李 涌

（四川省綿陽中學(xué) 四川綿陽 621000）

求平面上動點的軌跡方程是教學(xué)大綱中要求掌握的內(nèi)容，也是高考中的考查內(nèi)容。軌跡就是即點的集合，方程是實數(shù)對的集合。在特定條件下求動點軌跡的方程，其實就是運用已知點的坐標(biāo)間特性尋求變量間關(guān)系。所以，在對軌跡方程進(jìn)行解題時，就要全面運用題目中給出的幾何條件，基于“解析化”把其變成代數(shù)式。因為動點運動規(guī)律提供的條件存在很大的差異，所以，求動點軌跡方程的方法自然也存在差異，教師要教授學(xué)生常用的解題方法，幫助學(xué)生掌握和運用，提升學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確性。

一、直接法

若是動點滿足的幾何條件自身屬于一些幾何量的等量關(guān)系或者是這些幾何條件簡單清楚和容易表達(dá)，那么就可以選用直接法，直降將關(guān)系翻譯為x，y的等式，這樣就能夠得出曲線的軌跡方程。使用這種方法對軌跡方程進(jìn)行求解，過程簡單，不用其他的步驟，也不用特殊技巧[1]。

在對曲線軌跡方程進(jìn)行求解時，學(xué)生要按照步驟進(jìn)行：首先，構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)軌跡上任意一點坐標(biāo)M（x，y）；其次，找到動點和已知點符合的關(guān)系式；再次，將動點和已知點坐標(biāo)帶入到關(guān)系式中；第四，對方程實施簡化整理；第五，證明求得的方程是所求曲線的軌跡方程。一般若是求軌跡方程，那么就可以省略第二步和第五步。

二、參數(shù)法

有時候在求動點時，需要滿足的幾何條件不容易得出，也沒有顯著的有關(guān)點，然而卻能夠發(fā)現(xiàn)該動點的運動常受到另一個變量的限制，如，截距、角度、比值、時間、斜率，也就是動點坐標(biāo)（x，y）中的x和y分別會跟隨另一變量變化而動態(tài)變化，這時就可以將該變量作為參數(shù)，結(jié)合其構(gòu)建出相應(yīng)的參數(shù)方程，這就是參數(shù)法。若是普通參數(shù)，就可以消除掉參數(shù)。在求解軌跡方程時，該方法就是一種常用方法，如果能合理的選擇參數(shù)，就可以對問題進(jìn)行簡化，提升學(xué)生的解題效率。

使用該方法求解動點軌跡方程，學(xué)生也需要按照步驟進(jìn)行：第一，構(gòu)建坐標(biāo)系，設(shè)動點p（x，y）；第二，結(jié)合軌跡條件，選擇相應(yīng)的參數(shù)；第三，明確動點坐標(biāo)中的x，y和參數(shù)的關(guān)系式，也就是構(gòu)建參數(shù)方程；第四，對參數(shù)進(jìn)行消除得出普通方程；第五，討論。在這些步驟中，明確參數(shù)是重點。選擇合理的參數(shù)需要方便構(gòu)建動點參數(shù)方程，還要容易消除參數(shù)。除此之外，動點跟隨動直線繞某個點旋轉(zhuǎn)的情況，參數(shù)選擇就應(yīng)確定為斜率k，這樣解題較為便利[2]。

三、相關(guān)點法

在一些問題中，其動點符合的條件不方便使用等式列出，然而動點是隨著另一動點，也就是相關(guān)點而運動，若是有關(guān)點符合的條件是能夠分析或者是顯著的，就可通過動點坐標(biāo)系代表有關(guān)點坐標(biāo)，結(jié)合有關(guān)點坐標(biāo)符合的方程就能夠求出動點的軌跡方程，該方法被稱為坐標(biāo)代換法或是相關(guān)點法。

四、定義法

如果動點軌跡條件符合某個基本軌跡定義，例如，雙曲線、橢圓、圓和拋物線，那么就可以結(jié)合定義內(nèi)容進(jìn)行軌跡方程的求解。

五、變軌法

在對動點軌跡進(jìn)行求解的過程中，有時會產(chǎn)生求兩條動點曲線交點的軌跡問題，一般基于方程組可以得到交點坐標(biāo)，之后再將參數(shù)進(jìn)行消除，得到要求軌跡的方程，變軌法通常會和參數(shù)法一起運用。

曲線方程求解和軌跡求解的要求存在差異，如果要求軌跡，那么除了要求出方程之外，還需要討論和闡述所求軌跡是什么樣的圖形、在何處、大小、位置。求軌跡需要先將軌跡方程求出，之后再闡述方程的軌跡圖形，最后，將增多的點去除及補漏，要是軌跡情況不一樣，就要分開討論。

六、軌跡方程求解需要注意的問題

第一，對于動點符合的所有條件需要全面、多層次的進(jìn)行分析，尤其要注意動點受到的隱含的限制條件，避免對點集范圍進(jìn)行縮小或者是擴大；第二，在簡化方程時，需要注意同解變形，而不是同解變形的，就要對x，y存在范圍進(jìn)行判別和說明，保證軌跡不重復(fù)不遺漏；第三，針對實際問題，就需要結(jié)合具體問題對于動點軌跡的限制；最后，要對軌跡方程與軌跡概念進(jìn)行區(qū)分。如果求動點軌跡，除了要寫出動點軌跡方程，還需要闡述軌跡名稱、位置特點和形狀特征等。

七、結(jié)束語

綜上所述，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重軌跡方程解決方法的教授，讓學(xué)生靈活的運用幾種解題法，如，直接法、變軌法、代換法、定義法等，讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)和掌握軌跡方程問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。