馬 杭 馬永其 丁偉東 丁 超(上海大學力學與工程科學學院，上海200444)

?(上海樟祥電器成套有限公司，上海201400)

通常強度是指物體承受載荷而不破壞的能力，剛度是指物體抵抗變形的能力。材料力學以桿、柱、軸、梁等簡單構(gòu)件為研究對象，其幾何特征是一個方向的尺度遠大于另外兩個方向的尺度[1-2]。學生通過桿柱的拉壓、圓軸的扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲的學習，逐步建立起強度和剛度的概念。在學生時代曾經(jīng)問過老師這樣的問題：“滿足了剛度指標的構(gòu)件，其強度指標一定能夠滿足嗎？”作為教師，有時候也會被學生問到類似的強度與剛度關系的問題。事實上，剛度指標是針對構(gòu)件使用性能的需要而提出的對變形的限制或變形能力的要求。顯而易見，對構(gòu)件剛度的要求具有多樣性。例如在生活中，秤桿不允許產(chǎn)生明顯的變形以保證其稱重的準確性，而扁擔則需要較大的彎曲變形能力才能在使用時省力。在工程上，對變形限制比較嚴格如有機床主軸等，其中有些變形限制隱含了對受力穩(wěn)定性的要求，特別是薄壁構(gòu)件，例如起重機的箱型主梁[3]等。而板簧以及其他各類彈簧則要求具有較大的變形能力來實現(xiàn)儲能或減振隔振的功能，盡管這些不同的物體變形的大小和形式多種多樣，但顯然都必須以滿足強度的要求作為前提。

另一方面，由于變形的測量比應力測量來的方便，在構(gòu)件生產(chǎn)制造中往往通過變形測量來檢驗構(gòu)件的合格性，或者通過變形測量來確定構(gòu)件的安全工作載荷，作為設計計算的依據(jù)或?qū)ζ浼右则炞C[4]。毫無疑問，從正常服役的要求來說，構(gòu)件的強度和剛度指標都必須同時得到滿足。然而，強度和剛度顯然是兩個完全不同的概念，不容混淆。強度和剛度之間是否存在普遍的確定的關系，以及二者通過怎樣的方式聯(lián)系起來，搞清楚這個問題，不僅有助于加深對基本概念的正確理解，提高教學水平和學生的學習興趣，也是工程實際中設計者和生產(chǎn)者所十分關心的重要問題，具有普遍的意義[3,5]。

材料力學是本科生接觸到的第一門變形體力學，其理論性和實踐性都很強[6]。教學的改革與創(chuàng)新，首先應當在教學內(nèi)容上下功夫[7]，其次要緊密結(jié)合工程實際，在理論教學中適當?shù)匾雽嵺`性問題[8]。由此出發(fā)，本著節(jié)材節(jié)能綠色制造的理念，本文通過彎曲梁的強度與剛度之比的定義，簡要地探討梁的靜載強度與剛度之間的關系，以期在確保安全的前提下達到優(yōu)化設計的效果，同時在教學上加深學生對基本概念的理解與掌握，提高學習積極性。

1 彎曲梁的強度與剛度之比

工程上彎曲梁在服役狀態(tài)下必須同時滿足強度和剛度的要求，梁的強度條件表達為[1-2]

式中，σmax和M分別為彎曲梁的危險截面上的最大應力和彎矩，Iz為梁的軸慣性矩，h0為梁橫截面的邊高，h為橫截面到中性軸的最大距離，如圖1 所示。通常h≥0.5h0(圖1(a))，僅當橫截面幾何關于中性軸對稱時h= 0.5h0(圖1(b))。[σ] 和σ0.2分別為材料的許用應力和條件屈服應力，ns為強度條件的安全系數(shù)。彎曲梁的剛度條件可寫為

式中，y0為無量綱撓度，定義為梁的最大撓度與跨距l(xiāng)的比值。在本文中，懸臂梁的無量綱撓度在梁的自由端處定義，簡支梁在跨距的中點處定義。梁的許用無量綱撓度[y]則是結(jié)合了服役的經(jīng)驗，綜合考慮了梁變形的限制以及防止失穩(wěn)的要求，并考慮了剛度條件的安全系數(shù)nr后所給出的控制參數(shù)。一般來說，強度條件與剛度條件的安全系數(shù)未必相等。顯然，滿足強度條件(1)和剛度條件(2)是在梁的設計過程中時刻要考慮的重要問題。

