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        一題多探 舉一反三

        2020-11-04 06:25:52劉玉兵
        初中生世界 2020年38期
        關(guān)鍵詞:平分等腰三角例題

        文 劉玉兵

        教材習(xí)題是專家精心編寫而成的,我們要創(chuàng)造性地用足、用好教材習(xí)題。下面以一道習(xí)題來舉例說明。

        蘇科版數(shù)學(xué)教材八(上)第67頁習(xí)題2.5第10題:如圖1,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且點(diǎn)A、C、E在一條直線上。AD與BE相等嗎?證明你的結(jié)論。

        【分析】把AD、BE分別放到兩個三角形中,證明三角形全等,再由全等三角形的對應(yīng)邊相等推出AD=BE。證明過程略。

        【探索一】如圖2,在例題的基礎(chǔ)上,設(shè)AD與BC交于點(diǎn)F,BE與CD交于點(diǎn)G,AD與BE交于點(diǎn)H,求∠AHB。

        【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 ∠AHB=∠DAC+∠BEC,再由△ACD≌△BCE推出∠DAC=∠EBC,所以∠AHB=∠EBC+∠BEC=∠ACB=60°。

        【探索二】△ACF與△BCG全等嗎?

        【分析】△ACF與△BCG全等。由∠FAC=∠GBC,AC=BC,∠FCG=∠ACB=60°,利用“ASA”證明。證明過程留給同學(xué)們自行探索。

        【探索三】如圖3,連接FG,△FCG是什么特殊的三角形?

        【分析】因?yàn)椤鰽CF≌△BCG,則CF=CG,又因?yàn)椤螰CG=60°,根據(jù)“有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形”得出△FCG是等邊三角形。

        【探索四】請問同學(xué)們,探索三中FG與AE平行嗎?試著證明一下。

        【探索五】在探索一的基礎(chǔ)上,如圖4,連接CH,試證明CH平分∠AHE。

        【分析】要證明CH平分∠AHE,就是要證明∠AHC=∠EHC,那可以利用“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”這條定理,想辦法證明點(diǎn)C到∠AHE的兩邊距離相等。作CM⊥HE于點(diǎn)M,CN⊥AH于點(diǎn)N。

        【方法一】∵△ACD≌△BCE,∴△ACD和△BCE的面積相等,∴AD·CN=BE·CM,∵AD=BE,∴CM=CN,∴點(diǎn)C在∠AHE的角平線上,∴CH平分∠AHE。

        【方法二】∠CMB=∠CNA=90°,

        ∵△ACD≌△BCE,

        ∴∠CAD=∠CBE。再利用“AAS”證明△CMB≌△CNA,得到CM=CN,∴點(diǎn)C在∠AHE的角平線上,∴CH平分∠AHE。

        如果把例題適當(dāng)改編一下,又會如何呢?

        【探索六】如圖5,等腰三角形ABD與等腰三角形BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α,A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上,連接AE、CD。AE與CD是否相等?

        【分析】要證明AE與CD相等,只要證明△ABE≌△DBC即可。

        【探索七】∠DHA有多少度?試著證明一下。

        【探索八】若連接HB,HB平分∠AHC嗎?

        【分析】仿照探索五的兩種方法即可證明。

        探索六到探索八的證明過程請同學(xué)們試著自行探索。一題多問可以激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,打開想象的翅膀,促進(jìn)我們思維的發(fā)展。愿同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上,都能成為一個智慧的“探索者”。

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