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        奇妙的“三線合一”

        2020-11-04 06:25:54南京師范大學第二附屬初級中學八徐春陽魏詩茹
        初中生世界 2020年38期
        關鍵詞:方法

        文 南京師范大學第二附屬初級中學八(9)班 徐春陽 魏詩茹

        等腰三角形“三線合一”的性質為我們解決問題提供了一個添加輔助線的方向。下面結合一道題目和大家談談我們的體會。

        【問題情境】如圖1,△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,AB=AC,D為BC的中點。若過點D作DM⊥DN,DM、DN分別交AB、AC于點M、N,求證:DM=DN。

        該題欲證DM=DN,則需構造全等三角形,連接AD,證明△AMD≌△CND即可。

        【舉一反三】如圖2,已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC的中點,P是BC上任意一點,且四邊形PEAF是長方形。求證:DE=DF。

        解答該題仍需連接AD,證明△BED≌△AFD即可。

        【感悟】對于已知底邊中點的等腰三角形問題,根據“三線合一”,連接頂點和底邊中點是常見的輔助線作法,以此為基礎,可以證明線段相等、直線垂直或角相等。我們再看一題:

        如圖3,AB=AC,AD=AE,求證:BD=CE。

        方法一:過點A作AM⊥BC于點M,∵AB=AC,AD=AE,∴根據“三線合一”得:BM=CM,DM=EM,∴BM-DM=CM-EM,即BD=CE。

        方法二:過點A作∠BAC的平分線AM交BC于點M,∵AB=AC,∠BAM=∠CAM,∴AM⊥BC,此時回到了方法一。

        方法三:取BC的中點M,連接AM,∵AB=AC,BM=CM,∴AM⊥BC,此時又回到了方法一。

        【感悟】“三線合一”的功能在本題中得到完美展現(xiàn)。所作輔助線看上去是同一條線,但表述不同、含義不同,證明過程就略有區(qū)別。本題雖然也可以通過三角形全等來證明,但它“繞路”了。

        教師點評

        小作者在解決等腰三角形問題時,通過觀察、思考、實踐得到感悟,發(fā)現(xiàn)從等腰三角形“三線合一”出發(fā)添加輔助線的方法:當有底邊有中點時,連接頂點和中點;當無底邊中點條件時,有時要“構造”底邊中線(底邊上的高、頂角平分線)。解題時有了這樣一種“條件反射”,數學思維就迅捷、連貫,這樣的品質難能可貴。

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