黃 平, 趙澤藩, 楊啟貴, 劉小蘭
(華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州510640)
習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào):“創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力”?!白プ×藙?chuàng)新,就抓住了牽動(dòng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展全局的牛鼻子”,培養(yǎng)創(chuàng)新性人才是高等教育的當(dāng)務(wù)之急。數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代理性文化的核心,是科技創(chuàng)新必不可少的一種資源,是一種普遍適用并賦予人以能力的技術(shù),高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)正在成為共識(shí)[1-7]。因此,如何更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中的驅(qū)動(dòng)作用意義重大。實(shí)踐表明,以探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為抓手,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力是一種有效手段。
探索性實(shí)驗(yàn)是人們從事開創(chuàng)性研究工作時(shí),為探尋未知事物或現(xiàn)象的性質(zhì)以及規(guī)律所進(jìn)行的實(shí)踐活動(dòng)。探索性實(shí)驗(yàn)作為實(shí)驗(yàn)課的組成部分,是讓學(xué)生接受一個(gè)開放性的問題、自己不斷探索解決方案的一類項(xiàng)目,其難度要高于常規(guī)的驗(yàn)證性、綜合性與設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn),并具有如下一些特征:①對(duì)未知事物進(jìn)行的探索實(shí)踐,其結(jié)果具有更大的不確定性,不能要求一定成功,實(shí)驗(yàn)過程允許失?。虎卺槍?duì)開放性問題,由學(xué)生自行設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,探尋未知結(jié)果,適用于對(duì)問題感興趣的同學(xué)分小組開展;③實(shí)驗(yàn)內(nèi)容大多來源于教師的科研領(lǐng)域(或其他應(yīng)用領(lǐng)域),能夠反映最新科研成果,緊跟學(xué)科發(fā)展前沿,并引導(dǎo)教師將科研成果逐步轉(zhuǎn)化為實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容。
就其意義而言,至少包括如下幾個(gè)方面:①探索性實(shí)驗(yàn)不同于其他類實(shí)驗(yàn)教學(xué),更加具有個(gè)性化,開放性等特點(diǎn)。在實(shí)驗(yàn)過程中,學(xué)生可以充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性,大膽設(shè)想,彰顯個(gè)性發(fā)展,使自己在知識(shí)、能力上得到充分展現(xiàn);②有助于培養(yǎng)學(xué)生的科研和自學(xué)能力。在探索性實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生可以按自己擬定的方案開展實(shí)驗(yàn),這對(duì)提高實(shí)驗(yàn)的挑戰(zhàn)性、協(xié)作性和興趣有極大的幫助。并且探索性實(shí)驗(yàn)過程需要接觸更多新知識(shí)和新技術(shù),培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的多樣性也能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,促進(jìn)學(xué)生持續(xù)研究,這種模擬科學(xué)研究的實(shí)驗(yàn)方法可以為今后的科研工作打下扎實(shí)基礎(chǔ);③教師的跟蹤指導(dǎo)有利于將教師的科研經(jīng)驗(yàn)和工作方法融入實(shí)驗(yàn)過程中,潛移默化對(duì)學(xué)生產(chǎn)生影響,促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。此外,探索性實(shí)驗(yàn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力、探索精神以及良好的學(xué)習(xí)方法均具有重要意義[8-11]。
