林高榮，劉加朋，于金鵬

（青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島266071）

隨著機(jī)械臂在社會生活中的運(yùn)用日益廣泛，其工作環(huán)境也越來越復(fù)雜，僅依靠機(jī)械臂的位置控制已不能滿足當(dāng)今的工作需求。 人與機(jī)械臂的交互協(xié)作技術(shù)在社會生產(chǎn)中的運(yùn)用已成為未來發(fā)展的趨勢，同時為提高人/機(jī)械臂交互系統(tǒng)的安全性與柔順性，對更高精度的機(jī)械臂力/位控制策略有更迫切的需求，因此對機(jī)械臂更好地進(jìn)行力/位控制已成為一個重要的研究熱點(diǎn)。

為解決這一難題，海內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了力/位混合控制[1]、阻抗控制[2]等力/位控制方法。 阻抗控制具有抗擾動能力強(qiáng)、計(jì)算量相對較少，以及易于機(jī)械臂進(jìn)行力控制等特點(diǎn)[3]，因此受到海內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。

1 機(jī)械臂阻抗控制技術(shù)的相關(guān)研究

近年來，機(jī)械臂的阻抗控制技術(shù)得到了極大的發(fā)展。 文獻(xiàn)[3]針對機(jī)械臂系統(tǒng)，研究了阻抗控制器的設(shè)計(jì)方法，但是未能實(shí)現(xiàn)對力的精準(zhǔn)控制。 文獻(xiàn)[4]通過力傳感器測量反饋力信號來估計(jì)位置環(huán)境模型，利用力信號分析，并結(jié)合阻抗控制，從而使機(jī)械臂末端在未知接觸環(huán)境表面上的力控制精度得到了提高；文獻(xiàn)[5]研究了模糊自適應(yīng)的阻抗控制方法，該方法通過模糊自適應(yīng)技術(shù)，不斷調(diào)整期待阻抗參數(shù)，并以滑模位置控制作為內(nèi)環(huán)控制器，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性；文獻(xiàn)[6]利用模糊自適應(yīng)方法逼近未知的機(jī)械臂系統(tǒng)模型參數(shù)，并設(shè)計(jì)阻抗控制器，該控制器取得較好的力/位控制效果。然而，文獻(xiàn)[6]所提機(jī)械臂反步法阻抗控制方法在跟蹤期望信號上響應(yīng)速度較慢，造成機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤性能相對較差。 有限時間控制[7]能夠使被控系統(tǒng)在有限時間內(nèi)系統(tǒng)輸出信號趨于期望信號，機(jī)械臂系統(tǒng)的有限時間控制能夠使機(jī)械臂系統(tǒng)在有限時間內(nèi)具有較快的響應(yīng)速度，同時獲得更高的控制精度。

同時，文獻(xiàn)[6]采用反步法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，但在使用反步法設(shè)計(jì)控制器的過程中，虛擬控制律的反復(fù)求導(dǎo)提高了“計(jì)算復(fù)雜性”。 為解決這個問題，在此引入了命令濾波誤差補(bǔ)償技術(shù)[8]，該技術(shù)通過補(bǔ)償信號解決濾波誤差問題，并降低控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。

基于以上討論，文中提出多關(guān)節(jié)機(jī)械臂的有限時間命令濾波阻抗控制FTCFC（finite-time command filtered control），通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂系統(tǒng)控制器的有效性及可行性。 所提控制方法的優(yōu)點(diǎn)如下：

1）首次將有限時間命令濾波反步控制與阻抗控制方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂在有限時間內(nèi)較好地進(jìn)行力/位控制；

2）采用命令濾波技術(shù)，解決了文獻(xiàn)[6]中經(jīng)典反步法設(shè)計(jì)控制器過程中虛擬控制律反復(fù)求導(dǎo)的問題，簡化了控制器的設(shè)計(jì)，有利于實(shí)際工程運(yùn)用；

3）與文獻(xiàn)[6]控制方法相比，在此所提控制方法提高了機(jī)械臂力/位跟蹤的響應(yīng)速度，并減小了跟蹤誤差。

2 機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型及初步變換

機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)方程[9]如下：

由方程（1）轉(zhuǎn)換，可得

其中

式中：x 為機(jī)械臂末端在笛卡爾坐標(biāo)系下的位置；o為機(jī)械臂運(yùn)動空間的維度，o≤3；q 為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的角度；J（q）為從機(jī)械臂各關(guān)節(jié)到末端轉(zhuǎn)換的雅可比矩陣；n 為機(jī)械臂的自由度。

