魏江超，馬昌鳳

(福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,福建 福州 350117)

0 引言

考慮如下的時(shí)諧渦流問題的耦合模型:

(1)

其中,E,H,Je分別是電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度與渦流電流密度,Ω是3上的單連通的有界多邊體，?Ω為Ω的邊界,ΩC與ΩI分別為Ω的導(dǎo)體區(qū)域與非導(dǎo)體區(qū)域,Γ為ΩC與ΩI閉區(qū)域的交集,n為Ω與Γ上指向ΩI的單位外法向量方向,介質(zhì)的磁導(dǎo)率、介電常數(shù)、電導(dǎo)率和角頻率分別用μ,ε,σ,ω表示,更詳細(xì)的說明可見文獻(xiàn)[1-2].

當(dāng)非導(dǎo)電區(qū)域ΩI的第一貝蒂數(shù)為0時(shí),利用有限元方法離散耦合模型(1),可以得到簡(jiǎn)單拓?fù)淝闆r下的離散系統(tǒng),當(dāng)非導(dǎo)電區(qū)域ΩI的第一貝蒂數(shù)大于0時(shí),我們也可以得到一般拓?fù)淝闆r下的系統(tǒng), 具體可見文獻(xiàn)[3].一般情況下,我們會(huì)對(duì)簡(jiǎn)單拓?fù)涞仁絻蛇呑蟪司仃嚒?Diag(-iI,-iI,-I,-I),則得到

(2)

其中,A1=MC-iSC,A2=SI+τB*BI, 并且MC為對(duì)稱正定矩陣,SC與SI為對(duì)稱半正定矩陣,BC與BI為行滿秩矩陣,D為一個(gè)實(shí)矩陣,注意到實(shí)際上A2是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣.同樣地，對(duì)于一般拓?fù)淝闆r下的系統(tǒng)，兩邊乘以￡=Diag(-iI,-I,-I), 可以得到

(3)

在生活中,時(shí)諧渦流模型常常運(yùn)用于模擬低頻交流電的電磁現(xiàn)象.眾多學(xué)者為了解決時(shí)諧渦流模型的離散模型提出了許多算法,如修正超松弛迭代算法與Uzawa-like算法[4],交替半正定分裂(APSS)迭代算法[5],正定與半正定分裂(PS)迭代方法[6],以及Bai等人提出了一類塊交替分裂隱式(BASI)迭代算法[3].同時(shí),為了高效地求解,也提出了許多預(yù)處理子,如維分裂預(yù)處理子[6]等.筆者在預(yù)處理分塊交替分裂隱式(PBASI)迭代法[7]上做了進(jìn)一步的改進(jìn),引入了新的參數(shù)β,同時(shí)研究了新的迭代算法的收斂性,給出了一種分裂情況下具體的計(jì)算步驟.

1 預(yù)處理分塊交替分裂隱式迭代法

首先, 文中所考慮的廣義鞍點(diǎn)矩陣如下:

(4)

其中,A∈Rm×m為正定矩陣,C∈Rn×n為Hermitian半正定矩陣,B∈Rm×n,(m>n).在文獻(xiàn)[3]中首先給出了一種分裂如下：

A=(αI+P)-(αI-S)=(αI+S)-(αI-P)=P+S,

(5)

式中，

(6)

其中,A=P+S且P為一個(gè)正定矩陣,S為反Hermitian矩陣,B=B1+B2為矩陣B的一個(gè)分裂.從而進(jìn)一步得到交替分裂隱式(BASI)迭代方法來求解鞍點(diǎn)問題(4)如下：

(7)

式中，V=Diag(V1,V2)為塊對(duì)角矩陣,V1,V2為對(duì)稱正定矩陣.并且給出了收斂分析如下：

定理1 假設(shè)廣義鞍點(diǎn)問題(4)的系數(shù)矩陣A有(5)-(6)的分裂.V是對(duì)稱正定的分塊對(duì)角矩陣.當(dāng)B的分裂B1和B2滿足

時(shí), 對(duì)于任意的α>0,給定任意初始值x(0)∈Cm×n,根據(jù)迭代格式(7),算法均收斂到問題(4)的精確解.

2 雙參數(shù)的預(yù)處理分塊交替分裂隱式(DPPBASI)迭代法

在本節(jié)中, 我們?cè)谠鹊念A(yù)處理分塊交替分裂隱式迭代格式上進(jìn)行了新的改進(jìn), 引入了第2個(gè)參數(shù)β,進(jìn)行了新的迭代格式的收斂性分析,并且給出了在實(shí)際計(jì)算中的計(jì)算方式.

2.1 DPPBASI迭代算法與收斂分析

對(duì)于問題(4),我們對(duì)第1節(jié)中的預(yù)處理分塊交替隱式迭代法進(jìn)行改進(jìn)，引入第2個(gè)參數(shù)β,進(jìn)而可以得到如下算法:

算法1 對(duì)于廣義鞍點(diǎn)問題(4)的系數(shù)矩陣A做(5)-(6)的分裂,給定任意的初始值x(0)∈Cm×n,對(duì)于k=1,2,3,…,使用下面迭代格式得到迭代序列{(x(k))}直至滿足終止準(zhǔn)則:

(8)

其中α>0,β>0,V=Diag(V1,V2)為對(duì)稱正定的分塊對(duì)角矩陣,V1,V2為對(duì)稱正定矩陣.