基于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)問題研究特點(diǎn)與探索性實(shí)驗(yàn)基本特征,提出了如下開設(shè)要求[12-16]:①選題力求新穎性、先進(jìn)性與應(yīng)用性,能夠反映學(xué)科研究新方向和本質(zhì)特點(diǎn)、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;②查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料,弄清問題的來龍去脈及研究的主要方法;③在文獻(xiàn)閱讀的基礎(chǔ)上,識(shí)別要研究的具體問題,獲取有關(guān)數(shù)據(jù),并初步擬定實(shí)驗(yàn)方案;④根據(jù)問題特點(diǎn)、編寫實(shí)驗(yàn)程序,開展實(shí)驗(yàn)觀察,取得實(shí)驗(yàn)結(jié)果,繪制相關(guān)圖表;⑤分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,提煉創(chuàng)新性成果,寫出總結(jié)報(bào)告;⑥開展討論、交流經(jīng)驗(yàn),分享實(shí)驗(yàn)成果。
具體實(shí)施過程如下:①征集問題。向全院教師征集探索性實(shí)驗(yàn)問題,并提供問題研究背景、意義及重要參考文獻(xiàn);②公布選題、實(shí)驗(yàn)要求及評(píng)價(jià)指標(biāo)。由學(xué)生自由組隊(duì)(每隊(duì)3 人)、選擇感興趣的問題并與出題教師建立聯(lián)系(如QQ 群、微信群等);③查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料,擬定實(shí)驗(yàn)方案并與教師討論、修改、確定;④進(jìn)行多次反復(fù)實(shí)驗(yàn)、討論、對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)圖形力求完美,取得創(chuàng)新性成果;⑤撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告:要求圖、文、程序并茂,突出新發(fā)現(xiàn)、新設(shè)計(jì)、新應(yīng)用、新認(rèn)識(shí);⑥經(jīng)驗(yàn)交流與集中討論。組織全班同學(xué)公開報(bào)告實(shí)驗(yàn)過程、學(xué)習(xí)方法、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及相關(guān)問題,分享實(shí)驗(yàn)成果與體會(huì)。
通過公開向全院教師征集探索性實(shí)驗(yàn)問題的方法,共征集到廣義b-方程的孤立波分支、分形設(shè)計(jì)與應(yīng)用、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)算法、廣義-Lü 系統(tǒng)混沌吸引子及混沌加密等13 個(gè)問題,基于學(xué)生自主選擇進(jìn)行組隊(duì),組成15 個(gè)小組開展探索性實(shí)驗(yàn),并以項(xiàng)目形式加以支持和推進(jìn)。以下針對(duì)廣義-Lü 系統(tǒng)混沌問題為例介紹。
混沌是近代科學(xué)的一個(gè)分支,主要研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)某種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,也是復(fù)雜性科學(xué)新思想的一個(gè)典型代表。從第一個(gè)混沌系統(tǒng)Lorenz 系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)以來,混沌學(xué)獲得了長足發(fā)展,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了Chen 系統(tǒng)和Lü 系統(tǒng)等,而且證明了Chen 系統(tǒng)是Lorenz系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng),Lü 系統(tǒng)則刻畫了它們之間的過渡,其極度復(fù)雜性和豐富性超乎人們的想象[17-18]。以廣義-Lü系統(tǒng)進(jìn)行探索性實(shí)驗(yàn),有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、開拓視野、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。所研究的廣義-Lü系統(tǒng)為:
該系統(tǒng)與Lü系統(tǒng)有相近的形式,但多了一個(gè)二次項(xiàng)x2,具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。
3.1.1 系統(tǒng)平衡點(diǎn)
%利用Matlab符號(hào)運(yùn)算求平衡點(diǎn):
clear all
syms x y z a b c;
[x,y,z]=solve(a*(x -y)==0,x*z -c*y =
=0,x^2 +x*y-b*z ==0,x,y,z)
求得3 個(gè)平衡點(diǎn)為:
在非零平衡點(diǎn)s1、s2處的雅可比矩陣:
3.1.2 系統(tǒng)的相圖與奇異吸引子發(fā)現(xiàn)
利用Matlab 編程繪制系統(tǒng)的三維、二維相圖及狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線,改變參數(shù)a,b,c的值,觀察其相圖變化,當(dāng)a =20,b =8,c =32 時(shí),出現(xiàn)如下奇異引子(見圖1 ~4)。
圖1 系統(tǒng)xyz三維吸引子
圖2 系統(tǒng)xy二維吸引子
圖3 系統(tǒng)xz二維吸引子
圖4 x隨時(shí)間t的變化
程序如下:
clear all
clc
a =20;b =8;c =32;
flu =@(t,x)([a*(x(1)-x(2));-c*x(2)+x(1)*
