王鵬飛，王安格，關(guān)宏志，趙 磊,3，趙鵬飛

(1.北京工業(yè)大學(xué)a.城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.城市建設(shè)學(xué)部，北京100124；2.河北科技師范學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，河北秦皇島066004；3.北京易華錄信息技術(shù)股份有限公司，北京100043；4.北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京102616)

0 引 言

根據(jù)《2019 北京市交通發(fā)展年度報(bào)告》，截止2018年底，北京市機(jī)動(dòng)車保有量約為608.4 萬輛，而備案停車位僅有189.1萬個(gè)，缺口超過68.9%.為此，交通學(xué)者針對(duì)交通需求管理中的停車預(yù)約系統(tǒng)與停車許可證展開了大量研究.

Shao等[1]考慮居住區(qū)泊位使用特征，引入預(yù)約機(jī)制構(gòu)建泊位共享場(chǎng)景下系統(tǒng)效益最大化模型；Xiao 等[2]基于拍賣理論提出共享泊位資源最優(yōu)分配—定價(jià)機(jī)制；Wang 等[3]以停車許可證為手段構(gòu)建公共泊位最優(yōu)分配—定價(jià)機(jī)制，并在此基礎(chǔ)上制定不可預(yù)約公共泊位動(dòng)態(tài)定價(jià)機(jī)制；Wang 等[4]分別以最小化總出行成本和尾氣排放量為目標(biāo)，構(gòu)建停車許可證最優(yōu)供給機(jī)制；王鵬飛等[5]基于拍賣機(jī)制構(gòu)建路外公共泊位資源最優(yōu)定價(jià)模型.

相較傳統(tǒng)停車預(yù)約和預(yù)定價(jià)機(jī)制，停車許可證既可以實(shí)現(xiàn)泊位預(yù)約，又可以不依賴用戶停車需求函數(shù)預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的有限停車資源最優(yōu)分配—定價(jià)和社會(huì)福利最大化的明顯優(yōu)勢(shì)[3].上述停車許可證機(jī)制設(shè)計(jì)從實(shí)際應(yīng)用角度仍存在以下不足：①除文獻(xiàn)[3]外，鮮有將可預(yù)約與不可預(yù)約停車設(shè)施同時(shí)考慮，而文獻(xiàn)[3]中用戶對(duì)兩種停車設(shè)施的選擇是外生給定的，沒有討論最優(yōu)供給機(jī)制；②多數(shù)研究中制定動(dòng)態(tài)泊位分配機(jī)制是基于對(duì)未來停車需求的預(yù)測(cè)，鮮有對(duì)泊位動(dòng)態(tài)供給機(jī)制進(jìn)行探討，但管理者與用戶之間存在信息非對(duì)稱會(huì)使預(yù)測(cè)結(jié)果偏離現(xiàn)實(shí)；③并非全部持有停車許可證的用戶都能夠按照預(yù)約時(shí)間到達(dá)或離開泊位，特別是比預(yù)約時(shí)間早到達(dá)、晚離開泊位的用戶，是造成停車設(shè)施入口處車輛排隊(duì)等待的重要原因.鑒于此，在考慮持有停車許可證用戶行為不確定性的基礎(chǔ)上，本文制定一種基于實(shí)時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)的停車許可證的最優(yōu)動(dòng)態(tài)供給策略，以實(shí)現(xiàn)所有用戶時(shí)間損失期望值最小化，此機(jī)制也是實(shí)現(xiàn)公共泊位最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)的基礎(chǔ).

