張海龍，郭海亮，孔 耀

(1.天地信息網(wǎng)絡(luò)有限公司，北京 100041；2.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

隨著可靠性水平的不斷提高，出現(xiàn)了許多高可靠性、長壽命的產(chǎn)品，如高可靠性的航天產(chǎn)品，其使用壽命和貯存壽命都比較長，要獲得此類產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)，對其可靠性進(jìn)行評估，用基于概率統(tǒng)計理論的傳統(tǒng)可靠性試驗(yàn)通常需要較長的試驗(yàn)時間或大樣本量，且傳統(tǒng)可靠性試驗(yàn)方法在工程上亦很難實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[1-2]提出，對于很多產(chǎn)品，其性能參數(shù)隨時間的推移會出現(xiàn)退化現(xiàn)象，因此可采用產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)來進(jìn)行產(chǎn)品的可靠性評估[3]。要評估產(chǎn)品總體的失效時間分布需要做大樣本量的退化試驗(yàn)，但當(dāng)樣本量很小時，求解失效時間分布十分困難，此時就需要對試驗(yàn)樣本量進(jìn)行擴(kuò)充。

對樣本擴(kuò)充問題主要采用Bootstrap法[4]和Jacknife法[5]。文獻(xiàn)[6-7]提出，Bootstrap方法假設(shè)數(shù)據(jù)總體的分布未知，從已有數(shù)據(jù)樣本中相繼獨(dú)立地抽取多個Bootstrap樣本，利用這些樣本對總體分布進(jìn)行統(tǒng)計推斷[8]。該方法很好地解決了試驗(yàn)樣本量大于10的小子樣試驗(yàn)評估問題，但對于樣本量為1或2的極小子樣試驗(yàn)問題，該方法就不適用了[9]。針對該問題，文獻(xiàn)[10]提出了一種虛擬增廣樣本評估方法，具體做法是根據(jù)試驗(yàn)得到的單件樣品的失效時間，利用類似產(chǎn)品的失效時間分布和標(biāo)準(zhǔn)差，將試驗(yàn)樣本量進(jìn)行虛擬擴(kuò)充，然后再運(yùn)用Bootstrap方法評估增廣樣本的分布函數(shù)。該方法的缺點(diǎn)是利用了類似產(chǎn)品的經(jīng)驗(yàn)信息虛擬出樣本數(shù)據(jù)，不能真實(shí)地反映實(shí)際產(chǎn)品的壽命分布特性。

本文提出了分段隨機(jī)抽樣的方法，對單一試驗(yàn)件的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣，生成新的退化數(shù)據(jù)時間序列，將小子樣試驗(yàn)擴(kuò)充為大樣本量試驗(yàn)。然后對每一試驗(yàn)樣本進(jìn)行退化軌跡建模。本文采用Lu&Meeker[11]提出混合參數(shù)模型對退化軌跡進(jìn)行建模，文獻(xiàn)[12-13]對該模型進(jìn)行了研究，并給出了模型參數(shù)的估計方法以及分布函數(shù)。本文以某航天器加速度計的加速退化試驗(yàn)為例，投入3個樣品進(jìn)行高溫加速退化試驗(yàn)，評估加速度計在高溫時的失效時間分布。結(jié)果表明，采用該方法擴(kuò)充的新樣本與原始樣本有相近的退化趨勢，沒有出現(xiàn)較大的偏差，為解決小子樣試驗(yàn)評估問題提供了一種可行思路。

1 樣本擴(kuò)充方法

針對極小子樣試驗(yàn)，為了評估出產(chǎn)品的可靠性，得出失效時間分布，需要對試驗(yàn)樣本量進(jìn)行擴(kuò)充。本文采用分段隨機(jī)抽樣的方法，對樣件試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行再抽樣，生成新的試驗(yàn)數(shù)據(jù)序列，達(dá)到虛擬增加試驗(yàn)件的目的。

分段隨機(jī)抽樣是將測得的產(chǎn)品試驗(yàn)時間序列分成若干段，然后再分別對每段數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣。例如，時間序列：

A0={x1，x2，…，xm}。

將A0分成n(設(shè)m為n的整數(shù)倍)段，每段包含數(shù)據(jù)個數(shù)為n0=m/n，即：

A0={(x1，x2，…，xn0)，…，(xm-n0+1，xm-n0+2，…，xm)}。

分段隨機(jī)抽樣的好處是，既擴(kuò)充了試驗(yàn)樣本量，又保持了原始數(shù)據(jù)的變化趨勢，這在非線性變化的時間序列中非常重要。如果不采取分段隨機(jī)抽樣，而只是單純地從原始數(shù)據(jù)中抽取a×n個數(shù)據(jù)，也就是說從原始數(shù)據(jù)中去掉m-a×n個數(shù)據(jù)，此時這m-a×n個數(shù)據(jù)有可能是一個相鄰的數(shù)據(jù)段，這樣就會造成抽樣后數(shù)據(jù)的變化趨勢與原始數(shù)據(jù)相差較大。例如，某時間序列X=[0，3.0，5.6，7.9，10.2，12.0，13.5，14.4，15.6，16.3]，長度n=10，數(shù)據(jù)采集時間間隔為1 h。將該時間序列分為3段(不含初始點(diǎn))，每段3個數(shù)據(jù)，依次從每段中抽取2個數(shù)據(jù)，組成新的時間序列，共可得到27條抽樣序列。分段隨機(jī)抽樣與非分段對比如圖1所示，紅線為原始時間序列的擬合曲線，藍(lán)線為分段隨機(jī)抽樣后時間序列的擬合曲線，黑線為不采取分段隨機(jī)抽樣，而是隨機(jī)去掉3個連續(xù)的數(shù)字(以去掉末尾3個數(shù)據(jù)為例)后的擬合曲線。由圖1可以看出，未采用分段隨機(jī)抽樣的序列擬合曲線與原始序列擬合曲線偏差太大。

