牛光光， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

圓柱殼是核電、航空航天等工程領(lǐng)域廣泛采用的一種結(jié)構(gòu)形式，如核反應(yīng)堆吊籃、潛艇、大型儲(chǔ)油罐和火箭燃料室等大都采用圓柱殼結(jié)構(gòu)。圓柱殼與流體構(gòu)成典型的流固耦合系統(tǒng)，流體對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性影響較大，因此很多學(xué)者對(duì)圓柱殼流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究[1-15]。例如，馬建中等人[1]從圓柱殼的運(yùn)動(dòng)微分方程和流體的N-S方程出發(fā)，基于流體不可壓縮假設(shè)導(dǎo)出了作用在圓柱殼結(jié)構(gòu)上的流體附加質(zhì)量和附加阻尼，再結(jié)合有限元方法對(duì)耦合系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Zhang[2-4]采用波傳播方法對(duì)有限長浸水圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，通過與有限單元法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了波傳播方法的準(zhǔn)確性。梁斌等人[5]采用波傳播方法研究了不同條件下環(huán)肋功能梯度圓柱殼在靜水壓力下的耦合振動(dòng)特性。董宇[6]基于聲固耦合理論，采用Ansys軟件中的Fluid30單元對(duì)含環(huán)形間隙流體的同軸圓柱殼進(jìn)行了研究，結(jié)果表明隨著靜水間隙的減小，固有頻率隨之下降。徐建航[7]對(duì)Ansys中Fluid30單元計(jì)算小間隙流體的適用性問題進(jìn)行了研究。Moreno-García[8]詳細(xì)回顧了梁和板的自由振動(dòng)和屈曲計(jì)算中瑞利-里茲法所采用的幾種試函數(shù)，并針對(duì)固支矩形板的自由振動(dòng)問題，研究了6種試函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性、收斂性及計(jì)算時(shí)長。Lee等人[9]采用瑞利-里茲法研究了圓柱殼的自由振動(dòng)問題，給出了圓柱殼質(zhì)量陣、剛度陣的顯式表達(dá)式，并研究了不同邊界條件和不同假設(shè)下圓柱殼的固有特性。Askari等人[10]采用半解析的方法研究了圓形容器中浸水懸臂圓柱殼的耦合振動(dòng)問題，通過瑞利-里茲法計(jì)算耦合系統(tǒng)的固有頻率，利用有限單元法驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。張德春[11]采用能量的方法研究了懸臂同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)在水中的振動(dòng)特性，討論了流體間隙對(duì)同軸圓柱殼固有頻率的影響。Kwak[12-13]采用能量的方法研究了無限大流域內(nèi)、部分浸水懸臂圓柱殼的振動(dòng)特性,給出了殼體質(zhì)量陣、剛度陣和流體附加質(zhì)量陣的顯式表達(dá)式，通過求解特征值問題給出了圓柱殼的固有頻率。Wu[14]采用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值求解的方法研究了液位對(duì)圓柱殼儲(chǔ)液罐動(dòng)態(tài)特性的影響。研究發(fā)現(xiàn)，隨著液位的升高耦合系統(tǒng)的膨脹頻率出現(xiàn)了下降的趨勢。

綜上所述，目前主要有兩類方法計(jì)算圓柱殼流固耦合振動(dòng)問題，分別是波傳播法和能量法。前者直接從圓柱殼的運(yùn)動(dòng)微分方程出發(fā)，基于波動(dòng)理論迭代求解。后者先計(jì)算結(jié)構(gòu)和流體的能量，通過拉格朗日方程獲得耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，最后通過求解特征值獲得耦合系統(tǒng)的振動(dòng)頻率。很多學(xué)者對(duì)無限大域流體內(nèi)的圓柱殼耦合系統(tǒng)進(jìn)行了研究，但鮮有基于能量的方法對(duì)有限環(huán)形域內(nèi)圓柱殼方面的研究報(bào)道。鑒于此，本文基于能量的方法對(duì)有限環(huán)形域內(nèi)浸水懸臂圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，同時(shí)研究了不同液面高度和不同環(huán)形間隙的流體對(duì)圓柱殼固有頻率的影響規(guī)律。

1 圓柱殼耦合系統(tǒng)模型及能量分析

1.1圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)能

考慮圖1所示柱坐標(biāo)系下的圓柱殼結(jié)構(gòu)，圓柱殼中面半徑為R、厚度為h、長度為L，u、v和w分別是x、θ和z三個(gè)方向的位移分量。圓柱殼的動(dòng)能為：

(1)

式中：ρ為圓柱殼的密度。對(duì)三個(gè)方向的位移分量進(jìn)行模態(tài)展開，則圓柱殼的動(dòng)能疊加形式：

(2)

計(jì)算可得圓柱殼動(dòng)能：

(3)

式中：Ms為圓柱殼質(zhì)量陣：

(4)

圖1 柱坐標(biāo)系下圓柱殼模型

1.2圓柱殼結(jié)構(gòu)勢能

圓柱殼的勢能為其彈性應(yīng)變能，其勢能表達(dá)式如下：

(5)

代入滿足胡克定律的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，并對(duì)應(yīng)變分量進(jìn)行模態(tài)展開，則圓柱殼總的勢能V可以寫成n個(gè)勢能疊加的形式：

(6)

(7)

式中：KnF為圓柱殼的剛度陣。

(8)

1.3流體動(dòng)能

圖2 圓柱殼流固耦合模型

(1)外部流體勢

(9)

式中：上標(biāo)e表示外部流體域Ⅱ。流體勢滿足柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程：

(10)

