朱燕鋒，宋怡楠

(杭州市蕭山區(qū)萬向小學，浙江杭州，311215)

游戲除了娛樂還有什么功能？人在玩游戲時會沉浸其中，反復(fù)嘗試著各種失敗與成功，經(jīng)歷富有探索性的愉快過程。在數(shù)學游戲過程中，兒童可以更深刻地理解數(shù)學的內(nèi)涵，感悟數(shù)學的思想方法，在獲得靈活性、嚴謹性、發(fā)散性思維的過程中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學游戲化學習就是把游戲思維和數(shù)學學習結(jié)合起來，在學中玩、玩中學，讓游戲?qū)儆趦和?，讓?shù)學幫助兒童成長。

進行數(shù)學游戲化學習的關(guān)鍵在于根據(jù)內(nèi)容設(shè)計合適的數(shù)學游戲，從教學內(nèi)容中提取可以發(fā)展的數(shù)學素養(yǎng)，從而在內(nèi)容、目標與游戲之間建立聯(lián)系。筆者在教學“點與數(shù)”時，為了讓學生理解二進制與十進制的位值原理，選取棋子與方格作為游戲道具，制訂了一定的規(guī)則，讓學生在游戲體驗中經(jīng)歷二進制建模的過程，在愉快的氛圍中掌握一定的數(shù)學思想方法，鍛煉思維的靈活性。

一、在觀察發(fā)現(xiàn)中尋找數(shù)學模型

數(shù)學游戲根據(jù)教學內(nèi)容的不同大致可以分成五種類型：熟悉操練型、觀察發(fā)現(xiàn)型、策略感悟型、經(jīng)驗積累型、智能發(fā)展型。觀察發(fā)現(xiàn)型的數(shù)學游戲指向數(shù)學規(guī)律的探究和發(fā)現(xiàn)，通過游戲感悟數(shù)學現(xiàn)象蘊含的數(shù)學原理。在“點與數(shù)”的教學中，筆者首先以棋子移動為點，不同方格為值，利用游戲讓學生通過觀察、比較、分析、推理的方式尋找長方形方格中點與數(shù)之間的規(guī)律，建構(gòu)模型，并嘗試運用模型去表示任意自然數(shù)。

(一)讀圖觀察，尋找擺數(shù)規(guī)則

觀察是學生學習的起點，簡單的方格擺數(shù)游戲吸引了學生的注意力，給學生提供了學習數(shù)學的問題情境，讓學生的眼、耳、口、手等多種感官系統(tǒng)參與其中，在讀圖觀察中經(jīng)歷規(guī)則解讀和規(guī)律探究的過程。

1.激趣導(dǎo)入，揭示課題

教師直奔主題，揭示課題“點和數(shù)”游戲，明確游戲規(guī)則：第一，每個方格里只放一顆棋子；第二，不同位置的棋子表示不同的數(shù)。教師在學生讀懂游戲規(guī)則后，明確指出游戲玩法就是用棋子在方格圖上擺出不同的數(shù)。

2.讀圖觀察，探討規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出：“要培養(yǎng)學生直接從圖中搜集、分析和處理信息的能力?！币虼?，教師在教學中要培養(yǎng)學生學會從數(shù)學的角度觀察畫面，從中選擇有用的數(shù)學信息，找出規(guī)律，解決問題。

圖1 擺數(shù)圖

教師出示擺數(shù)圖(圖1)，提問：“會玩這個游戲嗎？我們一起來看看游戲擺數(shù)規(guī)律，你看懂了嗎？”根據(jù)學生的回答，教師明確：把右邊的數(shù)叫作前，左邊的數(shù)叫作后，后一格的數(shù)=前一格的數(shù)×2。

師：能用算式表示上面的數(shù)嗎？

生：1，1×2，2×2，4×2。

師：還能用其他方式表示這些數(shù)嗎？

生：20，21，22，23。

師：用次方表示的，真厲害！如果把這個棋子放到第五格，表示幾？你會怎么表示？

生：2×2×2×2。

師：我們還可以寫成“24”，讀作2的4次方。

數(shù)學模型是對實際問題的一種數(shù)學表述，讀圖之后對點的擺數(shù)規(guī)律的描述，開啟了數(shù)學模型的探究。這時教師就要把這顆棋子放到第七格，引導(dǎo)學生觀察它表示幾，能否用算式表示。有部分學生說是32，因為第七格表示5個2相乘。教師依次數(shù)出第七格的位置，追問：“第七格到底是幾個2相乘？”學生恍然大悟，第七個格子的點表示64，因為是6個2相乘。