圖1 梁的橫截面與中性軸

處于彈性狀態(tài)的物體，其受力和變形存在確定的對應關系，材料服從虎克定律，由此可定義材料的許用應變[ε] 和條件屈服應變ε0.2，分別為

式中，E為材料的彈性模量。許用應變[ε] 與許用應力[σ]可以看作是考慮了安全系數(shù)后的材料參數(shù)，二者通過虎克定律相聯(lián)系。分別將梁的強度條件(1)和剛度條件(2) 改寫成無量綱的形式

不失一般性，假定彎曲梁的強度條件和剛度條件取相同的安全系數(shù)，即n=ns=nr。安全系數(shù)在本質(zhì)上反映了主觀與客觀之間的某種聯(lián)系，要考慮的因素很多，本文不作討論。利用材料力學[1-2]中梁的彎矩和撓度的表達式，將不等式(5)和不等式(6)的左邊相除，定義梁的強度與剛度比(簡稱強剛比) 為

式中，h/l為梁的高跨比，Cβ為梁的特性系數(shù)，其定義為

其中，ymax和y′′max分別為梁的撓度及其二階導數(shù)的最大值，注意梁的最大撓度和最大二階導數(shù)的位置不一定重合。式(7) 還可以寫成

事實上，式(9)與式(7)給出的強剛比定義是完全相同的，式(7) 適合于理論分析，而式(9) 便于在工程上利用數(shù)值計算或者試驗來得到梁的強剛比。需要指出的是，強剛比是利用強度條件和剛度條件來定義的，強剛比用無量綱的形式表達了梁的強度與剛度之間的定量關系，但與載荷的大小并無關系。在理想的工作狀態(tài)下，有β=1，梁的強度條件(1) 和剛度條件(2) 同時得到滿足。表1 列出了一部分梁的特性系數(shù)，并按其大小順序進行了排列。

表1 某些常見梁的特性系數(shù)Cβ 的數(shù)值

2 關于強剛比的討論

2.1 影響強剛比的因素

由式(7) 可知，梁的強剛比與材料的許用應變[ε]、梁的許用無量綱撓度[y]、高跨比h/l以及特性系數(shù)Cβ的數(shù)值大小等因素有關，其中[ε] 代表了材料的影響。當安全系數(shù)一定時，由式(3) 可知，許用應變[ε] 是允許的材料彈性應變最大值。高跨比h/l屬于幾何參數(shù)，是設計時能夠直接調(diào)節(jié)的參數(shù)之一。許用無量綱撓度[y] 的取值則與梁的用途的多樣性有關，從機床主軸[1]的10?4到箱型起重機梁[3]的10?3，從電纜橋架[4]的0.005 到板簧的0.1 左右。對于不同用途的梁，其許用撓度的取值顯然存在著數(shù)量級的差異。

關于梁的特性系數(shù)，由式(8) 的定義可知，Cβ由ymax和y′′max，即梁的撓度及其二階導數(shù)的最大值來決定。眾所周知，根據(jù)材料力學的梁理論[1-2]，y′′是曲率的近似值，對應于梁的局部變形。由于曲率與該處梁截面的彎矩相對應，而彎矩的分布規(guī)律取決于梁的加載方式和支撐形式。撓度y則是通過對y′′進行二次積分并結(jié)合邊界條件得到的，因此Cβ反映了梁的載荷與支撐的影響。從數(shù)學的角度來看，對y′′與y加以比較并考慮到二者之間的積分(或微分)關系，如果說y′′在一定程度上反映了梁的局部變形特性，y則更多地反映了梁的整體變形特性，在這個意義上，Cβ也是梁的局部變形與整體變形關系的某種反映。

由表1 可知，Cβ的數(shù)值變化范圍是相當大的。對于相同的支撐形式，集中載荷的Cβ數(shù)值大于均布載荷的，說明在集中載荷作用下，梁的局部變形的不均勻性相對較大，均布載荷的相對較?。粚τ诓煌闹涡问?，簡支梁的Cβ數(shù)值大于懸臂梁的，固支梁的Cβ數(shù)值又大于簡支梁的，反映了約束的強弱對梁的整體變形的影響。比較而言，懸臂梁的約束相對較弱，簡支梁居中，固支梁最強。可以說，Cβ數(shù)值變化的范圍反映了梁的結(jié)構(gòu)形式和加載方式的多樣性對強剛比的影響。

通過前面的討論，梁的強剛比受到材料性能、幾何特點、加載方式、支撐條件、許用撓度等多種因素的影響，因此從理論上看，強剛比的數(shù)值可以在很大的范圍內(nèi)變化。

