楊秋偉 張金鑫 李翠紅

?(紹興文理學(xué)院土木工程系，浙江紹興312000)

?(寧波工程學(xué)院建筑與交通工程學(xué)院，浙江寧波315211)

??(寧波工程學(xué)院浙江省土木工程工業(yè)化建造工程技術(shù)研究中心，浙江寧波315211)

有限單元法是進(jìn)行大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析的有效手段[1-2]。然而，隨著有限元模型自由度數(shù)目的增大，對(duì)其進(jìn)行靜力或動(dòng)力特性計(jì)算所需要的計(jì)算成本也呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，對(duì)于規(guī)模巨大的結(jié)構(gòu)，采用常規(guī)的電腦設(shè)備甚至完全無(wú)法進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。因此，對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行縮聚，以降低計(jì)算規(guī)模，并獲得和原始模型盡量接近的計(jì)算結(jié)果，是工程中的必然要求。另一方面，工程實(shí)踐中對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力或動(dòng)力數(shù)據(jù)采集時(shí)，往往也只能獲得部分自由度處的數(shù)據(jù)，因此，對(duì)結(jié)構(gòu)的原始有限元模型進(jìn)行縮聚，只保留和那些測(cè)試自由度相匹配的模型規(guī)模，這也是建立實(shí)驗(yàn)分析和理論分析的中間環(huán)節(jié)。因此，模型縮聚法在結(jié)構(gòu)的靜力和動(dòng)力特性分析中有著廣泛的應(yīng)用。

Guyan[3]和Irons[4]最早研究了結(jié)構(gòu)模型縮聚方法，并將其用于結(jié)構(gòu)靜力和動(dòng)力計(jì)算中。他們的方法忽略了所有的慣性量，因此只能獲得靜力問(wèn)題的準(zhǔn)確解，對(duì)于動(dòng)力問(wèn)題則誤差很大。O’Callahan[5]在Guyan 方法的基礎(chǔ)上，在縮聚模型中增加了一階慣性量，提出了改進(jìn)的縮聚方法(improved reduced system，IRS)，有效提高了結(jié)構(gòu)振動(dòng)低價(jià)特征對(duì)的計(jì)算精度。Friswell 等[6-7]進(jìn)一步改進(jìn)了IRS 方法，通過(guò)迭代運(yùn)算來(lái)逐步提高縮聚模型的精度，提出了迭代的模型縮聚法(iterated IRS，IIRS)。Qu 等[8-9]提出了逆迭代動(dòng)力縮聚法，比IIRS 方法顯著提高了計(jì)算效率。Kim 等[10]研究了評(píng)估Guyan 方法計(jì)算誤差的估算方法。近年來(lái)，學(xué)者們將模型縮聚方法應(yīng)用于解決結(jié)構(gòu)非線性特征分析問(wèn)題[11-14]。本文在IRS方法的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮二階慣性量的改進(jìn)IRS 方法，進(jìn)一步改善了IRS 方法的計(jì)算精度。所提方法和迭代的模型縮聚法IIRS 相比，計(jì)算量更小且計(jì)算精度更高。以桁架結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)為例，驗(yàn)證了所提方法，并將計(jì)算結(jié)果與精確值、Guyan 縮聚解、IRS 縮聚解和IIRS 縮聚解進(jìn)行了比較，結(jié)果說(shuō)明了所提方法計(jì)算精度最好，具有良好的工程應(yīng)用前景。

1 結(jié)構(gòu)模型縮聚IRS 和IIRS 方法

本節(jié)對(duì)文獻(xiàn)[5] 所提IRS 方法和文獻(xiàn)[6-7] 中的IIRS 方法做簡(jiǎn)要回顧。IRS 方法利用級(jí)數(shù)展開，在模型縮聚方程中保留了一階慣性量，從而比Guyan方法明顯提高了計(jì)算精度。IIRS 方法在IRS 方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過(guò)逐次迭代來(lái)逼近精確解。主要方程回顧如下。

設(shè)結(jié)構(gòu)有限元模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別用K和M表示，它們均為n×n維方陣，則結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的特征值λj和特征向量?j可以通過(guò)求解如下的廣義特征值問(wèn)題得到

當(dāng)結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目n很大時(shí)，直接求解方程(1)需要很大的計(jì)算量。為了節(jié)省計(jì)算花費(fèi)，可以將結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行縮聚來(lái)降低矩陣維數(shù)，為此，首先將結(jié)構(gòu)的自由度分為主要自由度(保留自由度)和次要自由度(縮減自由度) 兩類，即將方程(1) 分解為

式中，上標(biāo)m和s分別表示主要自由度和次要自由度，并且，m和s同時(shí)也表示主要自由度和次要自由度的數(shù)目。由方程(2) 的第二行可得

方程(3) 可以改寫為

方程(4) 可進(jìn)一步通過(guò)Neumann 級(jí)數(shù)展開為

工程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，有限元模型中質(zhì)量矩陣通?？梢圆捎脤?duì)角矩陣，則有

