文 王 瑞

學習了“對稱圖形——圓”這一章之后，同學們對圓的有關性質、直線與圓的位置關系以及圓的有關計算都有了一定的了解，并能解決一些問題。但如何根據題目的條件正確添加輔助線來解題，往往困擾著很多同學。下面老師結合江蘇省部分中考題與同學們一起梳理如何在圓中合理地添加輔助線。

一、邊等方向

例1（2020·江蘇南京）如圖1，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D。若⊙P的半徑是5，點A的坐標是（0，8），則點D的坐標是（ ）。

A.（9，2） B.（9，3）

C.（10，2） D.（10，3）

【分析】如圖2，設⊙O與x軸、y軸相切的切點分別是F、E點，連接PE、PF、PD，延長EP與CD交于點G，則四邊形PEOF為正方形，可求得CG=3，再根據垂徑定理求得CD=6，進而得PG=4，DB=3，便可得D點坐標為（9，2）。

【答案】A。

【點評】遇切點，連接切點和圓心得直角；求弦長作垂線段，連半徑，利用勾股定理。這些是圓中常見的輔助線，同學們應熟練掌握。

二、角等方向

例2（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖3，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，∠ADC=106°，則∠CAB等于（ ）。

A.10° B.14° C.16° D.26°

【分析】方法1：如圖4，連接BD，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，則可計算出∠BDC=16°，然后根據圓周角定理得到∠CAB的度數。

方法2：如圖5，連接BC，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，要求∠CAB的度數，則只需求∠B的度數，我們可以根據圓內接四邊形的性質求得。

【答案】C。

【點評】解決圓中角度的問題，通常關注以下3個核心知識點構造輔助線解題：①同弧或等弧所對的圓周角相等，并且等于該弧所對圓心角的一半；②直徑→90°圓周角，直徑←90°圓周角；③圓內接四邊形對角互補→圓內接四邊形的一個外角等于相鄰角的內對角。

例3（2020·江蘇泰州）如圖6，在⊙O中，點P為的中點，弦AD、PC互相垂直，垂足為M，BC分別與AD、PD相交于點E、N，連接BD、MN。

（1）求證：N為BE的中點。

（2）若⊙O的半徑為8，的度數為90°，求線段MN的長。

【分析】（1）如圖6，根據圓周角定理得∠ADP=∠BCP，由△CEM與△DNE為一組共頂點的三角形可知∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB，最后由等腰三角形的判定和性質可得結論。

（2）如圖7，連接OA、OB、AB、AC，先根據勾股定理得AB=，再 證明MN是△AEB的中位線，可得MN的長。

（1）證明：∵AD⊥PC，

∴∠EMC=90°。

∵點P為的中點，

∴∠ADP=∠BCP。

∵∠CEM=∠DEN，

∴∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB。

∴∠BDP=∠ADP，

∴∠DEN=∠DBN，

∴DE=DB，

∴EN=BN，

∴N為BE的中點。

（2）解：MN=。（過程略）

【點評】由條件“P為的中點”自然聯(lián)想到所對圓周角相等，要證明“N為中點”這個結論，勢必轉化為證“等腰△DEB”。本題的難點在于△CEM與△DNE為一組共頂點的三角形，即我們熟知的“8字”模型，因此同學們平時要加強對數學模型的積累。

解決問題時，同學們一方面要“由因推果”，另一方面還可以“執(zhí)果索因”。兩種分析問題的方法交替思考，才可能提高解題效率。

三、垂直方向

例4（2020·江蘇鹽城）如圖8，⊙O是△ABC的 外 接 圓，AB是⊙O的 直 徑，∠DCA=∠B。

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點F，求證：△DCF是等腰三角形。

【分析】（1）如圖9，連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠OCA=∠A，根據圓周角定理得到∠BCA=90°，求得OC⊥CD，于是得到結論。

（2）根據已知條件得到∠A+∠DCA=90°，得到∠DCA=∠EFA，推出∠DCA=∠DFC，于是得到DC=DF。

【點評】通常切線的證明分為：①有交點，連半徑、證直角；②無交點，作垂直、證半徑。通過審題，我們不難發(fā)現，本題屬于第①類，接下來只要等量代換即可證出直角。

例5（2020·江蘇無錫）如圖10，已知△ABC是銳角三角形（AC＜AB）。

（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線l，使l上的各點到B、C兩點的距離相等；設直線l與AB、BC分別交于點M、N，作一個圓，使得圓心O在線段MN上，且與邊AB、BC相切；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BM=，BC=2，則⊙O的半徑為________。

【分析】（1）如圖11，作線段BC的垂直平分線交AB于M，交BC于N；作∠ABC的角平分線交MN于點O，以O為圓心，ON為半徑作⊙O即可。

（2）過點O作OE⊥AB于點E。設OE=ON=r，構建方程求解即可。

【答案】（1）如圖11，直線l和⊙O即為所求。

【點評】尺規(guī)作圖問題往往可以根據條件畫一個“草圖”，利用“草圖”倒過來想要求作的圖形應滿足什么條件，再作圖。作圖問題通常利用這種“假設法”來思考。

通常求線段長的方法是：勾股定理，等積法，證明相似，而對于不能直接求解的還可以構造方程求解。

縱觀以上例題，解題無非“轉化”。同學們在日常學習中要將“重要定理”“基本圖形”“基本思想”牢記于心，解題過程中應對題目的知識本源進行相關或相近聯(lián)想，通過解題積累經驗和策略。