王新剛，馬瑞敏，黃小凱，常苗鑫

（1. 東北大學(xué) 機(jī)械動(dòng)力學(xué)與可靠性研究中心，秦皇島 066004； 2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094）

0 引言

科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展使產(chǎn)品的可靠性不斷提高，在允許的時(shí)間內(nèi)，很難獲得產(chǎn)品性能研究所需的失效數(shù)據(jù)[1]。性能退化分析作為一種有效彌補(bǔ)機(jī)械產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)不足的方法，可以間接預(yù)測(cè)產(chǎn)品的壽命[2]。

基于機(jī)械產(chǎn)品性能退化的可靠度分析，關(guān)鍵在于產(chǎn)品退化模型的建立以及失效標(biāo)準(zhǔn)即失效閾值的確定。通常采用退化軌跡和隨機(jī)沖擊過(guò)程這2 種方法來(lái)描述機(jī)械產(chǎn)品的性能退化過(guò)程。退化軌跡模型是指采用一些應(yīng)用較為成熟的數(shù)學(xué)模型來(lái)擬合產(chǎn)品性能退化量和時(shí)間的關(guān)系[3-4]。一般情況下產(chǎn)品的失效往往是由多種失效模式導(dǎo)致的，當(dāng)突發(fā)失效或性能退化失效之一達(dá)到其失效閾值都會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品的失效[5]。Li 等[6]分析了產(chǎn)品同時(shí)包含隨機(jī)沖擊過(guò)程與性能退化過(guò)程且兩者相互獨(dú)立下的可靠性。Wang 等[7]考慮了外部沖擊載荷對(duì)退化過(guò)程的影響，并在模糊退化數(shù)據(jù)下進(jìn)行了退化分析，建立了基于模糊退化數(shù)據(jù)的可靠性模型。劉曉娟等[8]在外部沖擊過(guò)程和內(nèi)部性能退化過(guò)程同時(shí)存在的情況下，采用時(shí)變copula 函數(shù)建立多個(gè)退化過(guò)程和沖擊過(guò)程下的競(jìng)爭(zhēng)失效可靠性模型，研究表明產(chǎn)品在工作過(guò)程中，其自身的性能退化過(guò)程和所受到的外部沖擊過(guò)程相互影響。An 等[9]分析了沖擊載荷引起的性能退化增量與沖擊載荷大小之間的關(guān)系，研究表明系統(tǒng)有抵抗微小載荷的能力，只有超過(guò)一定范圍的沖擊載荷才會(huì)對(duì)系統(tǒng)的性能退化量產(chǎn)生影響。Rafiee 等[10]在假定性能退化過(guò)程為線性的前提下，研究了外界沖擊分別為極值沖擊和運(yùn)行沖擊等情況下對(duì)線性退化速率的影響。黃文平等[11]認(rèn)為突發(fā)失效的失效閾值是變化的，在極值沖擊過(guò)程和線性退化過(guò)程同時(shí)存在以及突發(fā)失效的閾值受到性能退化過(guò)程影響的前提下，建立了微引擎在變失效閾值下的競(jìng)爭(zhēng)失效可靠度模型。

在上述分析的基礎(chǔ)上，考慮到產(chǎn)品本身的復(fù)雜性和工作環(huán)境的不穩(wěn)定性，失效閾值為固定值不符合實(shí)際情況。隨著性能退化量的逐漸增大，產(chǎn)品抵抗外載荷沖擊的能力會(huì)逐漸減弱，即突發(fā)失效的失效閾值為隨時(shí)間推移而降低的變量。溫度等因素也會(huì)對(duì)材料的物理性能產(chǎn)生影響，因此性能退化過(guò)程的失效閾值亦為隨時(shí)間推移而降低的變量。本文提出了在沖擊載荷分別為極值沖擊和運(yùn)行沖擊時(shí)，多個(gè)失效模式下的時(shí)變失效閾值可靠度模型，分析了性能退化模型和突發(fā)失效模型，建立了極值沖擊和運(yùn)行沖擊下產(chǎn)品的可靠度模型，最后結(jié)合實(shí)例對(duì)所提出的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 性能退化失效模型