可以簡(jiǎn)單地看出,當(dāng)α=β時(shí),TPPBASI迭代算法退化為PBASI迭代算法, 并且當(dāng)α=β=1時(shí),DPPBASI迭代算法退化為文獻(xiàn)[3]提出的APSS迭代算法.下面我們給出算法的收斂性分析, 首先給出一個(gè)有用的引理.

引理1 假設(shè)矩陣A可分解為A=P+S, 其中矩陣P與矩陣S分別是Hermitian半正定矩陣與反Hermitian矩陣,若對(duì)給定的α>0有

(9)

則有ρ((βI+S)-1(βI-P)(αI+P)-1(αI-S))<1, 其中λmin與λmax分別是P的最小與最大特征值,ρ(Q)是矩陣Q的譜半徑.

證明這里采用與文獻(xiàn)[9]定理2類似的證明方式, 這里給出簡(jiǎn)單的過程如下：

(10)

進(jìn)一步,存在α,β*，其中λmin≤β*≤λmax,事實(shí)上β*是關(guān)于λminλmax,α函數(shù),使得下列等式成立:

(11)

下面分3種情況討論:

情況3 當(dāng)β=α?xí)r,矩陣(βI+S)-1(βI-P)(αI+P)-1(αI-S)相當(dāng)于BASI方法的迭代矩陣, 它是無條件收斂的, 所以等式自然成立.

綜合上述3種情況, 容易得到定理結(jié)論.

下面我們給出算法的收斂性定理.

定理2 假設(shè)廣義鞍點(diǎn)問題(4)的系數(shù)矩陣A有(5)-(6)的分裂, 其中矩陣P與矩陣S分別是Hermitian半正定矩陣與反Hermitian矩陣,V是對(duì)稱正定的分塊對(duì)角矩陣.對(duì)于任意α>0,若β滿足

證明由算法1,可以得到DPPBASI方法的迭代矩陣T如下:

(12)

2.2 時(shí)諧渦流問題中TPPBASI算法的求解

在這小節(jié)中,將結(jié)合離散的時(shí)諧渦流問題的代數(shù)形式, 研究其簡(jiǎn)單拓?fù)浜鸵话阃負(fù)湓赥PPBASI算法下的具體實(shí)現(xiàn).

2.2.1 簡(jiǎn)單拓?fù)淝闆r下的算法

結(jié)合等式(2),廣義鞍點(diǎn)問題(4)可以改寫成如下形式:

(13)

其中，

進(jìn)一步,可以做出分裂如下：

A=(αV+P)-(αV-S)=

(αV+S)-(αV-P)=P+S.

(14)

其中P，S由式(6)規(guī)定，V=Diag(V1,V2,V3,V4)，又V1,V2,V3,V4為對(duì)稱正定矩陣且

容易驗(yàn)證P為半正定Hermitian矩陣,S為反Hermitian矩陣.

將上述分裂帶入算法1, 我們知道每一步迭代都只需要求解兩個(gè)線性方程組如下:

(15)

其中，

與

(16)

其中，

經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算, 我們可以得到該分裂迭代格式如下:

1)通過求解對(duì)稱正定方程:

循環(huán)1)～4)直至滿足終止條件.我們可以發(fā)現(xiàn)算法的主要計(jì)算量集中在步驟1)與步驟3),其中可以發(fā)現(xiàn)步驟1)求解的系數(shù)矩陣為正定Hermitian矩陣, 而步驟3)求解的系數(shù)矩陣為正定非Hermitian矩陣,因此在實(shí)際應(yīng)用中可以考慮非精確求解方法.

2.2.2 一般拓?fù)淝闆r下的算法

結(jié)合等式(3)與廣義鞍點(diǎn)問題(4),可以有:

(17)

其中，

進(jìn)而可以給出下面一種分裂:

A=(aV+P)-(αV-S)=

(αV+S)-(αV-P)=P+S.

(18)

其中，P,S由式(6)規(guī)定，V=Diag(V1,V2,V3)，又V1,V2,V3為對(duì)稱正定矩陣且

容易驗(yàn)證P為半正定Hermitian矩陣,S為反Hermitian矩陣.

運(yùn)用與簡(jiǎn)單拓?fù)淝闆r下相似的做法,可以得出該分裂的迭代格式如下:

1)通過求解對(duì)稱正定方程:

其中

循環(huán)1)～4)直至條件滿足.

因此,可以發(fā)現(xiàn)算法的主要計(jì)算量集中在步驟1)與步驟3);同時(shí),也可以發(fā)現(xiàn)步驟1)求解的系數(shù)矩陣為正定Hermitian矩陣,而步驟3)求解的系數(shù)矩陣為正定非Hermitian矩陣,因此在實(shí)際應(yīng)用中也可以考慮非精確求解方法.