文 曹 陽

一、根據(jù)圓的定義構(gòu)造圓

初中階段的許多幾何問題雖然看似與圓無關(guān)，但是若能結(jié)合題目的已知條件，找出與圓有關(guān)聯(lián)的條件，借助隱圓或輔助圓，看透問題的本質(zhì)，就能運(yùn)用圓的性質(zhì)予以解決。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為________。

【解析】如圖2，因?yàn)锳B=AC=AD=2，所以B、C、D在以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓上。延長BA交⊙A于點(diǎn)E，連接DE。由DC∥AB得DE=BC=1，再根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，所以在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=。

例2如圖3，菱形ABCD的邊長為6，∠B=120°，點(diǎn)E在BC上，CE=2，F(xiàn)是線段AD上一點(diǎn)。將四邊形BEFA沿直線EF折疊，B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，當(dāng)DB′的長度最小時，DF的長為________。

【解析】如圖4，由折疊可得EB′=EB，所以點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心，EB長為半徑的圓上。當(dāng)D、B′、E三點(diǎn)共線時（如圖5），DB′的長度最小，此時易證DF=DE。過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H。由菱形的性質(zhì)可以求出∠C=60°，DC=6。先在Rt△DHC中，求出DH=，CH=3，再在Rt△DHE中，由勾股定理得DE=，所以DF=。

二、根據(jù)定邊對定角構(gòu)造圓

【點(diǎn)評】根據(jù)圓的定義，我們首先觀察出幾個點(diǎn)到同一個點(diǎn)的距離相等，那么這里隱藏了一個圓；接著我們以這個定點(diǎn)為圓心，以這個距離為半徑畫出這個隱藏的圓，借助隱圓就可以快速求出角度或線段長度。

例3（2019·江蘇南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，則BC的長的取值范圍是________。

【解析】如圖6，作△ABC的外接圓，當(dāng)∠BAC=90°時，BC最長，為該外接圓的直徑，求得此時；當(dāng)∠BAC=∠ABC時，△ABC是等邊三角形，此時BC=4；由已知條件∠BAC＞∠ABC，可得BC的長的取值范圍是4＜BC≤。

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，作出△ABC的外接圓進(jìn)行推理計算是解題的關(guān)鍵。幾何最值問題探索性強(qiáng)、難度較大，其中有一類與隱圓有關(guān)的最值問題，越來越受到命題者的青睞，解決這類題較為有效的方式是追蹤動點(diǎn)的生成過程，研究其運(yùn)動軌跡。因?yàn)榇祟}中AB=4（定邊），∠C=60°（定角），所以點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡就是以AB為弦，定角為圓周角的弧。