王海東，李貴林，王肇喜，李 靜，劉少杰，仇原鷹*

（1. 上海航天精密機械研究所，上海 201600； 2. 西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071）

0 引言

振動是許多設備發(fā)生故障的主要環(huán)境因素之一。為了保證設備能夠在實際振動環(huán)境中正常工作，在產(chǎn)品交付使用前，通常需要進行振動試驗。試驗時，被測試件一般是通過振動夾具裝夾到振動試驗臺臺面上的。振動臺的信號和能量通常先傳遞到夾具上，再通過夾具傳遞到被測試件上，因此振動夾具是振動試驗中的關(guān)鍵部件，其性能將直接影響振動試驗的真實性和有效性[1-2]。故而振動夾具的設計研究對于振動試驗而言具有重要意義。

使用現(xiàn)代有限元分析工具和計算機輔助設計軟件可以顯著提高夾具設計效率。其中，ANSYS有限元分析軟件對振動臺夾具的改進設計和模態(tài)驗證具有重要價值，可借由此將優(yōu)化設計引入夾具動態(tài)設計[3-5]。例如，通過MatLab 編程調(diào)用Nastran有限元軟件分析結(jié)果，以響應的均方差最小為目標函數(shù)進行夾具的優(yōu)化設計，可使夾具獲得較好的傳遞特性[6]。綜合運用拓撲優(yōu)化和參數(shù)優(yōu)化方法對夾具進行優(yōu)化設計，使用多目標差分進化算法可以解決參數(shù)優(yōu)化設計過程中可行域不連續(xù)的問題，并提高優(yōu)化設計效率[7-9]。此外，在振動試驗中使用單軸振動夾具只能沿x、y、z 三個方向依次加載，而三軸振動夾具可以實現(xiàn)三個正交方向同時加載，令模擬條件更加真實、有效[10]。而目前對振動夾具的相關(guān)研究主要針對單軸振動夾具，對三軸振動夾具的研究相對較少。

本文以三軸振動夾具為研究對象，采用Solid-Works 和ANSYS Workbench 協(xié)同仿真技術(shù)，基于多目標遺傳算法對振動夾具進行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計，以期同時實現(xiàn)振動夾具的輕量化和一階固有頻率最大化。

1 三軸振動夾具結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學建模

優(yōu)化設計著眼于在求解復雜問題時，從眾多設計方案中找出最佳設計方案[11]。為了使振動夾具的動態(tài)性能達到最優(yōu)，進行優(yōu)化設計時首先需要對三軸振動夾具結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化問題進行數(shù)學建模，確定優(yōu)化數(shù)學模型三要素，即設計變量、約束條件以及目標函數(shù)。

1）確定設計變量

選取影響三軸振動夾具振動傳遞特性的幾個特征尺寸作為設計變量進行參數(shù)化建模，如圖1 所示，設計變量包括夾具底板的厚度（x1）、夾具側(cè)邊擋板的厚度（x2）和夾具肋板的厚度（x3）。

圖1 夾具設計變量Fig.1 Design variables of the fixture

2）確定約束條件

綜合考慮三軸振動夾具的設計要求和實際情況，設計變量 X=[x1x2x3]T需要符合如下條件：

其中，li和ui分別為設計變量的下限和上限。

各設計變量的初始值為X0=[30 20 30]T。由三軸振動夾具的設計要求可知，夾具整體結(jié)構(gòu)應具有較高的剛度，同時受三軸振動試驗臺與試件（某型艙段）形狀及尺寸的限制，各設計變量的取值范圍必須合理，故根據(jù)實際情況設置設計變量的下限L=[20 10 22]T和上限U=[40 30 40]T。

此外，一般的工程經(jīng)驗要求在振動臺推力允許的范圍內(nèi)，夾具的質(zhì)量應該大于試件和振動臺動圈的質(zhì)量，且是被測試件質(zhì)量的2～4 倍[1,5,12]，以減少試驗過程中夾具與試件的相互影響。已知被測試驗艙段的質(zhì)量為18.98 kg，故夾具的質(zhì)量應不小于18.98×2=37.96 kg。

3）確定目標函數(shù)

