宋國文，馬 歌，胡宏昌

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

本文考慮如下回歸模型

(1)

近年來，Lq極大似然估計(MLqE)法引起了越來越多的統(tǒng)計學家的關注，相比于極大似然估計法，MLqE可以針對小樣本情況進行參數(shù)估計，完美地解決了小樣本情況下極大似然估計不準確的問題，可見MLqE及其相關問題是非常具有研究價值的，從而引起了大量專家的關注。如：Fahrmeir[2]研究了廣義線性模型的極大似然估計的漸近正態(tài)性, Davide和Yang[3]給出了MLqE定義, 研究了估計量大樣本性質(zhì), 給出了MLqE在金融數(shù)據(jù)上的應用, Margherita等[4]對Lq極大似然估計進行補償, 并給出了相應算法。然而，至今為止(據(jù)筆者所知)還沒有文獻用補償Lq極大似然估計法對誤差為半正態(tài)分布線性回歸模型進行研究。本文在文獻[1～4]的基礎上研究回歸模型(1)，給出了未知參數(shù)σ,λ,β的補償Lq極大似然估計量，在一定條件下，探討了這些估計量的存在性、相合性及其漸近正態(tài)分布。

1 估計方程及主要結果

依據(jù)文獻[4]的方法，求下面補償Lq函數(shù)的極大值點:

(2)

其中h(·)為正態(tài)分布N(0,λ2)的密度函數(shù)。令θ=(σ,λ,β)T，對θ求導得

(3)

由式(3)可得到補償Lq極大似然估計量滿足如下方程組：

其中

為了得到本文的主要結果，我們需要以下假設：

1){xt,t≥1}有界;

2)qn>0且當n→∞時，qn→1;

3)參數(shù)空間Θ是緊集，且θ是Θ的一個內(nèi)點;

(4)

(5)

(6)

2 主要結果的證明

為了證明我們的結論，需要如下引理1和引理2.

引理1[5]設函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間[a,+∞)上收斂于函數(shù)f(x)，且滿足以下條件

1){fn(x)}在[a,+∞)上一致可積;

2)對?A>a，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,A)上可積且有

(7)

注意到

(8)

由不等式可得

(9)

注意到

(10)

由引理1可得, 當qn→1,n→∞時，有

(11)

(12)

令

(13)

則由期望的定義容易計算得到

(14)

由大數(shù)定理可知

(15)

所以

(16)

同理可得

(17)

故

(18)

注意到

(19)

令

則

(20)

(21)

因此

(22)

由大數(shù)定理可得

(23)

故

(24)

綜上

(25)

從而

(26)

當n→∞時，有

(27)

即

(28)

由上式和qn→1，有

(29)

即

(30)

(31)

所以

由(28)式可知

(32)

容易計算得

(33)

(34)

因此

(35)

對p維向量的極限分布進行分析可得

(36)

從而

(37)

首先令

(38)

則{ηi,i=1,2,…,n}是獨立同分布的隨機變量序列，且

(39)

(40)

由Lindeberg-Levy中心極限定理可得

(41)

接著令u為任意的p-1維向量且

(42)

則{ξi,i=1,2,…,n}是獨立同分布的隨機變量序列，且

(43)

(44)

(45)

因為

(46)

所以

(47)

根據(jù)Cramer-Word方法可得

(48)