烏仁其其格

摘 要：本文首先利用解析函數(shù)以及該函數(shù)的q-導(dǎo)數(shù)的二階凸組合定義了新一類雙向單葉解析函數(shù)，其次根據(jù)從屬關(guān)系與Faber多項(xiàng)式展開式得到了該新函數(shù)類的系數(shù)上界，并進(jìn)一步解決了這類函數(shù)的Fekete-Szeg？觟不等式問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：解析函數(shù);雙-單葉函數(shù);系數(shù)界;Faber多項(xiàng)式;q-導(dǎo)數(shù);從屬關(guān)系

中圖分類號(hào)：O174.52? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2020）09-0007-03

1 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者開始研究解析函數(shù)的特殊子類雙向單葉解析函數(shù)及其相關(guān)系數(shù)估計(jì)，取得許多重要成果。其中主要是利用CHEBYSHEV多項(xiàng)式或Faber多項(xiàng)式定義了新一類雙向單葉解析函數(shù)，并給出了該函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)。

2018年，Sahsene Altinkaya在《On A Subclass of Bi-Univalent Functions with The Faber Polynomial Expansion》中，使用Faber多項(xiàng)式展開式，來(lái)求屬于開單元盤E={z∈C：|z|<1}內(nèi)有關(guān)解析函數(shù)的q-導(dǎo)數(shù)以及該函數(shù)的一階凸組合的一類雙向單葉解析函數(shù)系數(shù)的上界。然而解析函數(shù)的q-導(dǎo)數(shù)以及該函數(shù)的其他階數(shù)凸組合的函數(shù)類也是有待研究的。

本文改進(jìn)了Sahsene Altinkaya的研究成果，研究有關(guān)解析函數(shù)的q-導(dǎo)數(shù)以及該函數(shù)的二階凸組合的函數(shù)類的系數(shù)上界。

設(shè)R=（-∞，∞）是實(shí)數(shù)集合，C是復(fù)數(shù)集，N：={1，2，3，…}是正整數(shù)集。

令A(yù)表示在單位圓盤？駐={z∈C：|z|<1}內(nèi)解析，且具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式

f（z）=z+anzn （z∈U）? （1）

的函數(shù)類，令S表示？駐內(nèi)單葉函數(shù)類。

設(shè)函數(shù)f（z）和g（z）在單位圓盤？駐內(nèi)解析，若存在？駐內(nèi)解析函數(shù)？棕（z）（不必單葉），滿足？棕（0）=0和? |？棕（z）|<1，使得

f（z）=g（？棕（z））（z∈？駐），

則稱函數(shù)f（z）從屬于g（z），或稱g（z）超從屬于f（z），記做

f（z）？芻g（z） （z∈？駐）。

顯然f（z）？芻g（z）（z∈？駐）？圯f（0）=g（0）和f（？駐）？奐g（？駐）。特別是，如果函數(shù)g在？駐內(nèi)單葉，則有

f（z）？芻g（z）（z∈？駐）？圳f（0）=g（0）和f（？駐）？奐g（？駐）。

顯然，每一個(gè)函數(shù)f∈S有逆映射f-1，滿足

f-1（f（z））=z （z∈？駐）

及

f（f-1（？棕））=？棕（|？棕|

對(duì)于具有（1）式形式的函數(shù)f∈S，g=f-1有如下形式：

g（？棕）=f-1（？棕）

=？棕-a2？棕2+（2a22-a3）？棕3-（5a23-5a2a3+a4）？棕4+… （2）

如果f和f-1在？駐內(nèi)單葉，則稱f為？駐內(nèi)雙向單葉函數(shù)，令∑表示？駐內(nèi)具有（1）式形式的雙向單葉函數(shù)類。1903年Faber引進(jìn)了函數(shù)f∈∑的Faber多項(xiàng)式展開，它的逆映射g=f-1的系數(shù)如下：

g（？棕）=f-1（？棕）=a2，a3，…）？棕n

這里

定義1.1[2] C的子集上函數(shù)f的q-導(dǎo)數(shù)為

（Dqf）（z）=（z≠0）? （3）

且（Dqf）（0）=f′（0）。

注意到，如果f可微的，則

由（3）可得

2018年，Sahsene Altinkaya在文獻(xiàn)中介紹了如下函數(shù)類，并獲得該函數(shù)類的上界。

定義1.2[1] 設(shè)？鬃∈∑是？駐上單葉函數(shù)，？追（？駐）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且？鬃′（0）〉0如果有以下的擬從屬關(guān)系

稱函數(shù)f∈∑屬于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函數(shù)類，其中g(shù)=f-1。

本文利用q-導(dǎo)數(shù)，類似定義1.2給出新一類雙向單葉函數(shù)的子類，并獲得該函數(shù)類的上界，改進(jìn)了2018年Sahsene Altinkaya在文獻(xiàn)中的結(jié)果。

2 主要結(jié)論

定義2.1 設(shè)？鬃∈∑是？駐上單葉函數(shù)，？追（？駐）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且？鬃′（0）〉0，如果有以下的擬從屬關(guān)系

則稱函數(shù)f∈∑屬于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函數(shù)類，其中g(shù)=f-1。

由定義2.1可知，f∈T∑（q;？姿）等價(jià)于，存在函數(shù)h（|h（z）|≤）使得

且

本文中，假設(shè)函數(shù)？鬃∈∑，具有？鬃（z）=1+B1z+B2z2 +…，Bi>0，z∈？駐形式的函數(shù)h在？駐上解析，且有? h（z）=H0+H1z+H2z2+…，|h（z）|≤1，z∈？駐。

定理2.2 若f∈T∑（q;？姿），且對(duì)2≤m≤n-1有am=0，則

證明 對(duì)形如（7）式的解析函數(shù)f，有

+1+2an+2？姿（[n]q

-1）-1）an-i+1]zn-1 （9）

（n-i+1+2bn+2？姿（[n]q

-1）bn+1]q-1）bn-i+1]？棕n-1 （10）

另一方面，由（7）（8）存在兩個(gè)Schwarz函數(shù) u（z

（1-？Dqg）（？棕）]2=h（？棕）？鬃（v（？棕））? （12）

由（7）和（9）得

（13）

同理，由（8）和（10），得

（14）

又am=0，2≤m≤n-1，可得bn=-an，從而

2[1+（[n]q-1）？姿]an=2an+2？姿（[n]q-1）an=B1Cn-1+Hn-1

2[1+（[n]q-1）？姿]bn=2bn+2？姿（[n]q-1）bn=B1dn-1+Hn-1

對(duì)上面兩個(gè)等式取絕對(duì)值，并由條件|Cn-1|≤1和|dn-1|≤1，有

證畢。

推論2.3 在定理2.2中取

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參考文獻(xiàn)：

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