王軍敏，蘆薦宇，張?jiān)妷?/p>

(平頂山學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 平頂山 467036)

0 引言

在現(xiàn)實(shí)場景中，研究人員采集的原始數(shù)據(jù)樣本通常具有較大的相關(guān)性，這一方面導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)集體積龐大，不利于數(shù)據(jù)的傳輸和存儲，另一方面也會導(dǎo)致數(shù)據(jù)集存在大量的冗余信息，使得主要特征淹沒在龐大的冗余信息之中，不利于主要特征的表示和識別.尤其對于圖像數(shù)據(jù)，它具有比語音信號、文本信號更大的數(shù)據(jù)量，如果不對這些圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行有效處理，則無法很好地利用這些圖像數(shù)據(jù)提供的信息.因此，對原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行主要特征的提取，降低原始數(shù)據(jù)集的維度，具有重要的工程意義和應(yīng)用價值.

主分量分析(Principal Component Analysis,PCA)算法[1]是一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法，該方法能夠提取數(shù)據(jù)集中的主成分分量，這些主成分分量不僅保留了原始數(shù)據(jù)集中的主要信息，并且彼此之間是不相關(guān)的，因此，利用PCA方法可有效去除數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，從而提取出原始數(shù)據(jù)集的主要特征，同時達(dá)到降低數(shù)據(jù)維度的目的.由于PCA算法具有上述的優(yōu)良性質(zhì)，目前已經(jīng)在諸多領(lǐng)域獲得應(yīng)用.李強(qiáng)等[2]利用二維PCA算法提取掌紋圖像的統(tǒng)計(jì)特征，將其用于掌紋識別.周松林等[3]利用PCA算法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測風(fēng)電功率，該方法選擇輸入變量的主分量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，既減少了輸入變量的維數(shù)，又消除了各輸入變量的相關(guān)性，提高了預(yù)測精度.傅榮會[4]利用PCA算法對超譜圖像進(jìn)行降維處理.許偉棟等[5]利用PCA算法對馬鈴薯的形狀特征進(jìn)行降維，提取出形狀的主分量特征，用于馬鈴薯的自動分選.周偉等[6]利用動態(tài)PCA方法構(gòu)建動態(tài)過程的主成分分析模型，用于解決微小故障的檢測問題.郭明軍等[7]將PCA算法應(yīng)用于大型滑動軸承試驗(yàn)臺主軸的軸心軌跡提純，得到清晰的軸心軌跡，可成功識別轉(zhuǎn)子的不對中及碰磨故障.

1 PCA算法的基本原理

PCA 算法是一種簡單有效的特征提取和數(shù)據(jù)降維方法，其主要思想是利用信號的二階統(tǒng)計(jì)特性和特征值分解來確定一個投影矩陣，然后利用該投影矩陣對原始的高維數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換，從而將高維數(shù)據(jù)映射到低維的主分量空間.由于PCA算法構(gòu)造的投影矩陣是由特征向量組成，這些特征向量是相互正交的，所以，利用PCA算法提取的主分量特征是不相關(guān)的，即去除了原始數(shù)據(jù)的相關(guān)性和冗余信息.另外，由于主分量特征包含了原始數(shù)據(jù)的大部分信息，所以，PCA算法在實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維和去除冗余信息的同時，能夠盡可能多地保留原始數(shù)據(jù)的信息，是一種綜合性能優(yōu)良的信號處理方法.

給定m個n維樣本數(shù)據(jù)組成的集合X={x1,x2,…,xm}，則PCA算法的基本實(shí)現(xiàn)步驟如下：

3)對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，獲得特征值和對應(yīng)的特征向量，即[V,D]=eig(C)，其中，eig()表示特征值分解操作，D為特征值對角矩陣，V為對應(yīng)的特征向量矩陣；

4)把特征值按從大到小的順序排列，取前K個最大特征值對應(yīng)的特征向量vi,i=1,2,…,K，組成投影矩陣P=[v1,v2,…,vK]；

5)利用線性變換Y=PTX獲得降維后的樣本集Y，其中，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置操作.

從上述PCA算法的基本實(shí)現(xiàn)步驟可以看出，原始樣本集X是n×m維的，經(jīng)過PCA變換后，獲得的樣本集Y是K×m維的，即每個樣本的維度從n維降為K維(n>K)，從而實(shí)現(xiàn)了主要特征的提取和數(shù)據(jù)降維的目的.