如圖1 所示，失效閾值隨著時(shí)間推移逐漸降低，在工作應(yīng)力的作用下，機(jī)械產(chǎn)品的性能退化量會(huì)隨著工作的進(jìn)行逐漸增加，在機(jī)械產(chǎn)品遭受外界沖擊的時(shí)候（t1、 t2、 t3分別表示外界沖擊載荷作用的時(shí)刻），如果外界沖擊不能使得產(chǎn)品立即失效，就會(huì)造成產(chǎn)品性能退化量突然增加[12]。外界隨機(jī)沖擊載荷造成的產(chǎn)品性能退化量的突然增加和產(chǎn)品自身的性能退化量之和構(gòu)成了產(chǎn)品總的性能退化量[13]。當(dāng)總的性能退化量超過(guò)失效閾值H 的時(shí)候，產(chǎn)品便會(huì)退化失效。

圖1 性能退化失效過(guò)程Fig.1 Failure process of performance degradation

為了研究方便，令產(chǎn)品的失效閾值變化過(guò)程和性能退化過(guò)程都服從線性軌跡模型：

式中：X(t)為t 時(shí)刻產(chǎn)品自身的性能退化量； ?為產(chǎn)品的性能退化量在0 時(shí)刻的數(shù)值；β1為產(chǎn)品的性能退化速率，并且服從正態(tài)分布；H(t)為t 時(shí)刻產(chǎn)品的失效閾值；H0為0 時(shí)刻產(chǎn)品的失效閾值；β0為失效閾值的變化速率，且服從正態(tài)分布。

總的性能退化量為

產(chǎn)品在時(shí)間t 內(nèi)不發(fā)生失效的概率為

2 突發(fā)失效模型

如圖2 所示，用wi表示外界沖擊載荷的幅值，D(t)表示突發(fā)失效閾值，外界沖擊載荷的幅值服從正態(tài)分布，發(fā)生率服從泊松分布。

圖2 突發(fā)失效過(guò)程Fig.2 Suddenly-occurred failure process

產(chǎn)品的性能退化過(guò)程會(huì)影響突發(fā)失效閾值的變化過(guò)程：隨著性能退化量的不斷增加，產(chǎn)品抵抗外界沖擊載荷的能力減弱，即產(chǎn)品的突發(fā)失效閾值逐漸降低，當(dāng)外界沖擊載荷超過(guò)失效閾值時(shí)，產(chǎn)品發(fā)生突發(fā)失效。突發(fā)失效閾值的變化情況同樣適用于其他模型。為了研究方便，假設(shè)突發(fā)失效的閾值變化服從二階段的線性變化過(guò)程，即在產(chǎn)品性能退化量小于L 時(shí)以β2的速率遞減，在產(chǎn)品性能退化量大于L 時(shí)以β3的速率遞減，β2與β3均為服從正態(tài)分布函數(shù)的變量。

在時(shí)間t 內(nèi)，突發(fā)失效的閾值變化情況如圖2所示。設(shè)在u 時(shí)刻性能退化量正好到達(dá)L，則在時(shí)間t 內(nèi)突發(fā)失效的閾值分布函數(shù)為

3 極值沖擊下產(chǎn)品的可靠度

在時(shí)間t 內(nèi)，考慮產(chǎn)品的性能退化失效和突發(fā)失效2 種模式同時(shí)存在的條件下，產(chǎn)品的可靠度可以表示為

式中：R(t|N(t) = i)為t 時(shí)刻發(fā)生i 次沖擊下產(chǎn)品的可靠度；P(N(t) = i)為時(shí)間t 內(nèi)外界沖擊載荷發(fā)生i 次的概率。