夾具質(zhì)量大則消耗更多功率，而夾具的低階振型將直接影響其動態(tài)性能[13]，因此選取夾具的質(zhì)量和一階固有頻率為目標函數(shù)，要求質(zhì)量M 在允許的范圍內(nèi)盡可能小，一階固有頻率fn1在允許的尺寸范圍內(nèi)盡可能高，定義這兩個目標函數(shù)為：F1(X)=M；F2(X)=fn1。

綜上可得，三軸振動夾具優(yōu)化問題的數(shù)學模型為

多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解一般稱作Pareto 最優(yōu)解[9]，由于各子目標通常是相互矛盾的，所以理論上沒有絕對最優(yōu)解。文獻[14]對多目標遺傳算法中的編碼、變異等概念以及對應的求解策略做出詳細介紹，并且指出多目標遺傳算法最后輸出的是Pareto 最優(yōu)解集，即提供多個方案供決策者選擇：當決策者側(cè)重某一指標時，選擇點會趨于Pareto 界面的一端；當決策者同時看重兩個指標時，選擇點一般位于Pareto 界面的中部，即設計人員根據(jù)權(quán)重分配得到對應的Pareto 最優(yōu)解[15]。

2 振動夾具的優(yōu)化設計分析

2.1 優(yōu)化設計流程

根據(jù)已經(jīng)建立的振動夾具優(yōu)化設計數(shù)學模型，采用SolidWorks 和ANSYS Workbench 協(xié)同仿真分析技術(shù)對振動夾具進行優(yōu)化分析，確定各設計變量對目標函數(shù)的影響規(guī)律。三軸振動夾具結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計流程如圖2 所示。

圖2 三軸振動夾具結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設計流程Fig.2 Structural parameter optimization process for designing the triaxial fixture

其步驟具體描述為：

1）在SolidWorks 軟件中對各設計變量進行參數(shù)化建模；

2）利用協(xié)同仿真技術(shù)，把SolidWorks 中建好的模型導入至ANSYS Workbench 軟件進行參數(shù)的實時傳遞，確定輸入變量（即設計變量）；

3）在ANSYS Workbench 中進行有限元模型的前處理，首先設置模型的材料參數(shù)，確定模型體積和質(zhì)量參數(shù)，然后對模型進行有限元網(wǎng)格劃分、約束條件設置及載荷施加等操作，通過有限元仿真分析求解得到相應結(jié)果，確定輸出變量（即目標函數(shù)）；

4）利用ANSYS Workbench 軟件的優(yōu)化設計模塊Design Explorer 實現(xiàn)多目標遺傳算法的優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果返回到SolidWorks 中得到最終優(yōu)化后的模型。

2.2 技術(shù)要點說明

2.2.1 模型的簡化

在有限元仿真分析過程中，將SolidWorks 軟件設計好的三軸振動夾具三維實體模型導入ANSYS Workbench 軟件之前，為了減少分析的運算量以及出現(xiàn)不合理解的可能性，需要對模型進行必要的簡化。簡化的原則是刪除對結(jié)構(gòu)剛度影響不大但對模型的復雜程度影響很大的小構(gòu)件、小孔、倒角及圓角等細節(jié)特征[16]。例如，在建立夾具下卡環(huán)有限元模型時，去除螺栓連接部分的螺紋以及倒角等細節(jié)特征，將焊接結(jié)構(gòu)作為一個整體考慮，如圖3 所示。

圖3 下卡環(huán)有限元模型簡化示意Fig.3 Simplified graph of the lower clasp

2.2.2 材料參數(shù)選取

工程應用中常用的振動夾具是用鋁、鎂以及鋁鎂合金材料制作。鋁、鎂材料的比剛度基本相同，因此用這兩種材料制作的相同結(jié)構(gòu)夾具的固有頻率沒有明顯差別，但是鎂在機械加工過程中有著火的危險，故最終確定用LY12 鋁合金[17]作為夾具的材料。其彈性模量為73 GPa，密度為2800 kg/m3，泊松比為0.33。

2.2.3 網(wǎng)格劃分

采用四面體網(wǎng)格和六面體網(wǎng)格混合劃分的方法對優(yōu)化后的夾具模型進行網(wǎng)格劃分，并對存在配合的區(qū)域進行局部網(wǎng)格細化，將網(wǎng)格參數(shù)關(guān)聯(lián)中心（Relevance Center）的缺省值設置為中等，平滑度（Smoothing）設置為中等。網(wǎng)格劃分效果如圖4 所示，此時網(wǎng)格劃分的輸出節(jié)點數(shù)為171 107，網(wǎng)格單元數(shù)為48 486，平均網(wǎng)格質(zhì)量為0.813，整體網(wǎng)格質(zhì)量較高。由于振動夾具與振動臺通過螺栓組實現(xiàn)緊固連接，為了更好地模擬實際振動試驗情況，對夾具底端面與各螺栓孔內(nèi)表面均施加固定約束。