x(3);x(1)^2 +x(1)*x(2)-b*x(3)]);x0 =[10,
10,10];
[t,x]=ode45(flu,[0,30],x0);figure
plot(x(:,1),x(:,2));xlabel('x');
ylabel('y');figure
plot(x(:,1),x(:,3));xlabel('x');
ylabel('z');figure
plot(x(:,2),x(:,3));xlabel('y');
ylabel('z');figure
patch(x(:,1),x(:,2),x(:,3),x(:,3),'edgecolor','flat','
facecolor','none');
view(3);xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
figure
plot(t,x(:,1));
xlabel('t');
ylabel('x');
利用Matlab計(jì)算對(duì)應(yīng)s1,s2的特征值如下:
clear all
a =20;b =8;c =32;J =[a,-a,0;c,-c,sqrt(b*c/2);
3*sqrt(b*c/2),sqrt(b*c/2),-b];[V,D]=
eig(J);
得λ1=-31.402 9,λ2,3=5.701 5 ±17.134 1i。
注意到特征值λ2,3具有大的正實(shí)部,意味著,非零平衡點(diǎn)在吸引平面方向上對(duì)狀態(tài)具有大的排斥力,致使螺旋發(fā)散的運(yùn)動(dòng)步伐加大,使系統(tǒng)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)發(fā)生多次模態(tài)轉(zhuǎn)換,并在不同模態(tài)之間來回跳轉(zhuǎn),產(chǎn)生圖1 ~3 中所展示的奇異吸引子。實(shí)驗(yàn)觀察表明雅可比矩陣存在較大的正實(shí)部特征值是非線性系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的內(nèi)在條件之一。
3.1.3 李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算
李雅普諾夫指數(shù)(lyapunov exponents)是用于識(shí)別混沌運(yùn)動(dòng)的主要數(shù)值特征之一。用定義法進(jìn)行廣義Lü系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)計(jì)算實(shí)驗(yàn)(見圖5)。
圖5 3個(gè)Lyapunov指數(shù)隨演化次數(shù)的變化
程序如下:
%廣義Lü系統(tǒng)及其偏差向量
function dx =flf(t,x)
globala;globalb;global c;
dx =zeros(12,1);
%Y的3個(gè)列向量為相互正交的單位向量
Y =[x(4),x(7),x(10);x(5),x(8),x(11);x(6),x(9),x(12)];
%原系統(tǒng)方程
dx(1)=a*(x(1)-x(2));
dx(2)=x(1)*x(3)-c*x(2);
dx(3)=x(1)^2 +x(1)*x(2)-b*x(3);
(4)%jacobi矩陣
J =[a,- a,0;x(3),- c,x(1);2*x(1)+x(2),x(1),-b];
dx(4:12)=J*Y;%偏差向量
end
% Lyapunov指數(shù)計(jì)算程序
function Lyapunov
globala;globalb;global c;
b =8;c =32;a =20;
y =[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1];
tstart =0;%計(jì)算公式中的T
tstep =1e-3;%步長
wholetimes =1e3;%循環(huán)總次數(shù)
steps =10;%每次演化的步數(shù)
iteratetimes =wholetimes/steps;%演化次數(shù)
mod =[0,0,0];lp =[0,0,0];
%3個(gè)Lyapunov指數(shù)的初值
Lyapunov1 =zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov2 =zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov3 =zeros(iteratetimes,1);
fori =1:iteratetimestspan =tstart:tstep:(tstart +tstep *steps);
[t,Y]=ode45(@flf,tspan,y);
y =Y(jié)(size(Y,1),:);
tstart =tstart +tstep*steps;
y0 =[y(4),y(7),y(10);y(5),y(8),y(11);y(6),y(9),y(12)];
y0 =GS(y0);%施密特正交化
for j =1:3
mod(j)=norm(y0(:,j));
y0(:,j)=y(tǒng)0(:,j)/mod(j);%標(biāo)準(zhǔn)化
end
lp =lp +log(abs(mod));%計(jì)算Lyapunov指數(shù)
Lyapunov1(i)=lp(1)/(tstart);
Lyapunov2(i)=lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i)=lp(3)/(tstart);
y(4:12)=y(tǒng)0';
