楊雷恒，李繼廣，楊璐，岳源

(1.西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通用航空學(xué)院， 西安 710089)

(2.西安航空學(xué)院 通用航空工程技術(shù)中心， 西安 710077)

(3.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院 航空工程學(xué)院， 廣漢 618307)

0 引 言

飛翼無人機(jī)由于具有良好的隱身性能、較大的升阻比等優(yōu)點(diǎn)受到了各國(guó)的普遍重視，得到了較快的發(fā)展。雖然飛翼布局的優(yōu)勢(shì)突出，但其特殊的構(gòu)型也為控制律設(shè)計(jì)帶來了一系列的困難：

(1) 垂尾的缺失使得航向穩(wěn)定性弱，且存在更大的耦合和非線性特性[1-2]；

(2) 控制效率低下使得機(jī)動(dòng)飛行時(shí)非線性、遲滯效應(yīng)、不確定擾動(dòng)等的影響更加突出[3-4]；

(3) 機(jī)動(dòng)飛行的飛行狀態(tài)快速改變使得經(jīng)典控制理論所要求的平衡點(diǎn)并不存在，這也使得經(jīng)典控制方法失去了理論基礎(chǔ)[5-6]。

針對(duì)飛翼無人機(jī)機(jī)動(dòng)飛行面臨的實(shí)際問題，各國(guó)研究者提出了不同的解決方法。L.Sonneveldt等[6]、S.Sieberling等[7]、W.MacKunis等[8]從不同的理論角度出發(fā)研究了無人機(jī)的非線性控制問題。這些研究結(jié)果對(duì)解決飛翼無人機(jī)機(jī)動(dòng)飛行控制律設(shè)計(jì)是有利的，但是這些方法也存在著設(shè)計(jì)過程復(fù)雜、對(duì)系統(tǒng)模型精確高度依賴、魯棒性無法保證等缺點(diǎn)。為了解決系統(tǒng)魯棒性能設(shè)計(jì)問題，E.N.Johnson等[9]、Xu Bin等[10]做了專門的研究設(shè)計(jì)，并在X-35和F-18的模型機(jī)上進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。這些方法雖然提高了系統(tǒng)的魯棒性，但是設(shè)計(jì)過程要求系統(tǒng)不確定性是有界且已知的。

目前，已經(jīng)發(fā)展了很多非線性控制律設(shè)計(jì)方法。在眾多非線性控制方法中，反步(Backstepping)控制方法因其具有處理非線性系統(tǒng)控制的能力，在飛翼無人機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)上表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)并得到了廣泛的重視。然而，傳統(tǒng)Backstepping方法同樣具有魯棒性弱、設(shè)計(jì)過程復(fù)雜等不足。為了提高系統(tǒng)的魯棒性，研究者提出了改進(jìn)方法[11-12]。但是，這些方法在提高系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)，也帶來了奇異值計(jì)算、保守性等問題。

本文針對(duì)奇異值計(jì)算、保守性問題，提出一種改進(jìn)的Backstepping方法，運(yùn)用該方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并對(duì)控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)建模

被控飛翼無人機(jī)示意圖如圖1所示，可以看出：該無人機(jī)是典型的飛翼布局，控制舵面主要包括升降副翼，兩邊舵面聯(lián)動(dòng)相當(dāng)于升降舵，兩邊舵面差動(dòng)相當(dāng)于副翼；同時(shí)，該無人機(jī)具有阻力式方向舵。

圖1 無人機(jī)示意圖

為了表述方便，將無人機(jī)的姿態(tài)方程表述為如下形式：

(1)

式中：ω=[p,q,r]T；MA為無人機(jī)運(yùn)動(dòng)與空氣的相互作用而產(chǎn)生的氣動(dòng)力矩；MT為發(fā)動(dòng)機(jī)矢量噴口偏轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的矢量力矩；I和S(ω)分別為慣性矩陣和ω的反對(duì)稱矩陣。

發(fā)動(dòng)機(jī)的矢量力矩，一般用發(fā)動(dòng)機(jī)的油門開度δth、發(fā)動(dòng)機(jī)噴口矢量角縱向偏轉(zhuǎn)角度δp和橫向偏轉(zhuǎn)角度δy進(jìn)行調(diào)節(jié)。當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力作用點(diǎn)到質(zhì)心沿機(jī)體軸的距離為xT,推力大小表示為飛行狀態(tài)和油門開度的狀態(tài)函數(shù)T(x,δth)時(shí)，則發(fā)動(dòng)機(jī)的矢量力矩為

(2)

無人機(jī)的姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式(1)所確定的飛翼無人機(jī)姿態(tài)方程和由式(3)確定的內(nèi)環(huán)補(bǔ)償控制律所組成的系統(tǒng)，可以表示成如下仿射非線性模型的形式：

(4)

(5)

式中：x1=[φθψ]；x2=[pqr]。

式(4)～式(5)的具體表達(dá)形式參見參考文獻(xiàn)[2-3]。

為保證控制器的魯棒性，將模型表示為包含有不確定性的攝動(dòng)模型：

f1(x1)=f10(x1)+Δf1(x1)

(6)

b1(x1,x2)=b10(x1,x2)+Δb1(x1,x2)

(7)

b2=b20+Δb2

(8)

f2(x1,x2)=f20(x1,x2)+Δf2(x1,x2)

(9)

式中：f10(x1)、b10(x1,x2)、f20(x1,x2)、b20為系統(tǒng)的標(biāo)稱參數(shù)，其余為系統(tǒng)的不確定項(xiàng)。

2 魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 姿態(tài)角控制器設(shè)計(jì)

魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)的目的是在各種不確定性有界擾動(dòng)的情況下，使得飛翼無人機(jī)系統(tǒng)的飛行狀態(tài)收斂到任一指定無窮小的鄰域內(nèi)。令系統(tǒng)的誤差量z1,z2∈R3為

(10)

式中：x1d,x2d為期望的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡。

由式(4)～式(5)可得誤差狀態(tài)的動(dòng)態(tài)方程為

(11)

(12)

對(duì)于式(7)所確定的系統(tǒng)，其攝動(dòng)模型可以表示為

Δb1(x1,x2)x2

(13)

令： Δ1=Δf1(x1)+Δb1(x1,x2)x2,

則：

(14)

式中：Δ1是系統(tǒng)的不確定項(xiàng)，即需要引入不確定函數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償?shù)母鞣N不確定因素。

就實(shí)際系統(tǒng)而言，其不確定性是有界的，則存在一未知的正實(shí)數(shù)ρ1使得下式成立：

‖Δ1‖≤ρ1δ1(x1,x2)

(15)

式中：δ1(x1,x2)為已知的非負(fù)光滑函數(shù)。

將x2作為式(12)系統(tǒng)的虛擬控制量，則存在一個(gè)理想的虛擬控制量：

(16)

選取虛擬控制量為

(17)

式中：η1為需要設(shè)計(jì)的魯棒函數(shù)系數(shù)，其作用是抵消各種不確定性因素Δ1的影響。

(18)

對(duì)式(18)求導(dǎo)可得：

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13],選擇自適應(yīng)調(diào)解律：

(20)

魯棒函數(shù)系數(shù)η1和函數(shù)l1為

(21)

式中：ε1>0是需要的設(shè)計(jì)參數(shù)。

因?yàn)椋?/p>

所以：

(22)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.2 角速率控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

由文獻(xiàn)[12,13]可知，飛翼無人機(jī)姿態(tài)角控制器存在一個(gè)理想的控制輸入：

(23)

使得式(24)成立。

(24)

式中：k2,k為要設(shè)計(jì)的大于零的參數(shù)。

(25)

對(duì)于研究對(duì)象來說，存在一個(gè)未知的正實(shí)數(shù)ρ2，使得:

‖Δ2‖≤ρ2δ2(x1,x2)

(26)

式中：δ2(x1,x2)為已知的非負(fù)光滑函數(shù)。

選取控制量：

(27)

式中：η2為期望提高系統(tǒng)魯棒性而引入的魯棒控制函數(shù)。

將式(27)帶入式(24)可得：

b2(η2-Δ2)

(28)

選取Lyapunov函數(shù)：

(29)

對(duì)式(29)求導(dǎo)可得：

(30)

選擇魯棒函數(shù)和自適應(yīng)調(diào)解律為

(31)

式中：

因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

通過以上證明過程，有以下定理。

定理：對(duì)于由式(4)和式(5)所確定的系統(tǒng)，采用式(16)和式(27)所確定的虛擬控制量和控制量、以及自適應(yīng)參數(shù)調(diào)解律，則系統(tǒng)的跟蹤誤差z1、z2參數(shù)估計(jì)誤差有界，且以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)原點(diǎn)的一個(gè)鄰域：

(32)

從以上定理可知，對(duì)于由式(4)和式(5)所確定的系統(tǒng)，通過調(diào)節(jié)k1、k2、σ1、σ2、r1、r2的值可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的收斂速度和收斂域。

3 仿真驗(yàn)證

表1 偏移幅度表

為了更好地對(duì)比說明，本文采用動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)方法和傳統(tǒng)Backstepping方法進(jìn)行仿真對(duì)比。其中，文獻(xiàn)[7]提出的增量動(dòng)態(tài)逆魯棒設(shè)計(jì)方法(簡(jiǎn)稱方法1)和文獻(xiàn)[11]提出的一種滑模控制技術(shù)和Backstepping控制技術(shù)結(jié)合的無人機(jī)魯棒非線性控制器(簡(jiǎn)稱方法2)作為本文仿真的對(duì)照組。

滾轉(zhuǎn)角通道響應(yīng)如圖2所示，曲線誤差如圖3所示，可以看出：三種方法具有不同程度的超調(diào)和穩(wěn)態(tài)誤差，但本文方法超調(diào)量更小，且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。但是，在方波信號(hào)的下降段，本文方法出現(xiàn)比較大的尖峰誤差。

圖2 滾轉(zhuǎn)角通道方波響應(yīng)

圖3 滾轉(zhuǎn)角通道方波響應(yīng)誤差

迎角通道正弦響應(yīng)如圖4所示，可以看出：本文提出方法具有更小的跟蹤誤差，而對(duì)照組方法具有相似的控制效果。

圖4 迎角通道正弦響應(yīng)

綜上所述，本文方法在方波響應(yīng)上升段和下降段的響應(yīng)速度不如方法1和方法2，這也是圖3中出現(xiàn)較大尖峰誤差的原因。綜合來看，本文所提出的設(shè)計(jì)方法具有較大的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出的改進(jìn)Backstepping方法突破了現(xiàn)有非線性魯棒設(shè)計(jì)方法對(duì)系統(tǒng)不確定性范數(shù)上界已知要求的限制，并充分利用系統(tǒng)已知的信息提高系統(tǒng)的性能。

(2) 該方法解決了魯棒自適應(yīng)函數(shù)設(shè)計(jì)過程中的奇異值計(jì)算問題和系統(tǒng)的保守性問題，具有較強(qiáng)的魯棒性，和現(xiàn)有的方法相比具有一定的優(yōu)勢(shì)。