1 場(chǎng)景設(shè)定

1.1 停車設(shè)施與停車許可證

停車許可證(或停車預(yù)約系統(tǒng))的作用是使一部分用戶在出行前即可預(yù)定泊位，進(jìn)而減少尋泊交通量和時(shí)間損失.現(xiàn)實(shí)中，并非所有公共泊位都是可預(yù)約的，即可預(yù)約和不可預(yù)約公共停車設(shè)施往往共存于一個(gè)區(qū)域，其管理者均為政府.對(duì)于可預(yù)約停車設(shè)施，政府的管理手段為停車許可證.停車許可證是一種在指定時(shí)間段內(nèi)在指定停車設(shè)施才可以泊車的權(quán)利，由泊位管理平臺(tái)(政府)進(jìn)行分配和定價(jià)，未持有停車許可證的用戶不能在指定的停車設(shè)施泊車.本文在動(dòng)態(tài)框架下進(jìn)行，以時(shí)刻t為開始停車時(shí)間的停車許可證只在時(shí)刻t-Δt進(jìn)行預(yù)定購買，此處的Δt為單位停車時(shí)長(zhǎng).在此設(shè)定下，停車許可證在線發(fā)行，政府可以通過拍賣[2-3]實(shí)現(xiàn)公共停車資源的動(dòng)態(tài)供給、分配、定價(jià).由于泊位資源有限，并非所有參與預(yù)定購買的用戶最終都可以獲得停車許可證，未獲得停車許可證的用戶只能通過巡航去尋找不可預(yù)約停車設(shè)施的空余泊位，即尋泊.

1.2 停車許可證用戶及其行為的不確定性

現(xiàn)實(shí)中，部分持有停車許可證的用戶會(huì)出現(xiàn)比預(yù)約時(shí)間早到或晚離開停車設(shè)施的偶發(fā)性行為，這會(huì)使停車設(shè)施入口處產(chǎn)生車輛排隊(duì)等待空余泊位的現(xiàn)象.為遏制這種不良現(xiàn)象，管理者制定停車許可證的最優(yōu)動(dòng)態(tài)供給策略，以最小化停車許可證用戶的排隊(duì)時(shí)間和未持有停車許可證用戶尋泊時(shí)間的總和.同時(shí)，停車許可證的供給量確定后，通過現(xiàn)有的拍賣機(jī)制[3]即可實(shí)現(xiàn)停車許可證的動(dòng)態(tài)分配—定價(jià).

2 模型構(gòu)建

2.1 時(shí)間損失

設(shè)T為固定的終端時(shí)刻，在[0,T]期間，系統(tǒng)總時(shí)間損失Ψ定義為

式中：C(t,q,r)為系統(tǒng)在時(shí)刻t的時(shí)間損失；λ(t)為時(shí)刻t參加停車許可證拍賣的人數(shù)，亦為(可實(shí)時(shí)觀測(cè)到的)停車需求；q(t)為時(shí)刻t用戶在停車設(shè)施入口處的排隊(duì)時(shí)間；k(t)為時(shí)刻t區(qū)域內(nèi)所有尋泊用戶的平均尋泊時(shí)間；r(t,q)為時(shí)刻t總停車需求中獲得停車許可證用戶的比例，是本模型的控制參數(shù)；k(t)為時(shí)變且外生給定的參數(shù)；q(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量.

根據(jù)1.2 節(jié)場(chǎng)景設(shè)定，狀態(tài)變量q(t)應(yīng)符合演變規(guī)律：排隊(duì)長(zhǎng)度既受r(t,q) 的控制，又存在不確定性，且不確定性隨停車需求中獲得停車許可證用戶數(shù)量r(t,q)λ(t)的增加而增加，即

式中：σ為干擾項(xiàng)，可視作隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差；z為標(biāo)準(zhǔn)維納過程；α(t)是期望項(xiàng)，表示在微小時(shí)間段dt內(nèi)排隊(duì)時(shí)間變化的期望值，根據(jù)是否存在排隊(duì)時(shí)間q(t)分為兩種情況，即

式中：β為排隊(duì)長(zhǎng)度與排隊(duì)時(shí)間之間的換算系數(shù)；μ(t)為時(shí)刻t剩余泊位數(shù)量.

2.2 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)

由于持有停車許可證用戶的行為存在不確定性，定義動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)問題(DSO)，最小化系統(tǒng)總時(shí)間損失的期望值，即

式中：q0，qT分別為系統(tǒng)初始t=0 和結(jié)束t=T時(shí)的排隊(duì)時(shí)間；Φ(qT,T)為自由的終端狀態(tài)；φ(t)為控制參數(shù)r(t,q)的上限，φ(t)=min{μ(t)/λ(t),1}，因?yàn)橥＼囆枨罂赡艹^可預(yù)約空余泊位數(shù)量；E0為系統(tǒng)在[0,T]期間的時(shí)間損失期望值；FDSO為[0,T]期間系統(tǒng)總時(shí)間損失的最小化期望值.