圖4 有限元網(wǎng)格劃分示意Fig.4 Schematic graph of finite element meshes

3 優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 響應面分析

使用ANSYS Workbench 軟件對振動夾具進行優(yōu)化分析，需要加載響應面優(yōu)化設計模塊（Response Surface Optimization），其主要包含實驗設計（Design of Experiment, DOE）、響應面（Response Surface）及優(yōu)化（Optimization）三部分。使用ANSYS Workbench軟件進行優(yōu)化設計的基本思路如下：

1）在Workbench 軟件的DOE 模塊中設置各設計變量的上、下限，采用中心復合設計法進行實驗設計，DOE 基于蒙特卡羅抽樣技術(shù)自動生成各設計參數(shù)樣點；

2）用Workbench 軟件的響應面模塊求解各參數(shù)樣點的響應結(jié)果，根據(jù)響應結(jié)果建立2D 或3D設計空間響應面；

3）用Workbench 軟件的優(yōu)化模塊完成多目標遺傳算法設置，借助響應面分析結(jié)果得到一組Pareto最優(yōu)解集，并根據(jù)實際需求選取最終優(yōu)化方案。

響應面分析完成后，得到各試驗設計點的分布離散圖如圖5 所示。離散圖可以幫助人們判斷響應面能否與試驗設計點較為精確地擬合，輸出參數(shù)的設計點越靠近對角線表示其與響應面的擬合程度越好[18]。由圖5 可知，夾具質(zhì)量和一階固有頻率的設計點均十分接近對角線。

圖5 響應面擬合度離散圖Fig.5 Discrete graph of fitting degree of response surface

顯見，質(zhì)量對各設計變量的響應均為線性單調(diào)遞增的關(guān)系。通過2D 響應面曲線觀察各設計變量與一階固有頻率之間的響應關(guān)系（如圖6 所示）可以看出：一階固有頻率對設計變量x1和x2的響應是線性單調(diào)遞減關(guān)系，對x3是非線性變化關(guān)系，隨著x3的增大先減小后增大。

圖6 一階固有頻率對設計變量的響應曲線Fig.6 Response of the first-order natural frequency vs. each design variable

3.2 局部靈敏度分析

局部靈敏度圖可以顯示輸入?yún)?shù)對輸出參數(shù)的影響程度。圖7 為夾具優(yōu)化設計的兩個目標函數(shù)的局部靈敏度圖，可以看出，底板厚度x1對質(zhì)量影響最大，側(cè)邊擋板厚度x2對一階固有頻率影響最大。當各設計變量均取最小值時，夾具的一階固有頻率達到最大，但是此時振動夾具的質(zhì)量為36.07 kg，不滿足夾具質(zhì)量須不小于37.96 kg 的約束條件，需要適當增大，而這將導致夾具一階固有頻率的降低，也就是說兩個目標函數(shù)出現(xiàn)了相互矛盾的關(guān)系。因此，應采用基于多目標遺傳算法的優(yōu)化設計，在滿足質(zhì)量約束的前提下盡量提高夾具的一階固有頻率。

圖7 目標函數(shù)的局部靈敏度Fig.7 Local sensitivity of the objective functions

3.3 算法及算例

ANSYS 15. 0 軟件[19]為多目標優(yōu)化提供了2 種優(yōu)化算法：Screening 方法是基于采樣和排序的篩選優(yōu)化算法，支持多種目標和約束以及所有類型的輸入?yún)?shù)，其準確度與采樣數(shù)有關(guān)，較高的準確度通常需要耗費更多的計算時間；MOGA 算法是基于NSGA-Ⅱ（非支配排序遺傳算法Ⅱ）的一個變種，支持多目標和約束，非常適合全局最大值/最小值問題，同時可以規(guī)避局部最優(yōu)解的陷阱。