(二)深究規(guī)律，初見模型

模型建立始于規(guī)律的探究過程，是在尋找更多規(guī)律中發(fā)現(xiàn)問題、尋找策略、形成解釋、獲得結(jié)論，親歷模型的形成過程。

1.再探規(guī)律，明晰方格數(shù)值

教師繼續(xù)引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律并適時形成結(jié)構(gòu)模型。學生在進一步探究中就會發(fā)現(xiàn)方格上的數(shù)等于2的格數(shù)減一次方。

師：99格上的數(shù)算式如何列？

生：98個2相乘。

師：200格上的數(shù)算式如何列？

生：199個2相乘。

師：第n格呢？

生：2n-1。

在教學中，教師不是盲目地帶領(lǐng)學生去學習二進制，而是著重用位值的思想去玩這個游戲。對于能用這樣簡潔的方式表達這條規(guī)律、形成格子的數(shù)值理解的學生，教師要加以表揚。

2.對比發(fā)現(xiàn)，解讀數(shù)值表示

學生讀圖觀察，一個點的大小已經(jīng)和對應(yīng)方格上的數(shù)值建立聯(lián)系，那么如何用更多的點來表示更多的數(shù)呢？這就需要學生進一步探尋、解讀數(shù)值的含義。

教師出示圖2并問學生又發(fā)現(xiàn)了什么。

圖2 更多不同的數(shù)的擺數(shù)圖

生：都是加起來的(多個點表示的數(shù)是所在點位置數(shù)的和)。

師：你能用算式來表示嗎？

生：1+2=3，1+2+4=7。

教師明確可以組合不同位置的棋子表示更多不同的數(shù)，并進一步讓學生辨析剛才用一顆棋子表示了8，那么8可不可以用多顆棋子表示？

生：8只有這一種擺法，因為右邊三個格子最大只有7。

從一點到多點，利用點子與格子的位置關(guān)系建立大小關(guān)系，引導(dǎo)學生體驗和感悟數(shù)學規(guī)律和思想。教師在教學中要著重引導(dǎo)學生理解位值的思想，讓學生在對比中明白不同位置的方格代表不同的數(shù)，同一位置的方格代表相同的數(shù)，尤其是在出現(xiàn)進位時，如何順利找到進位后的數(shù)所在的格。

二、在經(jīng)驗積累中分析數(shù)學模型

活動經(jīng)驗的積累對于分析數(shù)學現(xiàn)象、揭示數(shù)學本質(zhì)尤為重要。學生在游戲活動過程中所獲得的直接或間接的體驗，是要靠學生經(jīng)過反復(fù)實踐、 獨立思考、同伴互助、合作交流感悟出來的。學生在積極參與各種活動的過程中，完成了知識的學習和構(gòu)建，真正地了解了獲取知識的價值和意義。在教學中，筆者讓學生在方格上用棋子擺各種數(shù)，找出方格背后二進制數(shù)的數(shù)值規(guī)律，如圖3。

圖3 “點和數(shù)”游戲現(xiàn)象和本質(zhì)

(一)操作體驗，交流策略

教師向?qū)W生講明操作要求后，學生拿出信封中的棋子，在操作單上擺出自己喜歡的數(shù)。學生在操作體驗后介紹自己的擺數(shù)方法。

教師投屏展示學生擺的數(shù)，與學生一起交流、分享，在擺數(shù)的時候標出每一格，幫助學生快速找到棋子表示的數(shù)。同時，教師還要求學生利用算式表示自己擺數(shù)的想法。

(二)分享經(jīng)驗，揭示本質(zhì)

把數(shù)和形結(jié)合起來，就能夠建立抽象的數(shù)學概念與形象的圖形之間的聯(lián)系。教師心中想一個數(shù)，如25，問學生會怎么擺，擺在哪里，用到幾顆棋子。