通過以上方法將極小子樣擴(kuò)充為大樣本量后，運(yùn)用混合參數(shù)模型對退化軌跡進(jìn)行建模，求解失效時間的分布。

圖1 分段隨機(jī)抽樣與非分段對比Fig.1 Comparison of subsection and non-subsection random sampling

2 混合參數(shù)評估模型

2.1 混合參數(shù)模型

加速退化試驗(yàn)過程中，環(huán)境應(yīng)力對每一個試驗(yàn)件起到相同的環(huán)境影響，且每個試驗(yàn)件有其獨(dú)立的特性，在對退化軌跡進(jìn)行建模時應(yīng)同時考慮固定影響因素和隨機(jī)影響因素。因此本文采用混合參數(shù)模型對退化軌跡進(jìn)行建模。文獻(xiàn)[11]中給出了元件退化建模的一般公式。對于樣本量為n的隨機(jī)樣本，設(shè)定在時間t1，t2，…，ts處測得性能退化數(shù)據(jù)，通常直到性能退化量x首達(dá)退化閾值D或時間達(dá)到ts，停止測量。第i元件在時間tj時的退化軌跡模型：

yij=η(tj；φ，θi)+εij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，

(1)

2.2 參數(shù)評估方法

基于兩階段法的模型參數(shù)估計方法，分為2個步驟。在第1階段，對每個抽樣元件的退化軌跡進(jìn)行建模并估計軌跡參數(shù)，獲得n組模型參數(shù)估計值。第2階段，用第1階段得到的模型參數(shù)估計值，來計算混合參數(shù)模型參數(shù)φ，μθ，Σθ。具體內(nèi)容如下：

階段1：

對每個抽樣樣本i(i=1，2，…，n)，運(yùn)用最小二乘法對(φi，θi)進(jìn)行估計。最小二乘函數(shù)為：

(2)

第i個元件的測量誤差εi的方差為：

(3)

(4)

(5)

階段2：

(6)

(7)

(8)

式中，

2.3 失效時間分布

失效時間T的分布函數(shù)可以寫為：

Pr{T≤t}=FT(t)=FT(t；φ，Gθ(·)，D，η)。

(9)

當(dāng)隨機(jī)影響參數(shù)向量θ中只包含一個隨機(jī)參數(shù)時，可以得到失效時間T分布函數(shù)的顯式表達(dá)式。設(shè)η=φ+?t，θ～N(μ，σ2)，退化失效閾值為D，則有D=η(T；φ，θ)，此時:

(10)

則T的分布函數(shù)為：

(11)

當(dāng)σθ<<μθ時，Pr(θ≤0)是可以忽略的，則式(11)改寫為：

(12)

對于一些簡單的軌跡模型，可以得到FT(t)的顯式形式。但當(dāng)隨機(jī)參數(shù)多于一個時，問題就會比較復(fù)雜，很難寫出閉式表達(dá)式。在此情況下，可以通過積分變換或其他方法找到T函數(shù)中隨機(jī)參數(shù)的分布。文獻(xiàn)[14-15]對這一問題進(jìn)行了深入研究。通常需要估計數(shù)值結(jié)果，此時可以通過蒙特卡洛仿真得到結(jié)果。

3 應(yīng)用實(shí)例

以加速度計的高溫加速貯存試驗(yàn)為例，選取性能參數(shù)為標(biāo)度因數(shù)(單位為ppm，即10-6)，試驗(yàn)樣本量為3，屬于極小子樣試驗(yàn)。試驗(yàn)中，溫度設(shè)定為80 ℃，測量時間間隔120 h，試驗(yàn)終止時間2 160 h。初始時刻性能退化量為零，共測得19個數(shù)據(jù)，如圖2所示。

圖2 加速度計加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.2 Accelerated degradation test data for accelerometers

根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]，本文采用冪函數(shù)對加速度計退化軌跡進(jìn)行建模，因此非線性混合參數(shù)軌跡模型為：

yij=φ1+θtφ2+εij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m，

式中，φ=[φ1，φ2]′；θ=[?]′。

表1 參數(shù)估計值Tab.1 Estimated values of parameters

令失效閾值為300，T的累積概率分布曲線如圖3所示。

圖3 失效時間累積概率分布曲線F(t)Fig.3 The failure time cumulative probability distribution curve F(t)

圖4 失效時間概率密度曲線f(t)Fig.4 The failure time probability distribution curve f(t)

圖5 自然貯存加速度計失效時間直方圖Fig.5 The histogram of failure time for accelerometers with normal storage

4 結(jié)束語

針對極小子樣加速退化試驗(yàn)，提出了基于分段隨機(jī)抽樣的再抽樣方法，通過實(shí)際應(yīng)用可得出，該方法可對極小子樣加速退化試驗(yàn)樣本進(jìn)行有效地擴(kuò)充，同時未改變退化軌跡的趨勢；評估得到的失效時間分布與正常應(yīng)力下的產(chǎn)品失效時間分布接近，保證了加速退化試驗(yàn)失效機(jī)理的一致性。