R(t)的計(jì)算較為復(fù)雜，為了分析方便分以下3 種情況討論：

1）在時(shí)間t 內(nèi)，產(chǎn)品只發(fā)生了性能退化，則其可靠度為

2）在時(shí)間t 內(nèi)，總的性能退化量小于L 且有外界沖擊載荷作用于產(chǎn)品，則產(chǎn)品可靠度為

3）在時(shí)間t 內(nèi)，總的性能退化量大于L 且小于H，且有外界沖擊載荷作用于產(chǎn)品，則產(chǎn)品可靠度為

為了分析方便需要假定幾個(gè)參數(shù)，把性能退化量剛好到達(dá)L 的時(shí)刻記為u，時(shí)間t 內(nèi)的沖擊次數(shù)記為i，在時(shí)間u 內(nèi)沖擊的次數(shù)記為k，那么[u, t]區(qū)間內(nèi)的沖擊次數(shù)為(i - k)。在時(shí)間u 內(nèi)，把性能退化量小于L 且外界沖擊次數(shù)為k 次條件下產(chǎn)品不發(fā)生性能退化失效的概率函數(shù)記為FX(k, x, u)，則

產(chǎn)品在時(shí)間t 內(nèi)的可靠度為

機(jī)械產(chǎn)品在外界沖擊載荷為極值沖擊的前提下，在工作時(shí)間t 內(nèi)其工作狀態(tài)是上述3 種情況之一，因此時(shí)間t 內(nèi)產(chǎn)品的可靠度為

4 運(yùn)行沖擊下產(chǎn)品的可靠度

如圖3 所示，在運(yùn)行沖擊模型中，如果有連續(xù)m 個(gè)外載荷大于某個(gè)固定閾值D2或者大于突發(fā)失效閾值D(t)的時(shí)候，就會(huì)發(fā)生運(yùn)行沖擊失效[14]。

圖3 運(yùn)行沖擊模型Fig.3 Operation shock model

為了分析方便首先定義Ui為在i 次外界沖擊載荷中不會(huì)有連續(xù)m 個(gè)沖擊載荷大于某個(gè)固定閾值D2的概率，Ui應(yīng)該滿足

式中：P 為沖擊載荷大于固定閾值D2并且小于失效閾值D1的概率；Q 為沖擊載荷小于固定閾值D2的概率。P、Q 的表達(dá)式分別為：

分3 種情況考慮產(chǎn)品在時(shí)間t 內(nèi)的可靠度：

1）在時(shí)間t 內(nèi)，產(chǎn)品只發(fā)生了性能退化，則其可靠度為

2）在時(shí)間t 內(nèi)，總的性能退化量小于L 且有外界沖擊載荷作用于產(chǎn)品，則產(chǎn)品可靠度為

3）在時(shí)間t 內(nèi)，總的性能退化量大于L 且小于H，且有外界沖擊載荷作用于產(chǎn)品，則產(chǎn)品可靠度為

綜合以上3 種情況，產(chǎn)品在時(shí)刻t 的可靠度為

5 實(shí)例分析

根據(jù)美國(guó)Sandia 國(guó)家實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，一種包括正交梳狀驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)和相互機(jī)械連接的旋轉(zhuǎn)齒的微型發(fā)動(dòng)機(jī)，其梳齒傳動(dòng)的線性位移通過(guò)銷傳遞到齒輪上。微引擎參數(shù)如表1 所示，隨著工作過(guò)程的進(jìn)行，齒輪與銷連接的表面會(huì)有明顯的磨損。產(chǎn)品正常工作時(shí)的載荷和外載荷的沖擊導(dǎo)致磨損，外部沖擊會(huì)導(dǎo)致微型發(fā)動(dòng)機(jī)的零部件突然斷裂，這2 個(gè)失效模式都可能導(dǎo)致微型發(fā)動(dòng)機(jī)失效。

