梁 靜

(安徽新華學(xué)院 通識教育部，安徽 合肥 230088)

0 引言

1 預(yù)備知識

引理1 若p為素?cái)?shù)，n>0，則φ(pn)=pn-1(p-1).

引理2 若(m,n)=1，則φ(mn)=φ(m)φ(n).

證明考查mn階循環(huán)群Zmn，因(m,n)=1，故Zmn≌Zm⊕Zn.設(shè)a,b∈Zmn分別為m階元和n階元，則Zmn={aibj|1≤i≤m,1≤j≤n}，又aibj為mn階元?ai,bj分別為m階元和n階元?(i,m)=1且(j,n)=1.滿足等價(jià)關(guān)系左邊的有序?qū)?i,j)有φ(mn)對，滿足等價(jià)關(guān)系右邊的有序數(shù)對(i,j)有φ(m)φ(n)對，從而有φ(mn)=φ(m)φ(n).

證畢.

2 主要結(jié)果

證明1)顯然.

下面為使敘述嚴(yán)謹(jǐn)將采用原根的語言法證明.

證明由上，取a為模p的一個(gè)原根，則(a+p)p-1-ap-1≡ap-1+p(p-1)ap-2-ap-1≡p(p-1)ap-2≠0(modp2).

由定理1和定理2即可得到:

由定理1、2、3可得如下結(jié)論：

3 結(jié)論