1 mm?；鶎雍图s束層均為鋁，其彈性模量、密度和泊松比分別為：70 GPa、2 700 kg/m3和0.3，其厚度分別為2 mm和0.2 mm。約束阻尼板的左邊約束，右邊自由，如圖2所示。

圖2 懸臂的約束阻尼板Figure 2 The cantilever plate/CLD system

平穩(wěn)隨機激勵作用于自由端中間，其功率譜密度矩陣為Sff=1 N2/Hz。以激勵點處的垂向位移響應(yīng)的均方根值最小為優(yōu)化目標。約束阻尼材料的體積分數(shù)為0.5。對約束阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化的兩個隨機激勵的頻率區(qū)間分別為：f1=[0,100] Hz和f2=[100, 1 000] Hz。

首先對提出的靈敏度計算方法和直接法的計算效率進行對比分析，頻率區(qū)間為f1=[0,100] Hz時，筆者提出的靈敏度計算方法對優(yōu)化目標的靈敏度計算時間為27.56 s，而直接法的計算時間為124.25 s?？梢钥闯觯P者提出的靈敏度計算方法的計算效率遠高于直接法。

優(yōu)化的約束阻尼材料的布局分別如圖3和圖4所示，圖中黑色部分為約束阻尼材料的布置區(qū)域，從圖中可以看出當優(yōu)化的頻率區(qū)間不同時，約束阻尼材料的優(yōu)化布局不同。優(yōu)化前后目標值的對比如表1所示。圖5和圖6分別為優(yōu)化前后各優(yōu)化頻段內(nèi)優(yōu)化目標位置處位移響應(yīng)的功率譜密度，從圖5、6中可以看出，在各個優(yōu)化頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)的振動得到了有效抑制。

圖3 優(yōu)化構(gòu)型(f1=[0,100] Hz)Figure 3 The optimal layouts of CLD treatment (f1=[0,100] Hz)

圖4 優(yōu)化構(gòu)型(f2=[100,1 000] Hz)Figure 4 The optimal layouts of CLD treatment (f2=[100,1 000] Hz)

表1 優(yōu)化前后優(yōu)化目標值對比Table 1 The comparison of the values of objective function before and after optimization

圖5 優(yōu)化前后功率譜密度對比圖(f1=[0,100] Hz)Figure 5 PSD curves of the initial and optimal design of CLD treatment (f1=[0,100] Hz)

圖6 優(yōu)化前后功率譜密度對比圖(f2=[100,1 000] Hz)Figure 6 PSD curves of the initial and optimal design of CLD treatment (f2=[100,1 000] Hz)

3.2 兩短邊固定的約束阻尼板

約束阻尼矩形板的尺寸為：400 mm×200 mm，其他尺寸和物理參數(shù)與算例1相同，兩短邊固定，兩長邊自由。平穩(wěn)隨機激勵作用于約束阻尼板的中心，其功率譜密度矩陣為Sff=1 N2/Hz。仍然以激勵點處的垂向位移響應(yīng)的均方根值最小為優(yōu)化目標。約束阻尼材料的體積分數(shù)分別為0.5和0.75。對約束阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化的隨機激勵的頻率區(qū)間為：f=[0,1 000] Hz。

優(yōu)化的約束阻尼材料的布局分別如圖7和圖8，計算結(jié)果表明：體積分數(shù)分別為0.5和0.75的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標比初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標分別減小了32.26%和40.78%。圖9為優(yōu)化前后目標位置處位移響應(yīng)的功率譜密度，從圖中可以看出，兩個體積分數(shù)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)在優(yōu)化目標位置處的位移響應(yīng)功率譜密度都比初始結(jié)構(gòu)有明顯減小。

圖7 優(yōu)化構(gòu)型 (V*=0.5)Figure 7 The optimal layouts of CLD treatment (V*=0.5)

圖8 優(yōu)化構(gòu)型 (V*=0.75)Figure 8 The optimal layouts of CLD treatment (V*=0.75)

圖9 優(yōu)化前后功率譜密度對比圖Figure 9 PSD curves of the initial and optimal design of CLD treatment

4 結(jié)論

(1) 以約束阻尼結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方根值最小化為優(yōu)化目標，約束阻尼材料體積為約束條件，約束阻尼單元為設(shè)計變量，建立平穩(wěn)隨機激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型。

(2) 針對拓撲優(yōu)化屬于優(yōu)化目標少、設(shè)計變量多的情況，提出了復模態(tài)疊加法和伴隨法相結(jié)合的靈敏度分析方法，有效提高靈敏度計算效率。

(3) 采用MMA算法對建立的約束阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型進行求解，對平穩(wěn)隨機激勵下的約束阻尼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，得到優(yōu)化的約束阻尼結(jié)構(gòu)比初始結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)明顯減小，驗證了筆者提出的優(yōu)化算法的正確性和有效性。