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        巧求圓中的陰影面積

        2020-11-05 03:35:26
        初中生世界 2020年39期
        關(guān)鍵詞:規(guī)則

        文 郭 琳

        同學(xué)們?cè)诮鉀Q圓中的陰影面積這類問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)該“以不變應(yīng)萬(wàn)變”,利用核心方法——割補(bǔ)法,將陰影面積變換成規(guī)則圖形的面積和或者差的形式,做到“無(wú)論圖形怎么變換,我自有解決的辦法”。

        例1已知:如圖1,AB為半圓⊙O的直徑,C、D為半圓⊙O的三等分點(diǎn),若AB=12,求陰影部分的面積。

        【分析】不難發(fā)現(xiàn)陰影部分不規(guī)則,那么我們可以考慮兩種方式。一種方式是連接BD,將不規(guī)則的陰影部分分割成三角形和弓形,同時(shí)利用BD和OC之間互相平行的關(guān)系,借助三角形同底等高面積相同的關(guān)系,將△CDB的面積轉(zhuǎn)化為△ODC的面積;另一種方式是連接OD交BC于P點(diǎn),將△PCD的面積轉(zhuǎn)化為△PBO的面積,這樣整個(gè)陰影部分變成扇形OBD,將不規(guī)則圖形借助割補(bǔ)的方式變成了規(guī)則圖形。

        解:連接OD交BC于點(diǎn)P,連接OC。

        ∵C、D為圓的三等分點(diǎn),

        ∴∠COD=60°,∠BOD=60°。

        又∵OC=OD,

        ∴△COD為等邊三角形,

        ∴CD=OB,∠CDO=60°。

        在△CPD和△BPO中,

        ∴△CPD≌△BPO(AAS)。

        ∴S陰影=S扇形BOD=。

        例2(2019·江蘇揚(yáng)州)如圖2,將四邊形ABCD繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至四邊形AB′C′D′的位置,若AB=16cm,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______cm2。

        【分析】由圖形的旋轉(zhuǎn)可以得到四邊形ABCD和四邊形AB′C′D′的面積相同,如果記AB和C′D′的交點(diǎn)為P,則兩個(gè)四邊形減掉三角形APD′后的面積相同,也就是左上角那個(gè)不規(guī)則多邊形AD′PBCD的面積可以轉(zhuǎn)化為四邊形APC′B′的面積,這樣整個(gè)不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則的扇形ABB′的面積。初中階段常用的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換,在我們解決陰影面積問(wèn)題,化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到。

        解:記AB和C′D′的交點(diǎn)為P。

        由題意,可知S四邊形ABCD=S四邊形AB′C′D′,

        又S△APD′=S△APD′,

        ∴S陰影=S扇形ABB′=π×162=32π。

        例3(2019·江蘇宿遷)如圖3,正六邊形的邊長(zhǎng)為2,分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓,與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和(陰影部分面積)是( )。

        【分析】正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵,所以我們可以從陰影部分的產(chǎn)生過(guò)程來(lái)尋找解決陰影面積的方法。從整體來(lái)觀察,整個(gè)花朵圖形可以看成是中間圓的面積加上六個(gè)月牙的面積,也可以看成是正六邊形的面積加上六個(gè)半圓的面積。這樣一來(lái),月牙的面積其實(shí)是整體面積與中間大圓面積的差。

        解:6個(gè)月牙形的面積之和=。

        故選A。

        例4如圖4所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,分別以B、C為圓心,2為半徑畫(huà)弧,求陰影部分的面積。

        【分析一】通過(guò)觀察圖形,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)扇形(扇形BAE與扇形CAD)重疊的一個(gè)組合圖形,陰影部分正好是重疊部分的面積,因此我們可以用如下方法來(lái)求解。

        解法一:陰影部分面積=扇形BAE的面積+扇形CAD的面積-△ABC的面積。

        如圖5,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F。

        ∵∠BAC=90°,AB=AC=2,AF⊥BC,

        ∴扇形BAE的面積=扇形CAD的面積,

        即S陰影=2S扇形BAE-S△ABC

        =π-2。

        【分析二】觀察圖6,我們不難發(fā)現(xiàn),整個(gè)圖形,包括陰影部分都是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是BC的垂直平分線AF。因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,所以BF=CF=AF,如果將AF左右兩側(cè)的陰影部分繞F點(diǎn)逆時(shí)針或者順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后,它們會(huì)和原來(lái)的圖形構(gòu)成一個(gè)扇形,而陰影部分會(huì)轉(zhuǎn)化成扇形的一部分——弓形。這就是借助旋轉(zhuǎn)變換將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積。

        解法二:如圖6所示,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC,垂足為F。以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心,分別將陰影ADF部分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,將陰影AEF部分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則陰影部分面積=扇形ABC的面積-△ABC的面積。

        S陰影=S扇形ABC-S△ABC

        =π-2。

        【分析三】雖然要求的是圖形的面積,但是我們依然可以考慮采用代數(shù)方法,即利用圖形中面積的和差所隱含的等量關(guān)系來(lái)構(gòu)造方程去解決。雖然中間的陰影部分和左右兩個(gè)白色區(qū)域并不規(guī)則,但是它們共同構(gòu)成的圖形(比如等腰直角三角形ABC或者扇形面積)都是非常容易求出來(lái)的,借助方程組的思想便可以解決這類問(wèn)題。

        解法三:設(shè)陰影部分面積為X,每一處空白部分面積為Y。

        解這個(gè)方程組,得X=π-2。

        同學(xué)們?cè)诮鉀Q圓中陰影面積問(wèn)題的過(guò)程中,要注意觀察圖形,借助割補(bǔ)法,利用圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換,將陰影部分面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積來(lái)解決,基本的思想方法就是化不規(guī)則為規(guī)則。

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