外部流體邊界條件：

(11)

式中：wn(x,θ,t)為圓柱殼的徑向位移分量。根據(jù)文獻(xiàn)[13]的方法，流體勢可寫成：

(12)

通過分離變量的方法，引入邊界條件，對(duì)拉普拉斯方程求解可得流體勢表達(dá)式：

(13)

(2)內(nèi)部流體勢

同理，對(duì)于內(nèi)部流體勢求解與外部流體有相同的求解方法。內(nèi)部流體邊界條件如下：

(14)

式中上標(biāo)示i表示部流體域I。內(nèi)部流體和外部流體的求解區(qū)別在于對(duì)不同邊界條件的處理，對(duì)于內(nèi)部流體需要利用Bessel函數(shù)的性質(zhì)，即當(dāng)內(nèi)部流體在r→0時(shí)，Kn(λkr)趨向于無窮大。內(nèi)部流體勢表達(dá)式為：

(15)

(3)耦合系統(tǒng)總動(dòng)能

耦合系統(tǒng)總的動(dòng)能為圓柱殼動(dòng)能與流體動(dòng)能之和：

(16)

式中：

其中Mfe=-(PnλInλ(R)+

2 特征值問題

求得耦合系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，代入拉格朗日方程：

(17)

式中：Ln=Tn-Vsn。則耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

(18)

(19)

3 算例討論

圓柱殼采用懸臂約束，對(duì)于懸臂圓柱殼模型，一端固支一端自由，其滿足如下邊界條件：

(20)

式中：u,v,w為位移，M和N分別為彎矩和剪力。

對(duì)于上述邊界條件，圓柱殼試函數(shù)采用懸臂梁的模態(tài)振型，懸臂梁試函數(shù)φi：

(21)

試函數(shù)代入質(zhì)量陣和剛度陣的表達(dá)式，通過求解特征值問題即可計(jì)算出圓柱殼的固有頻率。為了驗(yàn)證能量法計(jì)算圓柱殼固有頻率的準(zhǔn)確性，采用有限元軟件Ansys的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。分別計(jì)算兩種工況：(1)真空中圓柱殼的固有頻率；(2)耦合系統(tǒng)中圓柱殼的固有頻率。計(jì)算所需要的模型參數(shù)如下：內(nèi)部圓柱殼中面半徑R=4 m，壁厚h=0.04 m，長度L=20 m，楊氏模量E=2e11 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=8000 kg/m3；流體為水，密度ρf=1000 kg/m3，聲速c=1400 m/s，液面高度H=L；外部圓柱殼內(nèi)徑R1=10 m。有限元建模中，圓柱殼采用SOLSH190單元，流體采用FLUID30單元。真空中圓柱殼的模態(tài)提取采用BlockLanczos方法，耦合系統(tǒng)中圓柱殼的模態(tài)提取采用Unsymmetric方法。本文提取前七階頻率進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，真空和耦合系統(tǒng)中圓柱殼頻率對(duì)比結(jié)果分別見表1和表2。從表1中可以看出，基于能量法的真空中圓柱殼固有頻率計(jì)算結(jié)果和有限元法的計(jì)算結(jié)果有較好的吻合，表2也有相同的趨勢。有限元法的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了能量法的可行性及準(zhǔn)確性。對(duì)比表1和表2發(fā)現(xiàn)，靜水中的圓柱殼頻率顯著低于空氣中的頻率。

表1真空中圓柱殼頻率對(duì)比

表2耦合系統(tǒng)圓柱殼頻率對(duì)比

(1)液面高度H對(duì)圓柱殼頻率的影響：一階梁(m=1,n=1)頻率隨液面高度變化如圖3所示。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)液面高度在圓柱殼1/2高度以下時(shí)，圓柱殼的頻率隨液面高度變化顯著，說明在這個(gè)高度范圍內(nèi)，圓柱殼的頻率對(duì)液面高度變化較為敏感；隨著液面高度的增加，圓柱殼的頻率變化趨于穩(wěn)定。圓柱殼頻率的變化是由于耦合系統(tǒng)中流體附加質(zhì)量的作用，流體液面升高使得流體附加質(zhì)量增加，導(dǎo)致圓柱殼頻率降低。

圖3 一階梁(m=1,n=1)頻率隨液面高度變化

(2)流體環(huán)形間隙對(duì)圓柱殼頻率的影響：圓柱殼各階頻率隨環(huán)形間隙大小變化如圖4所示。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，隨著環(huán)形間隙的不斷縮小，圓柱殼的頻率迅速下降；當(dāng)間隙趨于零時(shí)，圓柱殼的頻率趨于無窮小。這是由于間隙很小時(shí)，附加質(zhì)量會(huì)趨于無窮大[11]。

圖4 圓柱殼頻率隨流體間隙變化

4 結(jié)束語

基于能量的方法對(duì)浸水懸臂圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。利用Ansys程序驗(yàn)證了該方法的可行性及準(zhǔn)確性，該方法直接給出了耦合系統(tǒng)中質(zhì)量陣、剛度陣和流體附加質(zhì)量陣的顯式表達(dá)式。通過對(duì)液面高度和環(huán)形間隙的研究發(fā)現(xiàn)：圓柱殼的頻率隨著液面高度的升高而降低，隨著環(huán)形間隙的減小而降低。運(yùn)用本方法，還可以計(jì)算不同邊界條件和不同圓柱殼理論的流固耦合振動(dòng)問題，通過改變試函數(shù)和應(yīng)變的假設(shè)，可以求解不同邊界和不同圓柱殼理論的流固耦合振動(dòng)問題。