機(jī)械臂動力學(xué)方程[10]如下：

其中

機(jī)械臂末端位置與末端力的阻抗控制關(guān)系[11]為

其中

式中：Fe為機(jī)械臂末端力；Fd為機(jī)械臂末端期望力；Md為機(jī)械臂期望慣性矩陣；Bd為機(jī)械臂期望阻尼矩陣；Kd為機(jī)械臂期望剛性矩陣。 在機(jī)械臂未與外部物體接觸時，F(xiàn)d=0；當(dāng)x=xd，有Fe=0。

將式（2）代入式（3），可得

其中

由式（5）變換，有

為了便于有限時間命令濾波阻抗控制器的設(shè)計(jì)，令

引理1對于任意實(shí)數(shù)λ1>0，λ2>0，0<γ<1，則有限時間穩(wěn)定的擴(kuò)展Lyapunov 條件為

其中，系統(tǒng)的收斂時間Tr可估計(jì)[12]為

引理2有限時間命令濾波器形式[13]為

其中

式中：αr為濾波器的輸入信號；φ1，φ2為濾波器的輸出信號；R1，R2為濾波器參數(shù)。 選取合適的R1和R2，經(jīng)過有限時間的瞬態(tài)過程后，未受到輸入噪聲的情況下，可得

以及該動態(tài)系統(tǒng)相應(yīng)的解為有限時間穩(wěn)定。 當(dāng)給出濾波器的輸入受噪聲影響時，輸入噪聲滿足不等式

然后，在有限時間內(nèi)構(gòu)造完全依賴于濾波器參數(shù)R1和R2的不等式，即

式中：?1和ζ1均為正常數(shù)，且取決于濾波器中的設(shè)計(jì)參數(shù)；和均為正常數(shù)[14]。

3 有限時間命令濾波控制器

根據(jù)反步法原理，定義誤差變量為

式中：xd為給定的期望信號；虛擬控制律α 為濾波器輸入信號；x1，c為濾波器的輸出信號。 定義濾波誤差補(bǔ)償信號為ξi=zi-vi，其中i=1，2。虛擬控制律和濾波補(bǔ)償信號的具體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如下：

步驟1選取Lyapunov 函數(shù)為

對其求導(dǎo)后，可得

設(shè)計(jì)虛擬控制律α 和補(bǔ)償信號ξi，即

其中，控制增益k1>0，s1>0； 參數(shù)β，h1均為常數(shù)，0<β<1，h1>0。 將式（10）（11）代入式（9），可得

步驟2選取Lyapunov 函數(shù)為

對其求導(dǎo)后，可得

其中

定義非線性函數(shù)

根據(jù)萬能逼近定理[15]，對于任意小的常數(shù)εi>0，存在模糊邏輯函數(shù)WiTS（Z），使得

其中

式中：δi為逼近誤差。 又因?yàn)椋瑒t由楊氏不等式，可得

式中：l 為常數(shù)，且l>0。

設(shè)計(jì)真實(shí)控制律τ，補(bǔ)償信號ξ2和自適應(yīng)律導(dǎo)數(shù)，即

其中，控制增益k2>0，s2>0；參數(shù)η，m，h2均為常數(shù)，η>0，m>0，h2>0。

定義

由式（19），可將不等式（15）轉(zhuǎn)換為

4 穩(wěn)定性證明

為了驗(yàn)證所提控制方法的穩(wěn)定性，可由楊氏不等式得

將其代入式（21），可得

同理，可得

綜合式（25）（26），可得

由vj= [vj，1，vj，2，…，vj，n]T和文獻(xiàn)[16]，可推導(dǎo)出：

將式（24）（27）（28）代入式（23），可得

其中

將式（29）改寫為

由式（30）可知，選取合適的參數(shù)，可使

由引理1 可知，vj（j=1，2，…，n）將在有限時間T1內(nèi)收斂于域之內(nèi)。 由于zj=vj+ξj，如果能證明ξj在有限時間內(nèi)收斂于一個極小的零鄰域內(nèi)，就能夠使跟蹤誤差zj在有限時間內(nèi)收斂于一個極小的零鄰域內(nèi)。

在此選取Lyapunov 函數(shù)

證明命令濾波誤差補(bǔ)償ξ1和ξ2在有限時間內(nèi)收斂于一個極小的零鄰域內(nèi)。 式（31）對時間求導(dǎo)，可得

式（32）利用文獻(xiàn)[16]，可推導(dǎo)出：

令

且

可得

根據(jù)引理2 可知，在有限時間T2內(nèi)有

且將式（33）（34）代入式（32），那么t>T2，有

將式（35）改寫為

由式（36）可知，選取合適的參數(shù)，可使

由引理1 可知，ξr（r=1，2）將在有限時間T2內(nèi)收斂于域內(nèi)。

5 仿真試驗(yàn)