本文使用ANSYS Workbench 軟件對振動夾具進行多目標優(yōu)化分析時的具體設置[11,14]如圖8 所示：將夾具質(zhì)量目標函數(shù)設為最小化（Minimize），同時添加約束函數(shù)要求夾具質(zhì)量須大于37.96 kg；將夾具一階固有頻率目標函數(shù)設為最大化（Maximize）；優(yōu)化方法選擇MOGA 算法，并將種群總數(shù)定義為1000 個，交叉概率設為0.8，變異率設為0.1，最大迭代次數(shù)設置為40 次，最大候選點個數(shù)設置為3 個。

圖8 Pareto 解參數(shù)設置Fig.8 Parameter setting for Pareto solution

本次迭代過程的收斂準則為：當有80%的樣本分布在Pareto 解集優(yōu)化前沿時，迭代結(jié)束。最終，經(jīng)過40 次迭代之后得到一組Pareto 最優(yōu)解集，系統(tǒng)根據(jù)設置自動生成了3 個可供提取的候選設計點，由此得到的3 組優(yōu)化方案與優(yōu)化前的夾具尺寸對比如表1 所示。3 組候選優(yōu)化方案的設計變量尺寸均較為接近，任意一組都可以作為最優(yōu)方案。

表1 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)設計方案對比Table 1 Optimization results of structural design parameters

本文選取優(yōu)化方案三作為最終優(yōu)化方案，考慮到機械加工的要求，將相關(guān)尺寸圓整處理，即取x1=20 mm，x2=10 mm，x3=27 mm，得到優(yōu)化后的夾具底座模型如圖9 所示。

圖9 優(yōu)化后的夾具底座Fig.9 The optimized fixture base

4 優(yōu)化驗證與對比

為了驗證優(yōu)化設計的可行性和有效性，需要對優(yōu)化后的模型進行驗算。按照優(yōu)化方案三優(yōu)化前后的振動夾具基本尺寸對比如表2 所示。其中，夾具總長等于底板的長度（761 mm）加側(cè)邊擋板的厚度（x2），夾具總寬即為底板的寬度，夾具總高等于下卡環(huán)的高度（140 mm）加底板的厚度（x1）。

表2 優(yōu)化前后夾具基本尺寸對比Table 2 Comparison of the fixture’s basic dimensions before and after optimization單位：mm

在相同的材料、網(wǎng)格劃分法和約束方式下，對優(yōu)化后的模型進行有限元模態(tài)分析，提取優(yōu)化前后夾具的前4 階固有頻率進行對比，結(jié)果如表3所示。

表3 優(yōu)化前后的夾具模態(tài)對比Table 3 Comparison of the fixture’s modes before and after optimization

由表1 和表3 可知：優(yōu)化后三軸振動夾具的各階模態(tài)均有所提高，一階固有頻率提高了7.4%，同時夾具質(zhì)量減小了20.1%，較好地實現(xiàn)了振動夾具的輕量化設計要求和一階固有頻率最大化的目標。優(yōu)化后振動夾具的一階固有頻率為3033.4 Hz，滿足大于最高試驗頻率（2000 Hz）的設計要求，且優(yōu)化后夾具最低的固有頻率比所需的最高試驗頻率高出50%，理論上3 個正交方向在2000 Hz 以內(nèi)均沒有共振峰的存在，可以有效避免試驗時產(chǎn)生諧振[2,20]。由于夾具模態(tài)振型對稱，所以頻率成對出現(xiàn)，且數(shù)值接近。經(jīng)驗證，優(yōu)化前后振動夾具對應的模態(tài)振型基本保持一致。

5 結(jié)束語

本文以三軸振動夾具為研究對象，建立了以夾具輕量化和一階固有頻率最大化為目標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計數(shù)學模型，詳細介紹了基于SolidWorks 和ANSYS Workbench 協(xié)同仿真優(yōu)化設計的方法以及使用ANSYS Workbench 軟件進行尺寸優(yōu)化的一般思路和過程。采用多目標遺傳算法進行優(yōu)化設計，為解決多個設計目標之間存在矛盾的情況提供了設計思路。通過對優(yōu)化后模型的優(yōu)化驗證表明，優(yōu)化后三軸振動夾具的一階固有頻率提高了7.4%，同時夾具的質(zhì)量減小了20.1%，說明該優(yōu)化設計方法具有一定的有效性和可行性，可為其他同類產(chǎn)品的改進和優(yōu)化設計提供參考。