2.2 關于強剛比的取值范圍

本文前面提出的問題，即“滿足了剛度指標的構(gòu)件，其強度指標一定能夠滿足嗎？”可通過對強剛比的分析來回答。根據(jù)強剛比的定義可知，強剛比等于梁的最大無量綱撓度達到許用撓度的時刻，梁的危險截面上最大應力與許用應力的比值。在理想的工作狀態(tài)下β=1，梁的強度條件和剛度條件能夠同時獲得滿足，材料的利用率最為合理。由于影響強剛比的因素較多，其數(shù)值變化的范圍很大，要求彎曲梁恰好工作在理想的狀態(tài)之下，在設計上未必容易實現(xiàn)。但另一方面，多種影響因素的存在也為設計者提供了便利，即通過參數(shù)的調(diào)整，使得彎曲梁工作在接近理想的狀態(tài)之下，即β值接近于1。如果梁的強剛比大于1，梁在剛度方面的安全性將高于強度方面的安全性。具體而言，當強度條件(5) 取等號時，剛好滿足了梁的強度條件，剛度條件(6) 的左邊必然小于1。這時，可將強度條件(5) 取等號時梁所承受的載荷作為許用載荷，即安全工作載荷。強剛比大于1的情況表明，只要滿足了梁的強度條件，梁的剛度條件總是能夠得到滿足的。

反之，如果梁的強剛比小于1，梁在強度方面的安全性將高于剛度方面的安全性，或者說強剛比小于1 是前述問題“滿足了剛度指標的構(gòu)件，其強度指標一定能夠滿足”的適用條件。事實上，無論從理論還是從實踐來說，人們對強度安全性的考慮總是優(yōu)先于剛度安全性的考慮的。由于梁的撓度測量簡便易行，工程上常常需要通過撓度試驗來獲取梁的安全工作載荷[4]，即許用載荷。當強剛比小于1 時，以許用撓度為臨界的控制參數(shù)，加載時通過實時的撓度測量值來控制加載的過程，即可獲得偏于安全的許用載荷。綜上所述，從充分發(fā)揮材料的強度潛力和撓度試驗的可行性兩方面考慮，在設計上使得強剛比在小于1 且接近1 的范圍內(nèi)取值更為合理，也有利于工程上順利地開展梁的撓度試驗。

2.3 強剛比的數(shù)值計算與實驗測定

隨著數(shù)值分析技術(shù)的發(fā)展和有限元軟件的普及，有限元計算已經(jīng)成為構(gòu)件設計與優(yōu)化的重要手段。對于復雜截面的梁結(jié)構(gòu)，簡單地采用梁理論進行構(gòu)件設計并不足以滿足實際的需要。利用式(9) 可以方便地從有限元計算的結(jié)果得到梁的強剛比。在式(9)中，[σ] 和[y] 為已知參數(shù)，y和σmax分別為計算得到的最大無量綱撓度和最大應力。這里需要注意的幾點是，第一，計算對象在整體上處于彈性階段；第二，σmax應當取自最大彎矩所在截面并位于距離中性軸為h的表面處，參見圖1，而不是取自構(gòu)件上的某個應力集中處；第三，σmax可以取作最大等效應力。

輔之以應力測試技術(shù)[9]，同樣可以利用載荷試驗的結(jié)果得到梁的強剛比，這時y和σmax應分別為試驗得到的最大無量綱撓度和最大應力。一旦獲得了梁的強剛比，無論來自計算還是試驗，都可以用作構(gòu)件優(yōu)化設計的參考，以期最大限度地發(fā)揮材料的潛力。

需要指出的是，強度和剛度這些基本概念最初是通過材料力學的學習而建立起來的，理論上的分析與思考正是通過基本概念進行的。無論計算軟件發(fā)展的多么強大，數(shù)值計算并不能代替理論上的分析與思考。而理論指導下的實驗是對理論分析與計算結(jié)果的最終檢驗，理論、計算與實驗三者相輔相成。

3 結(jié)束語

本文提出了梁的強剛比的定義，用無量綱的形式定量地表達了梁的強度與剛度之間的關系，強剛比與載荷大小無關。加載方式、支撐條件、幾何特點、許用撓度以及材料性能等多種因素都會影響梁的強剛比，其數(shù)值可以在很大的范圍內(nèi)變化。合理的強剛比有利于充分發(fā)揮材料的潛力，強剛比的數(shù)值可以通過有限元方法或者通過梁的載荷試驗來獲得。

在教學上，當學生建立起強度與剛度的基本概念并學習了梁的變形之后，適時地把強剛比的概念引入材料力學的教學過程，或開展相關的課外專題活動，將有助于加深學生對基本概念的理解與掌握，促進節(jié)材節(jié)能綠色制造理念的形成，提高學習材料力學課程的興趣。