2.3 最優(yōu)性條件

為求解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)問題(DSO)，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理分析最優(yōu)性條件：哈密爾頓-雅克比-貝爾曼(Hamilton-Jacobi-Bellman Equation，HJB)方程.定義最優(yōu)值函數(shù)V(·) ，因函數(shù)已經(jīng)取得最優(yōu)值，故其只和狀態(tài)變量有關(guān)，與控制變量無關(guān).

此處，Et為系統(tǒng)在[t,T] 期間的時(shí)間損失期望值.對(duì)式(5)應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，可得

對(duì)式(6)中V(t+Δt,q+Δq)進(jìn)行泰勒展開，忽略高次項(xiàng)可得式(7).此外，為簡(jiǎn)化表達(dá)，以下所有公式省略(t,q,r)、(t,q)和(t).

z為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，可得

將式(8)帶入式(2)，可得

將式(2)等價(jià)變化為

再將式(9)和式(10)代入式(7)可得

最后，將式(11)代入式(6)，等式兩端同時(shí)消除Δt，可得HJB方程為

HJB 方程的意義是尋找最優(yōu)供給策略r*，使微小時(shí)間段dt內(nèi)最優(yōu)值函數(shù)的變化值最小.式(13)等號(hào)右邊第1項(xiàng)為系統(tǒng)總時(shí)間損失，第2項(xiàng)為排隊(duì)時(shí)間的微小變化對(duì)系統(tǒng)總時(shí)間損失的影響，第3項(xiàng)為不可控因素對(duì)系統(tǒng)總時(shí)間損失造成的影響.

2.4 帶有偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最優(yōu)供給策略

根據(jù)式(2)和式(3)可知，期望項(xiàng)α是根據(jù)有無排隊(duì)時(shí)間q進(jìn)行計(jì)算的，故HJB 方程可分為兩種情況進(jìn)行探討：q ＞0(用下角標(biāo)“+”表示)和q=0(用下角標(biāo)“0”表示).

求解最優(yōu)供給策略r*，則考慮使用式(14)和式(15)對(duì)r求導(dǎo).分別在q ＞0 和q=0 的情況下得到的最優(yōu)供給策略.

3 求解方法

3.1 最優(yōu)值函數(shù)的設(shè)定

由式(18)和式(19)可知：若管理者可明確掌握最優(yōu)值函數(shù)V的形式，則可直接求解得到不含偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最優(yōu)供給策略r*；否則，將無法計(jì)算.文獻(xiàn)[6]提出基于廣義線性互補(bǔ)理論的求解方法，但此方法需要控制策略為Bang-Bang形，無法適用于本文.在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，利用值函數(shù)近似理論也可以對(duì)最優(yōu)值函數(shù)的形式進(jìn)行確定，但這需要對(duì)最優(yōu)值函數(shù)的形式進(jìn)行預(yù)先設(shè)定，同時(shí)對(duì)環(huán)境變換的適應(yīng)能力也比較差.

現(xiàn)實(shí)中，管理者通過長(zhǎng)期觀測(cè)可大體把握最優(yōu)值函數(shù)的形式，但其中的具體參數(shù)還需要單獨(dú)求解.故采用提前預(yù)設(shè)值函數(shù)后求解其中參數(shù)的方法[7].

式中：VA為預(yù)設(shè)值函數(shù)，其僅與狀態(tài)變量q有關(guān)，與供給策略r無關(guān)；s為待估參數(shù).

3.2 最優(yōu)動(dòng)態(tài)供給策略的解析解

將最優(yōu)供給策略分別代入HJB 方程，可以消除其中最小化“min”，因?yàn)榇胫蠹礊樽顑?yōu).將預(yù)設(shè)值函數(shù)VA帶入HJB方程中，即可得到待估參數(shù)s為

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 數(shù)值設(shè)定

以北京市國貿(mào)地區(qū)為例進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，實(shí)地調(diào)研后的參數(shù)設(shè)定如表1所示.07:00-21:00的總停車需求為42 724 veh，實(shí)時(shí)停車需求如圖1所示.每個(gè)時(shí)刻到達(dá)可預(yù)約停車設(shè)施的用戶停車時(shí)長(zhǎng)是隨機(jī)設(shè)置的，平均尋泊時(shí)間為5 min[8].