利用方程(6)，方程(5) 可以簡(jiǎn)化為

由方程(7)，如果忽略所有的慣性量(即含有質(zhì)量子矩陣Mss的所有項(xiàng))，則可得Guyan 縮聚模型

根據(jù)方程(8)，縮聚后的特征值方程如下

其中自由度轉(zhuǎn)換矩陣T0為

顯然，方程(9)中的縮聚剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的維數(shù)已降低為m×m維，一般而言m << n，因此和方程(1) 相比，計(jì)算量大大降低了，求解縮聚模型(即方程(9)) 可得到原模型(即方程(1)) 特征值和特征向量的近似解，這就是模型縮聚方法的基本原理。但由于忽略了級(jí)數(shù)展開式(9)中所有的慣性項(xiàng)，因此上述Guyan 縮聚法用于求解動(dòng)力問(wèn)題時(shí)精度較差。

為了進(jìn)一步提高縮聚模型的精度，需要在級(jí)數(shù)展開式(7) 中保留部分慣性項(xiàng)，O’Callaghan 在文獻(xiàn)[5] 中提出了IRS 方法，保留了第一階慣性項(xiàng)，將方程(7) 轉(zhuǎn)化為

方程(13) 中，λj?mj可以由方程(9) 近似求得，即

將方程(14) 代入方程(13) 中整理可得

根據(jù)方程(15)，可得IRS 縮聚模型為

其中自由度轉(zhuǎn)換矩陣T1為

為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度，F(xiàn)riswell 等[6-7]提出了IIRS 方法，其基本原理是，在方程(14) 中利用新的縮聚模型(即由方程(17) 和方程(18) 計(jì)算所得的新縮聚系統(tǒng)矩陣Kr1和Mr1) 來(lái)獲得更準(zhǔn)確的λj?mj，重復(fù)由方程(14) 到(19) 的過(guò)程再次獲得改進(jìn)的縮聚模型，多次進(jìn)行上述迭代過(guò)程，即可逐步逼近特征對(duì)的精確解。IIRS 方法自由度轉(zhuǎn)換矩陣Ti的迭代計(jì)算公式為

2 模型縮聚改進(jìn)IRS 方法

文獻(xiàn)[15] 中討論了IIRS 方法收斂的充分條件，從數(shù)學(xué)理論上證明了，只有當(dāng)主輔自由度的選擇滿足收斂的充分條件要求時(shí)，才能保證迭代結(jié)果收斂到理論上的精確解，文獻(xiàn)[15]中的算例表明，只有第一階特征值滿足此收斂條件，而對(duì)于其他特征值未能滿足，且后期迭代對(duì)于精度的改善效果非常有限。根據(jù)文獻(xiàn)[16] 所提供的計(jì)算結(jié)果，IIRS 方法并未獲得和精確值一樣的結(jié)果，后繼即使增加迭代次數(shù)，計(jì)算精度并不能得到明顯提升。因此，為了進(jìn)一步提高IRS 方法的精度和計(jì)算效率，本文不再采用IIRS 方法那樣的迭代操作，而是通過(guò)增加二階慣性量來(lái)進(jìn)一步提高計(jì)算精度。具體公式和原理詳述如下。

在保留一階慣性量的基礎(chǔ)上，在級(jí)數(shù)展開式(7)中進(jìn)一步保留第二階慣性項(xiàng)，從而可將方程(7) 轉(zhuǎn)化為

方程(22) 中，λj?mj可以由方程(14) 近似求得，而可以由方程(14) 遞推求得

將方程(14) 和方程(23) 代入方程(22) 中整理可得

根據(jù)方程(24)，可得二階IRS 方法縮聚模型如下

其中自由度轉(zhuǎn)換矩陣為

如果繼續(xù)考慮三階慣性量，采用類似的推導(dǎo)過(guò)程，可得三階IRS 方法縮聚模型

其中自由度轉(zhuǎn)換矩陣為

需要特別指出的是，由于所提方法中的慣性量是由Guyan 縮聚模型近似得到的，而Guyan 縮聚模型計(jì)算所得的特征值一般都是大于或者遠(yuǎn)大于精確值的，因此，所保留的慣性量階數(shù)并非越大越好，后繼的算例中會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果保留了前四階慣性量，其計(jì)算結(jié)果精度反而不如只保留二階慣性量時(shí)的計(jì)算精度，這是因?yàn)殡S著特征值冪次的增高，慣性量的誤差迅速增大，綜合比較而言，考慮二階慣性量的縮聚模型(即二階IRS) 普適性最好。

3 數(shù)值算例

3.1 桁架結(jié)構(gòu)

