唐昌榮 楊佳林

(貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué)，555003)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,其中定點(diǎn)、定值問題看似特殊實(shí)則具有一般性,解題時(shí)把握住這類命題的本質(zhì)，多角度探索,并對特殊性與一般性進(jìn)行拓展研究,可以有的放矢地實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí),提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以今年高考全國I卷理科數(shù)學(xué)第20題為例進(jìn)行分析.

一、試題呈現(xiàn)

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

二、多視角探究問題本質(zhì)

視角1筑牢基礎(chǔ),把握通法

如圖1,根據(jù)對稱性,可知定點(diǎn)在x軸上,設(shè)為M(x0,0).

評析本解法屬于通法,通過設(shè)點(diǎn)、聯(lián)立直線與橢圓方程,借助韋達(dá)定理用t表示出C,D的坐標(biāo),最后根據(jù)C,D的坐標(biāo)求出直線方程,使問題獲解.優(yōu)點(diǎn)是容易入手,缺點(diǎn)是計(jì)算量大、對運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.

視角2設(shè)而不求,整體處理

①

②

評析本解法通過設(shè)點(diǎn)法,先由斜率關(guān)系消去參數(shù)t,得到① 式;再根據(jù)點(diǎn)C,D在橢圓上,通過整體代入得到② 式;最后利用對稱性可求出x軸上定點(diǎn),充分體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求,整體運(yùn)算”思想的運(yùn)用,簡化了運(yùn)算,提升了學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

視角3巧用對稱,輕車熟路

③

2my1y2+3(n-3)y1=(n+3)y2,將③ 式代入,整理得(2n-3)(n-3)y1=(2n-3)(n+3)y2,

評注本解法巧設(shè)直線CD方程為x=my+n,輕車熟路,在同解法2得出2my1y2+3(n-3)y1=(n+3)y2的基礎(chǔ)上,通過聯(lián)立直線與橢圓的方程得出③ 式,再由③ 式代入得到關(guān)于y1,y2的一次對稱式,具有計(jì)算量小、思維量也不大的特點(diǎn),筆者認(rèn)為屬于最優(yōu)解法,值得推薦.

視角4平移變換、齊次構(gòu)造

視角5伸縮變換,曲徑通幽

在新坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)P′(2,t),∠P′B′E′=α,∠P′A′E′=β,則A′B′=2,B′E′=1,P′E′=t,且tanα=3tanβ.所以,在Rt?A′B′C′與Rt?A′B′D′中,A′C′=2cosβ,B′D′=2cosα.

仿上述探究,不難得到如下推論(限于篇幅,證明留給讀者).

推論3P為直線x=-m(m>0)上任意一動(dòng)點(diǎn)，直線OP交拋物線y2=2px(p>0)于另一點(diǎn)Q，點(diǎn)R在拋物線上，且PR平行于x軸，則直線QR過定點(diǎn)(m,0).