吳志峰

(福建省廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校，362700)

一、問(wèn)題的提出

最近,筆者在教學(xué)過(guò)程中遇到如下數(shù)學(xué)問(wèn)題.

引例已知直線y=ax+b(b>0)與曲線y=x3有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)a

所以2x1+x2=0,選B.

反思本題學(xué)生的解答不夠理想,要么是題意理解不夠深刻,沒(méi)有看出是切線問(wèn)題;要么是面對(duì)含參數(shù)的切線問(wèn)題解題思路不明,無(wú)法制定明確、有效的解題方案.事實(shí)上,對(duì)于涉及直線與曲線相切的問(wèn)題,筆者認(rèn)為處理的關(guān)鍵是抓住“一點(diǎn)三方程”,即抓住切點(diǎn)及以下三個(gè)方程:切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程;切點(diǎn)在切線上,切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程;曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線方程的斜率.本文從以下幾方面介紹一點(diǎn)三方程法解決涉及曲線切線的有關(guān)問(wèn)題,通過(guò)明確示范,進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

二、直線與二次曲線相切的問(wèn)題

直線與二次曲線相切,通常只需將直線與二次曲線方程聯(lián)立,通過(guò)一元二次方程有唯一解,由判別式為零來(lái)獲得切點(diǎn)等信息,從而求出切線方程.

由對(duì)數(shù)均值不等式知上式顯然成立.

綜上，x1x2>e2成立.

評(píng)注在解含有參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題時(shí),常常利用題目已給的式子進(jìn)行加、減兩類運(yùn)算,然后構(gòu)造出(指數(shù))對(duì)數(shù)均值不等式進(jìn)行證明.

例5已知函數(shù)f(x)=x-aex(a為常數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，請(qǐng)證明:x1+x2>2.

證明借助a作為媒介,構(gòu)造指數(shù)均值不等式.

由指數(shù)均值不等式(結(jié)論2)知上式顯然成立，因此x1+x2>2成立.

例1直線y=x+m與拋物線y=x2相切,則切線方程為______.

三、直線與非二次曲線相切的問(wèn)題

對(duì)于非二次曲線的切線問(wèn)題,聯(lián)立方程組所得一元方程往往不是一元二次方程,此時(shí)判別式法就不再適用了,相應(yīng)問(wèn)題一般可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)進(jìn)行處理.

1. 已知切點(diǎn)或切線方程的情形

例2求曲線f(x)=x3+2x-1在x=1處的切線方程.

解依題意,由f(1)=2,可知切點(diǎn)為A(1,2).又f′(x)=3x2+2,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知切線斜率為k=f′(1)=5.于是,所求切線方程為y-2=5(x-1),即y=5x-3.

評(píng)注若將本題中的切線方程y=5x-3與曲線方程y=x3+2x-1聯(lián)立,整理可得x3-3x+2=0,即(x-1)2(x+2)=0,解得x=-2或x=1.由此可見(jiàn)，直線與曲線相切時(shí)不一定只有一個(gè)交點(diǎn).因此,對(duì)于非二次曲線無(wú)法用判別式法來(lái)求切點(diǎn).

2.切點(diǎn)或切線方程皆未知的情形

如同引例,此類情形問(wèn)題的綜合度較高,常規(guī)解題思路是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先假設(shè)切點(diǎn),根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程、切點(diǎn)在切線上,以及切線的斜率等于曲線所對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值來(lái)進(jìn)行求解.有時(shí)要注意“在”跟“過(guò)”這兩個(gè)字眼的區(qū)別:對(duì)“在某點(diǎn)處的切線”,此點(diǎn)是切點(diǎn);對(duì)“過(guò)某點(diǎn)的切線”,此點(diǎn)未必是切點(diǎn)(但也可能包括前一種情形).

(1) 無(wú)參數(shù)情形

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,若直線l過(guò)點(diǎn)Q(0,1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為______.

解點(diǎn)Q顯然不是切點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),則

y0=x0lnx0+2.

①

又f′(x)=lnx+1,由kPQ=f′(x0),得

②

聯(lián)立① 與②,解得x0=1.從而切點(diǎn)P(1,2),切線斜率f′(x0)=1,可得切線l的方程為y=x+1.

例4已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,若直線l過(guò)點(diǎn)Q(2,3),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為______.

解計(jì)算知點(diǎn)Q在已知曲線上.

若點(diǎn)Q是切點(diǎn),由f′(x)=3x2-3,易得直線l的方程為y=9x-15.

綜上,l的方程為y=9x-15或y=3.

評(píng)注由例2知直線與曲線相切時(shí),直線與曲線不一定只有一個(gè)交點(diǎn).因此,對(duì)于直線過(guò)某點(diǎn)與曲線相切的問(wèn)題,在切點(diǎn)不明確時(shí),必須對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行分類討論.

(2) 含參數(shù)情形

例5若直線y=x+a是曲線y=xlnx+1的切線,則實(shí)數(shù)a的值為______.

解設(shè)直線l與f(x),g(x)圖象的切點(diǎn)分別為P(x0,y0),Q(x1,y1),則y0=x0+ex0,f′(x)=1+ex.

若x1=1同理可得出矛盾,從而x0≠1,x1≠1.

③

④

x0=a-x1.

⑤

四、 綜合問(wèn)題舉例