表1 微引擎可靠性分析參數(shù)Table 1 Parameter values for micro-engine reliability analysis

5.1 基于極值沖擊的產(chǎn)品可靠性分析

產(chǎn)品在極值沖擊的工作環(huán)境下，將表1 中的數(shù)據(jù)代入式(13)，得到微引擎的可靠度函數(shù)，如圖4和圖5 所示。

圖4 極值沖擊情況下不同失效閾值變化速率下的產(chǎn)品可靠度Fig.4 Product reliability at different failure threshold degradation rates in extreme operation shock

根據(jù)式(13)可知，突發(fā)失效閾值的變化速率μβ2和 μβ3都對(duì)產(chǎn)品可靠度有影響。為了便于分析，分別給出了3 組數(shù)據(jù)。通過(guò)圖4 可以看到：不考慮突發(fā)失效閾值的變化，產(chǎn)品的可靠度會(huì)被高估；當(dāng)失效閾值變化速率變大時(shí)，可靠度曲線向左偏移，說(shuō)明在一定范圍內(nèi)隨著突發(fā)失效閾值變化速率的增大，產(chǎn)品的可靠度降低。

根據(jù)上文分析可以得知，當(dāng)性能退化量達(dá)到L 時(shí)，產(chǎn)品抵抗沖擊能力減弱，即突發(fā)失效閾值變化速率發(fā)生改變。在其他參數(shù)和工作時(shí)間不變的情況下，通過(guò)改變L 的大小來(lái)研究其對(duì)產(chǎn)品可靠度的影響。圖5 分別給出了3 組不同的L 值，可以看到：在一定范圍內(nèi)隨著L 的逐漸變大，產(chǎn)品的可靠度也隨之提高。這是因?yàn)長(zhǎng) 越小，突發(fā)失效閾值變化速率增大的條件越容易被滿足。

圖5 極值沖擊情況下不同L 值下的產(chǎn)品可靠度Fig.5 Product reliability for different values of L in extreme operation shock

5.2 基于運(yùn)行沖擊的產(chǎn)品可靠性分析

在外界沖擊為運(yùn)行沖擊的情況下，將表1 中的數(shù)據(jù)代入式(19)，得到微引擎的可靠度函數(shù)，如圖6和圖7 所示。

圖6 運(yùn)行沖擊情況下不同失效閾值變化速率下的產(chǎn)品可靠度Fig.6 Product reliability at different failure threshold degradation rates in operation shock

失效閾值變化速率對(duì)運(yùn)行沖擊模型可靠度的影響與對(duì)極值沖擊模型可靠度的影響相似。在其他參數(shù)不變的條件下，給出了3 種失效閾值的變化速率。通過(guò)圖6 可以看到，在一定范圍內(nèi)，隨著失效閾值變化速率的增加，產(chǎn)品的可靠度降低。

數(shù)值L 對(duì)運(yùn)行沖擊模型可靠度的影響與對(duì)極值沖擊模型可靠度的影響相似。在其他參數(shù)不變的條件下，給出了3 組不同的L 值。通過(guò)圖7 可以看到，在一定范圍內(nèi)隨著L 變大，產(chǎn)品的可靠度提高。

圖7 運(yùn)行沖擊情況下不同L 值下的產(chǎn)品可靠度Fig.7 Product reliability for different values of L in operation shock

6 結(jié)論

本文研究了在外界沖擊為極值沖擊和運(yùn)行沖擊的情況下，突發(fā)失效與性能退化同時(shí)存在下機(jī)械產(chǎn)品失效閾值變化速率對(duì)產(chǎn)品可靠度的影響。

結(jié)果表明：1）忽略機(jī)械產(chǎn)品突發(fā)失效閾值的變化，機(jī)械產(chǎn)品的可靠度會(huì)被高估；2）突發(fā)失效閾值的變化速率會(huì)影響機(jī)械產(chǎn)品的可靠度，在一定范圍內(nèi)，隨著變化速率的逐漸增大，機(jī)械產(chǎn)品的可靠度逐漸下降；3）決定失效閾值變化速率的性能退化量L 對(duì)產(chǎn)品可靠度有影響。在一定范圍內(nèi)，隨著性能退化量L 變大，產(chǎn)品的可靠度提高。