在垂直平面上的二自由度機(jī)械臂上對所提控制方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)，由此證實(shí)所提控制方法的有效性。 將所提出的有限時間命令濾波阻抗控制方法與文獻(xiàn)[6]控制方法，進(jìn)行仿真比較，由式（6）可知仿真試驗(yàn)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)模型為

其中

式中：x1，1，x1，2分別為二自由度機(jī)械臂在笛卡爾坐標(biāo)系上機(jī)械臂末端在X，Y 軸上的位置；q 為機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角度。 二關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型如圖1所示。

圖1 二關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型Fig.1 Two-link manipulator model

二自由度機(jī)械臂的慣性矩陣D（q），科里奧利力與離心力矩陣C（q，），重力項(xiàng)矩陣G（q）及雅可比矩陣J（q）的定義如下：

式中：mi，li分別為機(jī)械臂的第i 節(jié)連桿的質(zhì)量、長度，i=1，2；lcorei為機(jī)械臂的第i-1 關(guān)節(jié)到第i 節(jié)連桿質(zhì)心的距離；Ii為垂直于X-Y 坐標(biāo)系連桿i 質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。

表1 二關(guān)節(jié)機(jī)械臂參數(shù)Tab.1 Two-link manipulator parameters

二自由度機(jī)械臂末端的期待跟蹤軌跡為

其中t∈［0，20］。 選取二自由度機(jī)械臂其它未建模動態(tài)為

對于二自由度機(jī)械臂模糊自適應(yīng)阻抗控制法，其控制參數(shù)選取為k1=8，k2=6，l=0.5，η=1，m=0.25；

對于二自由度機(jī)械臂模糊自適應(yīng)有限時間命令濾波阻抗控制法，其控制參數(shù)選取為k1=6，k2=8，s1=2，s2=2，β=0.6，l=0.5，η=1，m=0.25，h1=1，h2=1，R1=20，R2=0.6。

該二自由度機(jī)械臂期待阻抗參數(shù)選為Md=I，Bd=diag［15，15］，Kd=diag［60，60］。 模糊邏輯系統(tǒng)選擇模糊集為

在此所提出的控制方法為模糊自適應(yīng)FTCFC，對比控制方法為模糊自適應(yīng)阻抗控制法。 本文控制方法與對比控制方法機(jī)械臂末端X 軸、Y 軸上位置跟蹤曲線及跟蹤誤差比較分別如圖2，圖3所示。

圖2 X 軸方向位置跟蹤與位置跟蹤誤差Fig.2 X-axis position tracking and position tracking error

圖3 Y 軸方向位置跟蹤與位置跟蹤誤差Fig.3 Y-axis position tracking and position tracking error

由圖可見，本文控制方法能夠很好地跟上期望曲線，并且與對比控制方法相比較，有著更快的響應(yīng)速度、更小的跟蹤誤差。

本文控制方法與對比控制方法機(jī)械臂末端X軸、Y 軸上力跟蹤曲線及力跟蹤誤差比較分別如圖4，圖5所示。

圖4 X 軸方向力跟蹤及其誤差Fig.4 X-axis directional force tracking and its error

圖5 Y 軸方向力跟蹤及其誤差Fig.5 Y-axis directional force tracking and its error

由圖可見，本文控制方法能夠使機(jī)械臂末端接觸力很好地跟上期望接觸力，其與對比控制方法相比較能更快跟上期望接觸力，并且有著更小的接觸力跟蹤誤差。 真實(shí)控制律τ 如圖6所示，由圖可見其均在合適的范圍內(nèi)。

圖6 控制律的對比Fig.6 Comparison of control laws

6 結(jié)語

針對人與機(jī)械臂交互系統(tǒng)的安全性與柔順性的需求，在此以模糊自適應(yīng)反步法為基礎(chǔ)，構(gòu)造了機(jī)械臂的模糊自適應(yīng)有限時間命令濾波阻抗控制器，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂末端力/位在有限時間內(nèi)較為快速精確地跟上期望信號。 所提出的控制方法與現(xiàn)有的控制方法相比，提高了機(jī)械臂系統(tǒng)力/位跟蹤的響應(yīng)速度以及減小了跟蹤誤差。 仿真對比試驗(yàn)驗(yàn)證了所提出控制方法的可行性。