文/佛山市順德區(qū)李偉強職業(yè)技術學校 韋 生

廣東省高職高考是招收中等職業(yè)學校畢業(yè)生的選拔性考試，數(shù)學科考試旨在測試考生對數(shù)學的基礎知識、基本技能和基本的數(shù)學思想方法的掌握程度，對知識的認知要求分為了解、理解和掌握三個層次。近幾年來，高職高考數(shù)學試題對橢圓知識的考查一般安排在第24題，是數(shù)學卷的壓軸題，其中，第2小題學生得分率低、區(qū)分度高，因此，如何教學橢圓綜合題，我們認為應注意以下問題。

一、正確理解概念定義，獲取解題思路

2015年廣東高職高考題第24題。

例1：已知中心在坐標原點，兩焦點F1,F2在x軸上的橢圓E的離心率為4/5，拋物線y2=16x的焦點與F2重合.

(1)求橢圓E的方程;(2)若直線y=k(x+4)(k≠0)交橢圓E于C,D兩點，試判斷以坐標原點為圓心，周長等于△CF2D的圓O與橢圓E是否有交點？請說明理由.

(1)直線y=k(x+4)(k≠0)交橢圓E于C,D兩點，包含以下事實：

隱含直線過橢圓的焦點F1，△CF2D周長等于=4a=20。

(3)判斷圓與橢圓是否相交辦法有兩種。

由以上解題過程可知，正確理解題設條件，揭示條件蘊含的數(shù)學事實是成功解題的基礎。

二、掌握基本技能，簡化解題過程

2019年廣東3+證書高職高考題第24題。

例2：已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，且橢圓經(jīng)過點P(0,1)，線段AB經(jīng)過原點，A,B為橢圓上的點，且AF//PB.

(1)求橢圓的方程;(2)求三角形PAB的面積.

三角形PAB的面積怎么求？

首先，明確目標；

其次，選取解題方案：

求出AB距離，點P到直線AB距離，求出面積。

方法2：由橢圓以原點為對稱中心，上述解法改進為：

設點A(x,y),B(-x,-y),向量AF//向量PB，有y=x-1,又點A,B為橢圓上的點,

也可以挖掘題設，線段PB過橢圓的左焦點得出直線AB的斜率，求出三角形面積。

由上述幾個解題方案看出，課堂教學要注意強化學生的解題信心，其次要使學生熟練掌握相應題型的解題基本思路和基本運算技能。比如，方法1解方程組有一定難度，學生如果沒有強烈成功求解的欲望，就會容易放棄。方法2抓住橢圓為中心對稱圖形才能發(fā)現(xiàn)點A,B的坐標關系，才能夠成功解題。方法3需熟悉直線上點的橫縱坐標關系，才能夠成功解題。

三、掌握基本題型解法，增多解題方案

2018年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓C的標準方程;(2)設點P為橢圓C上任意一點，求cos∠F1PF2的最小值.

與這類問題最有可能關聯(lián)的方法是轉化為二次函數(shù)求值或利用均值定理求解。

二次函數(shù)求法：

PF1+PF2=6,PF1=m,PF2=6-m

均值定理求法：

PF12+PF22=36-2PF1*PF2

當且僅當PF1=PF2=3時取等號，即最小值-1/3。

有些學生表示會寫表達式但不會討論。

方法1：由余弦定理，很容易書寫出cos∠F1PF2表達式，引入字母表示：

方法2需要熟悉均值定理，通過類比聯(lián)想到a2+b2≥2ab,a+b=6,但也需要通過對分式進行化簡求出答案。

在相應數(shù)學思想方法的指導下，熟練掌握基本題型解法基礎，可通過類比找到解題思路，增加解題方案，提高解題能力。上面的例題都需要化簡才能得出結論，因此教學應引導學生明確化簡目的，講清每一步的解題思路，才能接近解題目標，更好地培養(yǎng)學生的化簡能力。

又如2013年廣東高職高考題第23(2)題。在平面直角坐標系xOy中，直線x=1與圓x2+y2=9交于兩點A和B，記以AB為直徑的圓為C，以點F1(-3,0)和F2(3,0)為焦點，短半軸長為4的橢圓為D。(1)求圓C和橢圓D的方程。(2)證明：圓C的圓心與橢圓D上的任意一點的距離大于圓C的半徑。

四、等價轉化條件，簡化解題過程

2017年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓的方程；(2)設點P為第一象限位于橢圓C上的一點，過點P和F2的直線交Y軸于點Q，若QF1⊥QF2，求線段PQ的長．

常規(guī)解法：

當解題思路受阻或運算過程過于繁雜，就應該回到題設，重新閱讀題目或將問題轉化、分解，結合解題目標，對條件、題設、相關定理、方法重新排列，獲取成功解題信息。

比如，通過觀察圖形，分解問題，得出新的解法。

如果注意力集中在焦距F1F2與∠OF2Q=45°,注意力集中在點P在橢圓，會聯(lián)想到橢圓的定義——PF1+PF2=6，進而合情合理地連接PF1,考慮三角形PF1F2,PF1+PF2=6,加之k=1,角PF2F1=135度，求PQ長變成求PF2+F2Q= PF2+2，從而得出新的解題方案：

在三角形PF1F2中，由余弦定理，設PF2=m,PF1=6-m,

五、注意聯(lián)想，獲取解題思路

2016年廣東高職高考題第24題。

(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C上的點到直線L:y=x+4的距離的最小值和最大值.

“橢圓的參數(shù)方程”在中職教材作為選學內容安排，甚至沒有安排這部分學習，用方法1求解對學生來說有難度,因此，需探索新的解題思路，可以通過以前做過的類似題目尋找解題方案。

例6：求圓(x-4)2+(y+2)2=25上的點到直線x-y+2=0的最大距離和最小距離.

分析：圓心為(4,-2),圓心到直線x-y+2=0為d，數(shù)形結合知，圓上的點到直線最小距離為d-r,最大距離為d+r。

將上述方法直接運用，用原點替代圓心求出d，橢圓沒有半徑r,所以不存在d±r，由此探索新的解題方法：

數(shù)形結合，圓心到直線的距離與圓的交點應該是切點，如下圖所示。將圓上的點到直線的距離轉化為兩條平行線間的距離問題。

設與直線x-y+2=0平行的直線為x-y+m=0

例5新的解法為：平行線距離。將問題背景轉化為橢圓，即：

六、歸納總結，獲取同類問題解題方法

通過改變問題條件，修正解題方法，獲取一類問題的解法，提高學生分析解決問題的能力。

例7：

如果對題2條件改變，改為∠F1PF2=α，則得到更為普遍的結論。

數(shù)學問題的解決離不開知識、技能技巧、數(shù)學方法的積累，對中職學生來說，既要加強對知識的正確理解與積累，又要加強對解題活動的總結。結合上述實例借助圖形輔助的思路發(fā)現(xiàn)，體驗解題活動就是“動員與組織、辨認與回憶、分離與組合”知識方法的提取過程，因此，需要總結如何才能順利調動大腦已有的數(shù)學知識方法來解題，優(yōu)化知識方法的“存儲”，達到易于“提取”的目的，從而提高解題能力。