文 曹小龍

文 謝蓓蓓

圓中的考點(diǎn)繁多，它往往綜合了直線圖形的所有知識(shí)、方法及思想。因此，其出錯(cuò)率也相對(duì)較高。

一、題中雖無(wú)圓，心中應(yīng)有圓

例1（2020·江蘇南京）如圖1，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠1=39°，則∠AOC=________°。

【錯(cuò)解】錯(cuò)誤度數(shù)。

【錯(cuò)因】簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化或計(jì)算失誤。連接AC，想用△AOC的內(nèi)角和，或欲用“鏢形”求解，糾結(jié)于求∠A與∠C，或不知∠1=39°有何用，沒(méi)有思路。

【正解】78。

【剖析】本題方法眾多，主要利用線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等（如圖2、圖3），均要由∠1=39°得其補(bǔ)角∠DOE或內(nèi)對(duì)角∠B。但最優(yōu)解可以用圓的知識(shí)快速解決（如圖4），由四邊形內(nèi)角和易得∠B=∠1=39°，由點(diǎn)O是垂直平分線交點(diǎn)易得∠AOC實(shí)為⊙O中圓周角∠B所對(duì)圓心角。

二、題目若無(wú)圖，多半要分類

例2（2020·黑龍江雞西）在半徑為的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P，AB=CD=4，則S△ACP=________。

【錯(cuò)解】答案寫不全。

【錯(cuò)因】只畫出一種符合題意的示意圖，未考慮字母的位置分類，導(dǎo)致漏解。

【正解】或或。

【剖析】本題考查了垂徑定理及勾股定理等知識(shí)。如圖5，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連接OD、OB，則=2。在Rt△OBE中，OE=1，同理OF=1，易證四邊形OEPF為正方形，PA=PC=1，則S△ACP=。同理，如圖6、圖7，S△ACP分別為或。若題目中無(wú)圖，我們則應(yīng)特別注意對(duì)形狀、位置等進(jìn)行分類討論。

三、圓與線相切，無(wú)點(diǎn)作垂直

例3（2020·遼寧營(yíng)口）如圖8，△ABC中，∠ACB=90°，BO為△ABC的角平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點(diǎn)D。求證：AB為⊙O的切線。

【錯(cuò)解】連接OH，再證OH⊥AB……

【錯(cuò)因】AB與⊙O的公共點(diǎn)情況是未知的，圖中也未標(biāo)字母，連接OH無(wú)據(jù)可依。

【正解】證明：如圖9，過(guò)O作OH⊥AB于H。

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC。

∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，

∴OH=OC，即OH為⊙O的半徑。

∵OH⊥AB，∴AB為⊙O的切線。

【剖析】圓的切線本質(zhì)是圓心到直線的距離等于半徑。切線的證明主要有兩類：有交點(diǎn)可連半徑，證垂直；無(wú)交點(diǎn)可作垂直，證半徑。我們應(yīng)視具體情況選擇，本題屬后者。

四、論證莫虛假，邏輯鏈要完整

例4（2020·上海）如圖10，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D。（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大??；（3）當(dāng)AD=2，CD=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)。

【錯(cuò)解】（1）連接OA。∵AB=AC，

∴∠BAO=∠CAO……

（2）若BD=BC，則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD=67.5°；

（3）由（2）得△BCD∽△ACB，則BC2=CD·AC……

【錯(cuò)因】（1）推理過(guò)程缺失，邏輯鏈條斷裂；（2）思維定式，被圖形的特殊位置限制；（3）沿用不可用的第（2）小題的條件，實(shí)為虛假論證。

【正解】（1）證明：如圖11，作直徑AG交BC于H。

∵AB=AC，∴，

∴∠BAO=∠CAO，AH⊥BC。

∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，

∴∠BAC=2∠ABD。

（2）解：①若BD=BC，

則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD，

∴∠DBC=2∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，

∴8∠ABD=180°，

∴∠BCD=3∠ABD=67.5°。

②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，

∴∠BCD=4∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°，

∴10∠ABD=180°，

∴∠BCD=4∠ABD=72°。

③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在。

（3）解：如圖12中，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于E。

設(shè)OB=OA=4a，則OH=3a，

∵BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，

∴25-49a2=16a2-9a2，

∴BC=2BH=。

【剖析】本題綜合考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造基本圖，難點(diǎn)是比例轉(zhuǎn)換，利用參數(shù)構(gòu)建方程。