馬 杰 張景鈺

（陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 咸陽(yáng)712000）

1 概述

倒立擺系統(tǒng)在控制學(xué)科是一個(gè)非線性、不易控制、階次高、變量較多、變量之間關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)且穩(wěn)定性較差的系統(tǒng)，從19 世紀(jì)中期開(kāi)始, 倒立擺系統(tǒng)就常被用于控制領(lǐng)域的研究[1-3]。在控制學(xué)科中，一些不易理解的概念，都可以通過(guò)倒立擺擺桿的控制展現(xiàn)出來(lái)[4,5]。除了在理論上的應(yīng)用，對(duì)倒立擺擺桿控制算法研究還可遷移到對(duì)行走機(jī)器人平衡性的控制、發(fā)射火箭時(shí)其豎直度的掌控以及其他的常見(jiàn)的工業(yè)控制領(lǐng)域都可通過(guò)對(duì)倒立擺的控制進(jìn)行研究[4,5]。因此從理論和實(shí)際來(lái)看，對(duì)倒立擺的研究有著重要意義[6,7]。國(guó)內(nèi)外對(duì)于直線一級(jí)倒立擺或環(huán)形一級(jí)倒立擺的研究較多，相對(duì)而言，對(duì)于二級(jí)倒立擺的研究就相對(duì)冷淡，同一級(jí)擺的控制相比，二級(jí)擺的控制更加復(fù)雜多變。與一級(jí)擺相同，環(huán)形二級(jí)倒立擺的控制研究也分為兩部分：將擺桿甩起的控制及在豎直向上位置的穩(wěn)定控制。作為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，二級(jí)擺的穩(wěn)擺控制是通過(guò)電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)與之連接的水平連桿，帶動(dòng)與之相連的垂直面內(nèi)的中間連桿，從而控制連在中間連桿末端的擺桿垂直穩(wěn)定在豎直向上的位置[8]。本文主要是針對(duì)環(huán)形二級(jí)倒立擺的擺桿穩(wěn)定控制問(wèn)題進(jìn)行研究，通過(guò)對(duì)二級(jí)倒立擺建立數(shù)學(xué)模型后，借助MATLAB 平臺(tái)加入LQR 控制器進(jìn)行仿真，通過(guò)固高環(huán)形二級(jí)倒立擺實(shí)時(shí)控制臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，分析LQR 控制器應(yīng)用于環(huán)形二級(jí)倒立擺的控制效果。

2 系統(tǒng)建模

針對(duì)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有倒立擺試驗(yàn)系統(tǒng)，抓住建模主要影響因素，在假設(shè)的情況下，把環(huán)形二級(jí)倒立擺簡(jiǎn)化成由一個(gè)水平桿、兩個(gè)豎直方向的擺桿以及連接各獨(dú)立部件的兩個(gè)質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)。不同于以往二級(jí)擺簡(jiǎn)化建模，此處考慮到編碼器及連接質(zhì)量塊的重心問(wèn)題，使所建模型更貼近實(shí)物，其對(duì)應(yīng)各具體參數(shù)如表1。

將實(shí)驗(yàn)室具體的倒立擺實(shí)物進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析，對(duì)其系統(tǒng)建立圖1 的所示的簡(jiǎn)化建模分析圖，以便對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行模型的搭建。

圖1 環(huán)形二級(jí)倒立擺建模分析圖

表1 數(shù)學(xué)建模物理參數(shù)

此處通過(guò)常用的拉格朗日方程對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的搭建分析。在此研究對(duì)象中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：

2.1 研究對(duì)象系統(tǒng)動(dòng)能

在環(huán)形二級(jí)擺系統(tǒng)當(dāng)中，系統(tǒng)動(dòng)能主要涉及五部分：水平及豎直方向上的連桿（共3 個(gè)桿件）、用于測(cè)量豎直中間桿角度的編碼器及用于測(cè)量上擺桿角度的編碼器2 這五個(gè)部分的能量，其計(jì)算公式如下：

2.2 研究對(duì)象系統(tǒng)勢(shì)能

計(jì)算中選擇水平桿中心所在面為研究系統(tǒng)參照的基準(zhǔn)勢(shì)能面，那么系統(tǒng)的總勢(shì)能主要有：編碼器1、豎直中間桿、編碼器2及豎直上擺桿這四部分的能量，表達(dá)式如下：

則系統(tǒng)總勢(shì)能：

2.3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)拉格朗日方程有：

3 控制器設(shè)計(jì)

本文選取LQR 進(jìn)行二級(jí)擺的控制仿真實(shí)驗(yàn)。LQR 算法是現(xiàn)代控制理論里一種最優(yōu)調(diào)節(jié)控制器，其發(fā)展較早現(xiàn)在也較為成熟。LQR 控制通過(guò)一個(gè)線性控制算法，表達(dá)如下：

圖2 MATLAB 中仿真曲線圖

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)論

從圖3 實(shí)驗(yàn)曲線可以看到，控制剛啟動(dòng)時(shí)外在初始條件對(duì)桿件角度影響較大，但不影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看到中間桿和上擺桿都在2s 內(nèi)穩(wěn)定于平衡位置附近，整體與仿真結(jié)果一致。從仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了LQR 控制算法可以較好地用于環(huán)形二級(jí)倒立擺的控制。

圖3 二級(jí)擺LQR 實(shí)驗(yàn)結(jié)果