生：因為25是奇數(shù)，所以要選1。

師：通過分析奇偶性你找到了1，16和8你是怎么找到的？

生：16+8=24。

師：哦，找到了這兩個格子。那你們想16這個格子為什么要用到？說說你的理由。

生：16前面的格子全部加起來最大只有15，比16小1。16+8+1=25。

師：25太簡單了哦，來個難的，252，想一想會在哪幾格？會用到哪幾顆棋子？

師：我發(fā)現(xiàn)了一個小細節(jié)，你們都沒有看到呀！

生：我多畫了一個格子。

數(shù)學教育家波利亞說：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)的?！痹跀[數(shù)活動中，學生發(fā)現(xiàn)7格不夠?！安粔蚴鞘裁匆馑肌钡姆治鍪菍W生對不同格子表示不同的位值的模型理解。在模型構(gòu)建中，教師引導(dǎo)學生用不同的方法和角度來思考和解決問題。一開始，學生在格子上從右往左依次擺數(shù)，得出1+2+4+8+16+32+64+…，利用不斷逼近的方法排除4來尋找252。也有學生用到十進制數(shù)中的湊整方法，先找到與252最接近的位值是256，右邊7個格子的點數(shù)之和就是256-1=255，利用255-2-1=252。當然，也有學生先找128，再利用倒著算的方法得出128+64+32+…，從而不斷尋找接近目標數(shù)的格子。教師在這個過程中，應(yīng)引導(dǎo)學生觀察、思考，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，把握數(shù)學本質(zhì)，有效構(gòu)建二進制位值的數(shù)學模型。

(三)再次活動，應(yīng)用模型

擺數(shù)活動一：對于252想到了這么多方法，那么155你能不能想到好方法？比一比誰快。

方法交流：因為155-128=27，27-16=11，11-8=3，3-2=1，1-1=0，所以155=128+16+8+2+1。

擺數(shù)活動二：現(xiàn)在不比方法，比速度，比誰用最快的速度擺出125。

方法交流：因為128-1=127，127-2=125，125可以表示擺滿右邊6格減去第2格即可。

數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展是一個應(yīng)用的過程。模型思想注重數(shù)學的應(yīng)用，即通過數(shù)學結(jié)構(gòu)化解決問題。學生在數(shù)形結(jié)合中感悟數(shù)的大小關(guān)系，在靈活適切的教學活動中提升思維能力。學生在擺數(shù)中邊擺邊說自己的想法，在數(shù)的組成中通過有序思考，對二進制數(shù)位值的表示能力有了更大的提升，策略意識也逐步顯現(xiàn)。

三、在智能發(fā)展中實現(xiàn)模型遷移

數(shù)學的本質(zhì)是思維。學生在游戲的過程中因思維的發(fā)展而獲得智能的進階，可以說是數(shù)學游戲教學的目標與追求。在學生對游戲中的規(guī)律和位值有了初步理解，并建構(gòu)了模型之后，教師有必要進一步深化教學方式，使學生在學習中學會靈活運用，舉一反三，實現(xiàn)模型遷移。

如圖4，教師出示另一種擺數(shù)圖，引導(dǎo)學生仔細觀察，四人小組在合作討論擺數(shù)規(guī)律的基礎(chǔ)上，再在操作紙上擺出自己心中的數(shù)，并進行交流。

圖4 另一種擺數(shù)圖

師：誰能上來擺一擺？猜一猜你擺的數(shù)表示幾。(一學生上臺，在最左邊擺滿4個棋子)

生：他擺的數(shù)是96。因為從右往左第一列每格表示1，第2列每格表示2，第三列每格表示6，第四列每格表示24，4格就是96。

師：這個擺數(shù)圖和剛才的擺數(shù)規(guī)律不同，兩者又有什么相同的地方？

生：從這兩種擺數(shù)圖中我們都可以表示出自己想要的數(shù)，而且每個數(shù)的表示方法只有一種，不會重復(fù)。

數(shù)學模型的解釋和應(yīng)用，不是將模型看作確定的算法或思維程序進行機械的記憶、復(fù)述與應(yīng)用，而是將數(shù)學模型作為學生向更高層次跳躍的平臺，為發(fā)展學生數(shù)學思維提供了更大的可能。在幾顆棋子、幾行格子變化的擺數(shù)挑戰(zhàn)中，學生的觀察能力、遷移能力、邏輯思維能力等空間智能都得到了充分的提升?？此坪唵蔚挠螒虿僮?，卻蘊含豐富的數(shù)學思考，最重要的是能讓學生通過數(shù)學游戲充分體驗學習與生活。這不僅可以提高學生學習數(shù)學的興趣，而且有助于學生對進制的理解，使學生在內(nèi)心建立認知模型并發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

學生認識事物要經(jīng)歷由易到難、由直觀到抽象、由感性認識上升到理性認識的過程。數(shù)學游戲課就是引導(dǎo)學生從易到難、由淺入深的切入口，必須有趣、鮮活?；诤诵乃仞B(yǎng)培養(yǎng)的“點與數(shù)”教學，讓學生在操作體驗中經(jīng)歷數(shù)學模型建構(gòu)，把握數(shù)學所學知識的過程。我們期待學生用眼睛觀察、用耳朵聆聽、動手操作、動腦筋思考，多感官協(xié)調(diào)學習，在數(shù)學游戲中了解數(shù)學的本質(zhì)，愛上數(shù)學。