end
i =1:iteratetimes;
%求出最大的3個(gè)指數(shù)
max(Lyapunov1);max(Lyapunov2);max(Lyapunov3);
plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3);
%畫出指數(shù)隨演化次數(shù)的變化圖
xlabel('a =20 b =8 c =32'),
ylabel('lyapunov exponents')
title('Lyapunov exponents of廣義Lü系統(tǒng)’);grid on
end
從圖5 中可見,3 個(gè)指數(shù)中有1 個(gè)為正、2 個(gè)為負(fù),表明系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子而非超混沌吸引子。
混沌所固有的隨機(jī)性、遍歷性、確定性和對(duì)初始條件的敏感性等基本特征為密碼學(xué)領(lǐng)域設(shè)計(jì)簡單、高效、安全的加密算法提供了新途徑。將新系統(tǒng)和Logistic系統(tǒng)的混沌、分岔特性有機(jī)結(jié)合,分別用于加密設(shè)計(jì)的置亂與擴(kuò)散過程,其基本流程見圖6。構(gòu)造新的加密算法并對(duì)加密性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析,以彩色圖像加密為例,結(jié)果如圖7 所示。
圖6 置亂與擴(kuò)散基本流程
圖7 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果
3.2.1 關(guān)鍵代碼
%1加密程序
clear all;clc;
[filename,pathname,filter]=uigetfile('*.*','選擇圖像');
if filter ==0
return;end
img =fullfile(pathname,filename);
A =imread(img);subplot(1,3,1);imshow(A);
title('原圖像');%導(dǎo)入原圖像
n =size(A,1)*size(A,2);
%設(shè)置加密參數(shù)
%flu混沌系統(tǒng)參數(shù)與初值
a =20;b =8;c =32;h =0.001;
z0 =[10.001,10.002,10.003];
x0 =0.23;u =3.97;%Logistic參數(shù)
Z =flu(z0,a,b,c,h,n);%flu系統(tǒng)迭代生成混沌序列
Z =1000*Z-round(1000*Z);%對(duì)混沌序列預(yù)處理
[Z1,sx]=sort(Z,2);%排序并輸出索引sx
A1 =reshape(A,1,[],3);
for j =1:3
%置亂加密:利用索引sx
B1(:,:,j)=A1(1,sx(j,:),j);
end
x =logistic1(n,u,x0);% Logistic迭代序列
%擴(kuò)散加密:按位異或
C =zeros(1,n,3);
for i =1:n
for j =1:3
C(1,i,j)=bitxor(x(i),B1(1,i,j));
end
end
C =reshape(C,size(A,1),size(A,2),3);
C =uint8(C);subplot(1,3,2);imshow(C);
title('加密圖像');
imwrite(C,'彩色加密圖.bmp','bmp');
%2解密程序
I =imread('彩色加密圖.bmp');
n =size(I,1)*size(I,2);
xx0 =0.23;u =3.97;
%解密端logistic迭代
xx =logistic1(n,u,xx0);
xx =uint8(xx);II =reshape(I,1,n,3);
I1 =zeros(1,n,3);
fori =1:n
for j =1:3
%反擴(kuò)散解密:按位異或
I1(1,i,j)=bitxor(xx(i),II(1,i,j));
end
end
%解密端flu系統(tǒng)迭代
ZZ =flu(z0,a,b,c,h,n);
ZZ =1000*ZZ-round(1000*ZZ);
[ZZ1,sx]=sort(ZZ,2);
for j =1:3
A2(1,sx(j,:),j)=I1(1,1:n,j);%反置亂解密
end
B2 =reshape(A2,size(I,1),size(I,2),3);
B2 =uint8(B2);subplot(1,3,3);imshow(B2);
title('解密圖像');
imwrite(B2,'彩色解密圖.bmp','bmp');
3.2.2 性能測試分析
(1)密鑰空間大小。以上混沌加密算法主要包括置亂與擴(kuò)散兩個(gè)環(huán)節(jié):其中置亂環(huán)節(jié),將廣義Lü 系統(tǒng)的3 個(gè)參數(shù)a,b,c、步長h及初值z0作為密鑰;擴(kuò)散環(huán)節(jié),將logistic系統(tǒng)的參數(shù)u 及初值x0作為密鑰,密鑰維數(shù)為9,且各維相互獨(dú)立,密鑰空間足夠大。
(2)密鑰的敏感性測試。密鑰敏感性測試結(jié)果表明,僅給予某一初值z0或x0微小擾動(dòng)(10-12),足以使解密結(jié)果面目全非,完全無法辨識(shí)(見圖8)。
圖8 兩個(gè)不同初值小擾動(dòng)的解密結(jié)果
(3)直方圖測試。直方圖測試表明,加密后圖像三基色直方圖呈均勻分布,對(duì)于統(tǒng)計(jì)攻擊具有很強(qiáng)的抵御能力(見圖9)。
圖9 圖像加密前后直方圖比較