4.2 結(jié)果分析

在4.1節(jié)數(shù)值設(shè)定下，由圖2典型案例可知：

(1)相比無停車預(yù)約系統(tǒng)(方形)，停車許可證的完全供給策略(三角形)可大幅降低早高峰時(shí)段的尋泊交通總量及時(shí)間損失，全天降低時(shí)間損失約1.33 min/veh；

表1 數(shù)值設(shè)定Table 1 Numerical settings

圖1 停車需求時(shí)變圖(07:00-21:00)Fig.1 Time-series of parking demand(07:00-21:00)

(2)相比完全供給策略，最優(yōu)供給策略(圓點(diǎn))全天可節(jié)約時(shí)間約0.63 min/veh，證明了最優(yōu)供給策略的優(yōu)越性；

(3)最優(yōu)供給策略經(jīng)常在泊位供給領(lǐng)域的兩個(gè)端點(diǎn)附近取值且反復(fù)跳躍，這與控制理論中使系統(tǒng)消耗最低的Bang-Bang控制策略相似；

(4)無停車預(yù)約系統(tǒng)下的時(shí)間損失為5 min/veh，與文獻(xiàn)[8]的實(shí)際調(diào)研結(jié)果一致，據(jù)此可驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確性.

圖2 不同控制策略的比較(典型案例，σ=0.1)Fig.2 Comparison of different control strategies(Typical example,σ=0.1)

為驗(yàn)證典型案例得到的最優(yōu)供給策略降低時(shí)間損失的魯棒性，在不同的停車許可證用戶行為不確定性水平下，分別進(jìn)行10 000 次的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表2所示.

表2 在不同的停車許可證用戶行為不確定性條件下的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Monte-Carlo experiment results under different σ

由表2可知：①隨著不確定性水平的增加，相較完全供給策略，最優(yōu)供給策略所能節(jié)約的時(shí)間平均值逐漸增加，變異系數(shù)逐漸減小，這意味著不確定性水平越高，最優(yōu)供給策略的優(yōu)勢(shì)越明顯，發(fā)揮越穩(wěn)定.②在不確定性較小時(shí)，有可能在一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)最優(yōu)供給策略并非最優(yōu)結(jié)果，這可能是因?yàn)楣芾碚邇H能把握隨機(jī)變量q的特征值，即期望值與標(biāo)準(zhǔn)差，并不知道下一時(shí)刻的真實(shí)狀況，還可能與最優(yōu)值函數(shù)的預(yù)設(shè)形式有關(guān).

5 結(jié) 論

本文以可預(yù)約和不可預(yù)約公共停車設(shè)施共存的區(qū)域?yàn)閷?duì)象，從理論上得到系統(tǒng)總時(shí)間損失期望值最小化的停車許可證動(dòng)態(tài)最優(yōu)供給策略，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了策略的有效性.所得結(jié)論如下：動(dòng)態(tài)最優(yōu)供給策略是車輛排隊(duì)時(shí)間的函數(shù)，并根據(jù)排隊(duì)時(shí)間是否存在分為兩種情況；相較停車許可證完全供給策略，動(dòng)態(tài)最優(yōu)供給策略可顯著節(jié)約用戶的出行時(shí)間；隨著停車許可證用戶行為不確定性的增加，動(dòng)態(tài)最優(yōu)供給策略平均節(jié)約時(shí)間增加，變異系數(shù)下降.

與既有研究成果相比：本文策略實(shí)現(xiàn)了停車許可證的動(dòng)態(tài)供給，對(duì)文獻(xiàn)[4]停車許可證最優(yōu)靜態(tài)供給策略方面的研究進(jìn)行了補(bǔ)充；在本文成果的基礎(chǔ)上，利用拍賣機(jī)制[3]即可實(shí)現(xiàn)停車許可證的動(dòng)態(tài)最優(yōu)定價(jià)；與停車許可證的多時(shí)間點(diǎn)交易市場(chǎng)機(jī)制[9]相比，本文策略無需逐日迭代計(jì)算即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)總時(shí)間損失期望值最小化.