2 PCA算法的應(yīng)用

2.1 基于PCA算法的圖像傾斜校正

由于拍攝圖像時相機(jī)與目標(biāo)的相對位置和角度的不同，所拍攝的圖像可能存在一定程度的傾斜，為了方便對拍攝的圖像進(jìn)行特征提取和目標(biāo)識別，首先需要對拍攝的圖像進(jìn)行傾斜校正.傳統(tǒng)的基于Hough變換、Radon變換的傾斜校正方法計(jì)算過程煩瑣，計(jì)算量大，并且傾斜校正的精度也不高.因此，本節(jié)采用一種更加簡捷的傾斜校正方法，該方法利用PCA算法直接計(jì)算原始目標(biāo)圖像的傾斜角度，然后通過一次旋轉(zhuǎn)即可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)圖像的傾斜校正.該方法的具體實(shí)現(xiàn)過程為：

1)將原始的目標(biāo)圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像，然后按類間最大方差算法(OTSU算法)將灰度圖像二值化，則二值化圖像中的前景點(diǎn)被標(biāo)記為“1”，背景點(diǎn)被標(biāo)記為“0”；

2)收集所有被標(biāo)記為“1”的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，組成一個兩行的坐標(biāo)矩陣D，第一行是所有“1”點(diǎn)的y坐標(biāo)，第二行是所有“1”點(diǎn)的x坐標(biāo)，每列是一個“1”點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別對第一行的y坐標(biāo)和第二行的x坐標(biāo)進(jìn)行零均值化，即減去自己的平均值；

3)對零均值化后的坐標(biāo)矩陣D計(jì)算協(xié)方差矩陣，可獲得一個2×2維的協(xié)方差矩陣，然后對該協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，可獲得兩個特征值及其對應(yīng)的特征向量；

4)設(shè)最大特征值對應(yīng)的特征向量是vm=(vm1,vm2)，則vm代表的方向就是目標(biāo)圖像長邊所指向的方向，也即目標(biāo)圖像的傾斜角度為θ=arctan(vm2/vm1)；

5)將采集的原始目標(biāo)圖像按相反方向旋轉(zhuǎn)θ角度，即可獲得傾斜校正后的目標(biāo)圖像.

圖1以傾斜的車牌圖像校正為例，展示了PCA算法用于傾斜圖像校正的效果.為了保護(hù)個人隱私，將車牌圖像中標(biāo)記省份的漢字進(jìn)行了遮擋.其中，圖1(a)是一幅傾斜的車牌圖像，利用PCA算法計(jì)算得到車牌長邊(即第一主分量)的傾斜角度為3.682 6°，對原始的傾斜車牌圖像直接按順時針方向旋轉(zhuǎn)3.682 6°即可實(shí)現(xiàn)傾斜校正.從圖1(b)的結(jié)果可以看出，利用PCA算法能夠準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)圖像的傾斜校正，為后續(xù)的特征提取和識別提供方便.

2.2 基于PCA算法的人臉識別

人臉識別一直是人工智能領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，它在身份驗(yàn)證、智能監(jiān)控等方面具有重要的應(yīng)用.由于拍攝的人臉圖像可能受到光照條件、姿態(tài)、表情的影響和配飾(例如眼鏡、口罩等)的干擾，使得人臉圖像識別成為一個具有挑戰(zhàn)性的問題.

利用PCA算法進(jìn)行人臉識別的具體步驟為：

1)創(chuàng)建人臉圖像的訓(xùn)練集trainData.設(shè)一共有N個類別(即N個人物)，每類有m個訓(xùn)練樣本圖像，則一共有N×m個訓(xùn)練樣本圖像.對每個訓(xùn)練樣本圖像，先縮放到統(tǒng)一的尺寸，然后轉(zhuǎn)換成一個行向量，作為訓(xùn)練樣本集矩陣trainData的一行.所以，矩陣trainData包含了所有訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù)，每行對應(yīng)一個訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù).

2)訓(xùn)練樣本集trainData零均值化.對訓(xùn)練樣本集矩陣trainData按列計(jì)算平均值，獲得一個行向量μ，將其作為訓(xùn)練樣本的均值圖像；然后，將trainData的每一行減去均值圖像μ，即每個訓(xùn)練樣本減去均值圖像，可實(shí)現(xiàn)trainData的零均值化，記為矩陣A.

3)計(jì)算特征值和特征向量.設(shè)協(xié)方差矩陣C=AAT，對其進(jìn)行特征值分解[V,D]=eig(C)，則矩陣D的對角線元素即為特征值，矩陣V的每列即為特征值對應(yīng)的特征向量.