(4)相鄰像素的相關(guān)性測試。由表1 ~3 可見,加密后圖像三基色分量在垂直、水平、對(duì)角線方向上相鄰像素的相關(guān)系數(shù)均接近于0,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原圖像對(duì)應(yīng)相關(guān)系數(shù),說明加密算法具有良好的置亂效果,有效地破壞了原圖像的統(tǒng)計(jì)特征。
表1 R分量相鄰像素相關(guān)性
表2 G分量相鄰像素相關(guān)性
表3 B分量相鄰像素相關(guān)性
探索性實(shí)驗(yàn)是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的有效途徑,自2014年以來,我校將探索性實(shí)驗(yàn)作為培養(yǎng)“三創(chuàng)型”人才的重要舉措。每年組織專家從眾多最新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中遴選出若干優(yōu)質(zhì)項(xiàng)目,進(jìn)行立項(xiàng)管理,給予適當(dāng)?shù)恼吲c經(jīng)費(fèi)支持,引導(dǎo)教師將科研成果向?qū)嶒?yàn)教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步促進(jìn)實(shí)踐教學(xué)改革,達(dá)到了預(yù)期效果[19]。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力(尤其是自學(xué)能力)與科研實(shí)踐能力、問題思考能力與探索精神、協(xié)作意識(shí)與行動(dòng)實(shí)現(xiàn)能力、系統(tǒng)學(xué)習(xí)與問題發(fā)現(xiàn)能力、大膽設(shè)想與實(shí)驗(yàn)求證能力、綜合表達(dá)與概括陳述能力均得到較大程度的提高。
正如許多同學(xué)在實(shí)驗(yàn)報(bào)告及其他場合中所言:“在這個(gè)探索的過程中我覺得自己對(duì)‘科創(chuàng)’兩個(gè)字漸漸地不再感到陌生遙遠(yuǎn),掌握研究領(lǐng)域的基本知識(shí),才能運(yùn)用自己的思維實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新”。“用問題去驅(qū)動(dòng)自己探索和學(xué)習(xí)始終是一種高效可行的學(xué)習(xí)模式,一點(diǎn)一滴的積累,終究可以匯聚成淵”?!疤剿餍詫?shí)驗(yàn)無疑是對(duì)我們學(xué)習(xí)能力的最大考驗(yàn)和培養(yǎng),整個(gè)心路歷程是很波動(dòng)的,有過抗拒、挫敗、崩潰,也有想到放棄,但當(dāng)因?yàn)榭朔朔N種困難,最終取得了好的結(jié)果,這對(duì)我們的學(xué)習(xí)能力是一種極大的提升與肯定”?!疤剿餍詫?shí)驗(yàn)充分開發(fā)了自己的自學(xué)能力和鉆研精神,非常贊同這種學(xué)習(xí)模式”。“探索性實(shí)驗(yàn)中感觸最深的是所做出的混沌圖形,將它們打包發(fā)到朋友圈,結(jié)果所有人都對(duì)混沌圖像十分感興趣,被它的絢爛美麗所吸引,線條變幻莫測,盡顯混亂而又不失層次的美感,非常欣慰親手做出的混沌圖像能得到大家的認(rèn)可”?!疤剿餍詫?shí)驗(yàn)使我體會(huì)到小組共同攻克難題的樂趣,也讓我明白一個(gè)看起來很難的問題,只要肯去揭開它的面紗,一切都會(huì)變得容易起來”。
探索性實(shí)驗(yàn)不僅培養(yǎng)了學(xué)生多方面能力,受到學(xué)生的好評(píng),而且也由此收獲了不少可喜成果和獎(jiǎng)項(xiàng)。如部分學(xué)生的實(shí)驗(yàn)成果以論文形式發(fā)表在IEEE、SCI和核心期刊上;項(xiàng)目“廣義b-方程的孤立波分支”獲大學(xué)生課外學(xué)術(shù)科技作品廣東省特等獎(jiǎng)等。正因?yàn)閷W(xué)校一貫重視學(xué)生實(shí)踐能力培養(yǎng),發(fā)揮探索性實(shí)驗(yàn)在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的關(guān)鍵作用,促進(jìn)實(shí)踐教學(xué)改革,教學(xué)質(zhì)量得到穩(wěn)步提升,畢業(yè)生深受社會(huì)的廣泛歡迎。
探索性實(shí)驗(yàn)是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要抓手,也是發(fā)揮數(shù)學(xué)在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中驅(qū)動(dòng)作用的一種很好方式,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)、思維、協(xié)作與行動(dòng)等多方面能力具有獨(dú)到作用。在實(shí)施過程中應(yīng)更加重視選題、組隊(duì)、重要文獻(xiàn)和適當(dāng)引導(dǎo),讓學(xué)生逐漸進(jìn)入科研角色,充分發(fā)揮他們的積極性和創(chuàng)造性,鼓勵(lì)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)困難,敢想敢試,不僅有新想法,而且要做出結(jié)果來,做得好,讓青春在探索過程中經(jīng)受磨練、得到綻放,成為人生中最難忘的記憶。