屈 聰,王瑞柯,張水利

(平頂山學院 數學與統計學院，河南 平頂山 467036)

中國是一個農業(yè)大國,農村人口多且分布范圍廣,農村消費市場巨大.改革開放以來，我國經濟不斷發(fā)展，伴隨著日益增長的生活水平，人們的消費水平也有了很大的提高.特別是進入21世紀以后,農村居民消費觀念的改變使得消費總量進一步增加[1-3].對農村居民未來消費水平進行預測,有助于及時調整相關政策,優(yōu)化消費環(huán)境.劉斌、張慧、白宏遠等利用灰色關聯方法對農村居民消費結構進行了分析和預測[4].屈聰、李宜懋利用灰色馬氏鏈模型對農村居民收入進行研究，結果表明灰色馬氏鏈模型預測的精度更高[5].筆者以全國2000—2018年的全國農村居民消費水平為樣本數據，建立了灰色馬氏鏈模型，并對2019—2025年全國農村居民消費水平進行了預測，獲得了較好的結果.

1 灰色馬氏鏈預測模型

1.1 灰色GM(1,1)預測模型

灰色預測是指對系統行為特征值的發(fā)展變化進行的預測，對既含有已知信息又含有不確定信息的系統進行的預測，也就是對在一定范圍內變化的、與時間序列有關的灰過程進行預測.建立GM(1,1)模型的具體過程如下：

1)選取等時距連續(xù)的一組原始數據列：

(1)

2)對測量數據做一次累加，得到新的數據列：

(2)

3)采用一階微分方程進行擬合，得到GM(1,1)模型：

(3)

式(3)中:

a——發(fā)展系數,

u——灰色作用量.

(4)

式子(4)是連續(xù)時間t的響應函數，對其進行離散化，得到微分方程的數值解如式(5)所示：

(5)

使用最小二乘法得到參數列如下所示：

(6)

于是可得到灰色預測的離散時間響應函數為：

(7)

x(1)(t+1)為所得的累加的預測值，將預測值還原即為

(8)

1.2 馬氏鏈

若隨機過程{X(n),n=0,1,2,…}只取有限或可列個值，并且對任意的n≥0，及任意狀態(tài)i,j,i0,i1,…,in-1,有

P{Xn+1=j|Xn=i,Xn-1=in-1,…,X1=i1,X0=i0}=

P{Xn+1=j|Xn=i}.

(9)

則隨機過程{X(n),n=0,1,2,…}稱為Markov鏈.Xn=i表示過程在時刻n處于狀態(tài)i，稱{0,1,2,…}為該過程的狀態(tài)空間，記為S0.對Markov鏈，給定過去的狀態(tài)X0,X1,…,Xn-1及現在的狀態(tài)Xn，將來的狀態(tài)Xn+1的條件分布與過去的狀態(tài)獨立，只依賴于現在的狀態(tài).

1.3 馬氏性檢驗

稱(9)中的條件概率P{Xn+1=j|Xn=i}為Markov鏈{X(n),n=0,1,2,…}的一步轉移概率，記為pij,表示處于狀態(tài)i的過程下一步轉移到狀態(tài)j的概率，則轉移概率矩陣為

2 實證分析

利用2000—2018年農村居民消費水平數據,建立灰色馬氏鏈模型,并進行預測.

2.1 GM(1,1)模型的驗證

2.2 劃分狀態(tài)

表1 GM(1,1)預測值、殘差序列及狀態(tài)

2.3 檢驗馬氏性

表2 卡方統計量

2.4 計算預測值

根據狀態(tài)區(qū)間劃分和灰色預測值，計算灰色馬氏鏈模型的預測值.由于原始序列最后一個數據落在了狀態(tài)1內，則初始矩陣為P(0)=(1,0).經計算發(fā)現未來處于狀態(tài)1的概率大，因此得到預測值及相對誤差，如表3所示.

表3 灰色馬爾科夫預測值及相對誤差

從表3中可以看出GM(1，1)模型的相對誤差絕對值的平均值為3.374%，灰色馬氏鏈模型相對誤差絕對值的平均值為2.351%，與GM(1，1)模型相比，預測精度提高了1.023%，因此利用灰色馬氏鏈進行預測的效果更好.

3 結論

筆者運用灰色模型與馬氏鏈相結合的方法對農村居民的消費水平進行了預測，用上述方法得出的預測值與真實值之間的誤差較小，并且與灰色模型相比，此方法大大提高了預測精度，得到了較好的結果.

預測結果表明：我國農村居民消費水平仍處于上升趨勢，可見隨著國家經濟的發(fā)展，農村居民的生活質量將逐步提升，生活水平會越來越高.