4)構(gòu)造投影矩陣P.將特征值按從大到小的順序排列，取前K個最大的特征值λi,i=1,2,…,K及其對應(yīng)的特征向量vi,i=1,2,…,K，由這K個特征向量組成投影矩陣P=[v1,v2,…,vK].

本節(jié)采用ORL人臉圖像數(shù)據(jù)庫開展人臉識別實(shí)驗(yàn).該數(shù)據(jù)庫共有40個人物的人臉圖像，每人有10 幅112×92像素的圖像.光照條件、人臉的面部表情、姿態(tài)、戴眼鏡或不戴眼鏡等均有一定的變化.圖2展示了ORL人臉圖像數(shù)據(jù)庫的一些樣本，其中每行代表一個人物的人臉圖像.

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，每類選取5個樣本作為訓(xùn)練集，每類的另外5個樣本作為測試集.圖3展示了利用PCA算法進(jìn)行人臉識別的效果，其中，圖3(a)是一幅輸入的測試人臉圖像，圖3(b)是根據(jù)最近鄰準(zhǔn)則從訓(xùn)練樣本集搜索到的最相似的人臉圖像，二者具有相同的類別，即屬于同一個人物的人臉圖像.從圖3可以看出，盡管人臉圖像存在表情的不同，但本節(jié)算法仍然能夠獲得正確的識別結(jié)果.

2.3 基于PCA算法的圖像壓縮

隨著照相設(shè)備(手機(jī)、數(shù)碼相機(jī)等)的普及，每天都有大批的圖像被生成，這些圖像的數(shù)據(jù)量很大，同時存在較高的冗余度，因此，必須對這些圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，以便傳輸、存儲和有效使用這些圖像數(shù)據(jù).考慮到PCA算法能夠有效去除數(shù)據(jù)之間的冗余性，提取主分量作為主要特征，因此，可將PCA算法應(yīng)用于圖像數(shù)據(jù)的壓縮.

基于PCA算法的圖像壓縮步驟如下：

1)給定輸入圖像I，將該圖像劃分成大小為24×24像素的圖像塊，每個圖像塊的像素作為一列，構(gòu)成矩陣X；

2)計(jì)算協(xié)方差矩陣C=XTX，其中，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置操作；

3)對協(xié)方差矩陣C進(jìn)行特征值分解，獲得特征值和對應(yīng)的特征向量，取前K個最大特征值對應(yīng)的特征向量vi,i=1,2,…,K，組成投影矩陣P=[v1,v2,…,vK]；

4)將X投影到由P張成的主分量空間，獲得投影系數(shù)ρ=XP.

5)重建壓縮圖像Xc=ρPT，并把Xc的每列按24×24像素的圖像塊進(jìn)行還原，獲得與輸入圖像具有相同尺寸的壓縮圖像.

圖4展示了利用PCA算法進(jìn)行圖像壓縮的效果，其中，圖4(a)為一幅原始圖像，圖4(b)～(d)分別為取16、6、1個主分量時的壓縮圖像.從圖4可以看出：1)通過提取主分量，可以提取圖像的主要特征，實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮；2)提取的主分量個數(shù)越少，圖像的壓縮率越高.另外，對比圖4(a)和圖4(b)可以看出，當(dāng)選擇主分量的個數(shù)為16時，圖像的壓縮比為16.437 7，即壓縮后圖像的存儲體積僅為壓縮前的約1/16，但是壓縮后的圖像質(zhì)量沒有明顯降低.從圖4(c)可以看出，當(dāng)選擇主分量的個數(shù)為6時，圖像的壓縮比可達(dá)43.834，但此時壓縮后的圖像仍能體現(xiàn)出原始圖像的大部分信息.從圖4(d)可以看出，當(dāng)只選用一個主分量時，仍然能夠獲得原始圖像的輪廓信息.綜上所述可得，利用PCA算法能夠有效實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮，同時獲得較好的壓縮比和圖像壓縮質(zhì)量.

3 結(jié)論

PCA算法是一種簡單有效的特征提取和數(shù)據(jù)降維方法，通過提取信號的主成分分量，可實(shí)現(xiàn)信號的壓縮等功能.筆者分析了PCA算法的基本原理和實(shí)現(xiàn)方法，并將其應(yīng)用于圖像傾斜校正、人臉識別、圖像壓縮等領(lǐng)域，獲得了良好的應(yīng)用效果，拓展和深化了PCA算法在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用，具有重要的應(yīng)用價值.