以圖1 所示的桁架結(jié)構(gòu)為例對(duì)所提改進(jìn)IRS 方法進(jìn)行驗(yàn)證。該結(jié)構(gòu)的基本物理參數(shù)為：彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7.8×103kg/m3，桿的長(zhǎng)度L均為1 m，桿件的橫截面面積A=1.759×10?4m2。除去支座約束，該結(jié)構(gòu)共23 個(gè)自由度。不失一般性，取節(jié)點(diǎn)1、3 和5 所對(duì)應(yīng)的6 個(gè)自由度為主要自由度，而其他節(jié)點(diǎn)自由度為次要自由度，主要自由度和全部自由度之比約為1/4。采用本文所提方法，分別考慮二、三和四階慣性量，計(jì)算所得的前6 個(gè)特征值列于表1 中，為了便于進(jìn)行比較，表1 中同時(shí)給出了精確值、Guyan 縮聚解、IRS 縮聚解和IIRS 縮聚解，其中精確值為采用完整有限元模型計(jì)算所得結(jié)果。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)

由表1 可見(jiàn)，和精確值相比，Guyan 方法精度較差，說(shuō)明Guyan 縮聚法不太適用于解決動(dòng)力特征值計(jì)算問(wèn)題。采用IRS 和IIRS 方法，可以獲得比Guyan 方法更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。而采用本文所提方法，二階IRS 計(jì)算結(jié)果精度最高，三階和四階IRS 計(jì)算結(jié)果反而精度變差。和IRS、IIRS 結(jié)果相比，也是二階IRS 精度最好。另外，從計(jì)算時(shí)間上比較，IRS方法用時(shí)0.016 s，IIRS 方法用時(shí)0.032 s，本文所提二階IRS 方法用時(shí)0.021 s，本文方法的計(jì)算時(shí)間介于IRS 和IIRS 之間。因此，綜合而言，選擇考慮二階慣性量的縮聚模型(二階IRS) 最佳。

3.2 框架結(jié)構(gòu)

以圖2 所示的框架結(jié)構(gòu)為例對(duì)所提二階IRS 方法再次驗(yàn)證。該結(jié)構(gòu)的基本物理參數(shù)為：彈性模量E=69 GPa，密度ρ=2.7×103kg/m3，單元長(zhǎng)度L均為0.2 m，單元橫截面面積A= 6×10?5m2，慣性矩I=1.25×10?10m4。除去支座約束，該結(jié)構(gòu)共66 個(gè)自由度。選取圖2 中黑色圓點(diǎn)位置處的7 個(gè)自由度為主要自由度(節(jié)點(diǎn)2/5/12/16/20/23 均取水平自由度，節(jié)點(diǎn)14 取豎直自由度)，剩余其他節(jié)點(diǎn)自由度均視為次要自由度，主要自由度和全部自由度之比約為0.1。采用本文所提方法，考慮二階慣性量，計(jì)算所得的前7 個(gè)特征值列于表2 中，表2 中同時(shí)給出了精確值、Guyan 縮聚解、IRS 縮聚解和IIRS 縮聚解。

表1 前6 階特征值計(jì)算結(jié)果(算例1)

圖2 框架結(jié)構(gòu)

由表2 可見(jiàn)，和精確值相比，采用IRS 方法，前4 個(gè)特征值的計(jì)算誤差均在10%以內(nèi)，但第7 個(gè)特征值完全失真。而采用IIRS 方法，第7 個(gè)特征值的計(jì)算誤差有明顯縮小，但其他特征值的誤差和IRS 相比沒(méi)有明顯優(yōu)勢(shì)。采用本文所提二階IRS 方法，前6 個(gè)特征值的計(jì)算誤差均控制在5%以內(nèi)，第7 個(gè)特征值的誤差也顯著降低為45.77%。從計(jì)算時(shí)間上比較，IRS 方法用時(shí)0.018 s，IIRS 方法用時(shí)0.035 s，本文所提二階IRS 方法用時(shí)0.026 s，本文方法的計(jì)算時(shí)間介于IRS 和IIRS 之間。綜合而言，本文方法計(jì)算精度更加可靠，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可將本文方法與IRS方法結(jié)合使用，互相對(duì)比驗(yàn)證，以增強(qiáng)計(jì)算結(jié)果的可靠性。

表2 前7 階特征值計(jì)算結(jié)果(算例2)

4 結(jié)論

模型縮聚方法可以有效降低結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算規(guī)模，節(jié)省計(jì)算時(shí)間和成本，并能獲得和實(shí)驗(yàn)測(cè)量自由度相匹配的有限元模型。本文在IRS 方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮二階慣性量，明顯提高了計(jì)算精度。本文方法和迭代縮聚IIRS 方法相比，計(jì)算量更小且精度更高。以桁架結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)為例對(duì)所提二階IRS 方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并將計(jì)算結(jié)果與精確值、Guyan 縮聚解、IRS 縮聚解和IIRS 縮聚解進(jìn)行了比較，結(jié)果表明：綜合而言，所提方法計(jì)算精度最好，具有良好的工程應(yīng)用前景。