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        主理想環(huán)上矩陣方程AX=B的對稱解

        2020-10-29 08:42:28張四保
        科學技術與工程 2020年25期
        關鍵詞:標準

        張四保, 鄧 勇

        (喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 喀什 844008)

        矩陣方程:

        AX=B

        (1)

        文獻[10-12]指出,當且僅當式(1)有解且ABT=BAT時,式(1)在實數(shù)域與復數(shù)域上有對稱解?,F(xiàn)討論式(1)在主理想環(huán)R上有對稱解的可解性問題,給出其有對稱解的充分必要條件,并得到文獻[13]中的定理1是本文結論的一個推論。

        為方便,Rm×n表示R上所有m×n矩陣的集合,0m,k表示m×k零矩陣,AT表示矩陣A的轉置矩陣,GL(m,R)表示R上的m×m矩陣組成的一般線性群,Ir表示R上r階單位矩陣。

        1 預備知識

        矩陣A∈Rm×n稱為可對角化,如果存在矩陣U∈GL(m,R)和V∈GL(n,R),使得

        UAV=diag(a1,a2,…,ar,0,0,…,0)=SA

        (2)

        為對角矩陣,其中ai≠0(i=1,2,…,r)且aj-1|aj(j=2,3,…,r),元素a1,a2,…,ar稱為A的不變因子,對角矩陣SA稱為矩陣A的史密斯標準形式。若用分塊矩陣表示,則SA可表為

        (3)

        式(3)中:S(A)=diag(a1,a2,…,ar)∈Rr×r。

        證明(?)設X0∈Rn×k是式(1)的一個解,并且A的史密斯標準形為式(3)。由等式AX0=B,可得:

        UAVV-1X0=UB

        (4)

        (5)

        的形式。因此,可得B1=S(A)Y1,B2=0m-r,k。必要性證畢。

        (6)

        顯然成立。因此,有

        (7)

        如果R=F是一個數(shù)域,那么由引理1可得以下推論。

        引理2設A∈Rm×n,若rank(A)=r

        2 主要結論

        定理1矩陣方程式(1)在主理想環(huán)R上有對稱解當且僅當矩陣方程式(1)在R上可解且ABT=BAT。

        證明不失一般性,設A,B∈Rm×n。

        (8)

        (9)

        設G和B1的分塊形式分別為

        (10)

        式(10)中:G11∈Rr×r,G12∈Rr×(n-r),G21∈R(n-r)×r,B11∈Rr×r,B12∈Rr×(m-r),B21∈R(m-r)×r。由式(9)可得:

        (11)

        (12)

        利用引理1,由式(11)得B21=0m-r,r,B22=0m-r,n-r;由式(12)得BT21=0r,m-r,BT22=0n-r,m-r。于是,有

        (13)

        由ABT=BAT,可得UABTUT=UBATUT。于是,又有

        (14)

        AXp=A(X0+Xs)=AX0+AXs=B

        (15)

        3 通解表示

        先給出矩陣方程[式(1)]存在對稱解的另一個充要條件,然后再推導其通解的構造方法。

        定理2設A,B∈Rm×n,rank(A)=r,A的史密斯標準形如式(3)所示。于是,式(1)在R上有對稱解當且僅當

        (16)

        式(16)中:D11∈Rr×r是對稱矩陣,D12∈Rr×(n-r)。

        證明(?)設X0∈Rn×n是式(1)的一個對稱解。由引理1和AX0=B,可得:

        (17)

        式(17)中:B1∈Rr×n。用V-T右乘式(17)兩邊,有

        (18)

        (19)

        (20)

        (21)

        均成立。必要性得證。

        (?)設矩陣A的史密斯標準形為式(3)。令

        (22)

        (23)

        (24)

        由式(23)可得:

        (25)

        因Y0對稱,故X0=VY0VT也對稱。同理,由式(24)可得X0AT=BT。因此,矩陣方程AX=B和XA=B在R上有公共的對稱解X0。

        特別地,當R=F是一個數(shù)域時,由定理2可得如下推論。

        4 應用舉例

        例1設

        求AX=B在整數(shù)環(huán)上的對稱解。

        解取可逆矩陣:

        于是有

        因此,AX=B可解。此外,

        例2設

        求AX=B在有理數(shù)域上的對稱解。

        解取可逆矩陣:

        于是,有

        因此,AX=B可解。容易驗證:

        P是有理數(shù)域上的任意對稱矩陣。

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