李國基，周躍進

(安徽理工大學 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

因果中介分析在心理學，生物醫(yī)學以及社會科學方面有著廣泛應用。因果中介分析的目的是調(diào)查觀察到的自變量與因變量關(guān)系背后的機制，研究自變量如何通過中介變量對因變量產(chǎn)生效應。自變量直接對因變量產(chǎn)生的效應是直接效應，自變量通過中介變量對因變量產(chǎn)生的效應是間接效應。

自1986年Baron和Kenny[1]提出直接和間接效應以來，因果中介分析在效應估計方面有了大量成果。在交互作用存在時，Valeri等[2]提出矩估計方法對間接效應進行估計。VanderWeele等[3]提出了基于權(quán)的估計方法對間接效應進行估計。Valeri 和VanderWeele[4]運用迭代重加權(quán)最小二乘方法 估計了間接效應。VanderWeele[5]提出在邊際結(jié)構(gòu)模型下用處理加權(quán)逆概率法估計自然間接效應。Tchetgen Tchetgen和Shpitser[6]用多重魯棒估計估計間接效應。Usher[7]基于簡單中介模型，對無截距回歸方程進行間接效應估計，但結(jié)果不能對存在截距的結(jié)構(gòu)方程有很好的說明。

對存在截距的三變量結(jié)構(gòu)方程進行間接效應估計，并獲得間接效應估計量分布。建立簡單中介模型，并獲得結(jié)構(gòu)方程,由極大似然估計與delta方法獲得效應值估計量分布,對所得結(jié)果進行了模擬,應用所提出的方法分析社會經(jīng)濟指數(shù)-體重指數(shù)數(shù)據(jù)。

1 因果中介模型

假設(shè)X表示自變量，M表示中介變量，Y表示因變量。因果中介分析模型如圖1所示。

圖1 簡單中介模型

假定Y,X與M之間為線性關(guān)系且無交互作用，基于總效應與中介效應模型，Y,X與M之間的結(jié)構(gòu)方程式為

Y=i1+β1x+ε1，

(1)

Y=i2+β2x+β3m+ε2，

(2)

M=i3+β4x+ε3。

(3)

其中，β1和β2分別表示總效應和中介效應中Y與X的之間斜率，β4表示M與X之間的斜率，β3表示Y與M之間的斜率。i1,i2,i3表示截距，ε1,ε2,ε3表示誤差，且

結(jié)合式(2)與式(3)得

Y=i2+β2x+β3(i3+β4x+ε3)+ε2=

(i2+β3i3)+(β2+β3β4)x+(ε2+β3ε3)，

(4)

假設(shè)直接效應(DE)用a表示，而間接效應(IE)用b表示，總效應(TE)用c表示，則由式(1)，式(2)與式(4)得，a=β2,c=β2+β3β4或c=β1,從而

b=c-a=β1-β2=β3β4。

(5)

2 效應估計

為獲得間接效應的分布，運用極大似然方法[8]獲得結(jié)構(gòu)方程之中的各個參數(shù)估計。假設(shè)因變量、中介變量與自變量的樣本分別為

YT=(y1,y2…,yn),MT=(m1,m2…,mn),

XT=(x1,x2…,xn)。

由式(1)與式(2)，Y與M的聯(lián)合密度函數(shù)分別為

其中

θT=(i2,β2,β3),βT=(i3,β4),

因此，θ與β的似然函數(shù)為

所以，θ與β的對數(shù)似然函數(shù)為

參數(shù)β2,β3,β4估計量為

其中e1=(0,1,0),e2=(0,0,1),e3=(0,1)。

由于

其中

En=diag(1,1,…,1)。

其中

由delta方法可得定理如下：

3 模擬研究

運用模擬研究來評價提出方法的表現(xiàn)。對中介分析回歸方程

Y=i2+β2X+β3M+ε2,

M=i3+β4X+ε3,

其中，i2=1,i3=2,β2=0.3,β3=0.5,β4=0.2,ε2～N(0,1),ε3～N(0,1),運用R對分別進行樣本值為50,100, 500的模擬，重復500次，對所得結(jié)果取均值，獲得間接效應的極大似然估計量，進而獲得估計量的均方誤差。

3.1 自變量X服從正態(tài)分布

當自變量X～N(0，1),X～N(1,3),X～N(5,2)時，估計量均方誤差如表1：

表1 自變量服從正態(tài)分布的間接效應估計量均方誤差

通過表1可以看出當自變量X服從正態(tài)分布時，間接效應估計量均方誤差都較小，隨著樣本量的增加呈下降趨勢,因此提出的估計表現(xiàn)良好。

3.2 自變量X服從0-1分布

當自變量X～B(1,0.3),X～B(1,0.5),

X～B(1,0.7)時，估計量均方誤差如表2：

表2 自變量服從0-1分布的間接效應估計量均方誤差

通過表2可以看出當自變量X服從0-1分布時，間接效應估計量的均方誤差都較小，隨著樣本值的增加呈下降趨勢,因此提出的估計表現(xiàn)良好。

4 真實數(shù)據(jù)分析

運用提出的方法通過DNA甲基化位點(methylation)分析社會經(jīng)濟指數(shù)(SI)-體重指數(shù)(BMI)數(shù)據(jù)，評價17號染色體上的DNA 甲基化位點是否對社會經(jīng)濟指數(shù)和體重指數(shù)產(chǎn)生中介效應。社會經(jīng)濟指數(shù)是一個從1到100的區(qū)間，體重指數(shù)是用來篩選可能導致個體肥胖的體重類別。該數(shù)據(jù)包含了人類17號染色體上74個樣本的全血甲基化值[9]。甲基化值運用R methylumi 包進行預處理使數(shù)據(jù)歸一化。為了說明的方法，選擇連續(xù)的cg05157970 DNA甲基化位點作為中介。

對于本次的中介分析，以社會經(jīng)濟指數(shù)作為自變量，以連續(xù)的DNA 甲基化位點作為中介變量，以體重指數(shù)作為因變量。中介分析模型如下：

E(甲基化位點|社會經(jīng)濟指數(shù))=

i3+β4×社會經(jīng)濟指數(shù),

E(體重指數(shù)|社會經(jīng)濟指數(shù)，甲基化位點)=i2+β2×社會經(jīng)濟指數(shù)+β3×甲基化位點。

運用提出的方對直接效應與間接效應進行估計。直接效應和間接效應的方差和95%置信區(qū)間使用bootstrap方法產(chǎn)生200個bootstrap樣本進行估計。

表3 基于SI-BMI數(shù)據(jù)的中介效應估計

由表3可知，間接效應的絕對值大于直接效應絕對值。假設(shè)中介比(PM)用d表示，則

表明0.7153倍的總效應是通過提出的cg05157970中介路徑起作用的。此外，注意到自然間接效應絕對值足夠大，并且它的95%置信區(qū)間不包含0，表明cg05157970對社會經(jīng)濟指數(shù)與體重指數(shù)之間產(chǎn)生中介效應。

5 結(jié) 語

因果中介分析越來越受到人們的關(guān)注，是目前統(tǒng)計學的熱點問題之一。因此對簡單中介模型進行了研究，獲得間接效應的極大似然估計量，并由delta方法得到估計量的漸近分布。經(jīng)過模擬的結(jié)果可以看出，隨著樣本值增加，均方誤差減小，提出的方法表現(xiàn)良好。最后通過對社會經(jīng)濟指數(shù)-體重指數(shù)數(shù)據(jù)進行分析，驗證了此方法的有效性。不足之處是只對連續(xù)型的中介變量和因變量進行分析，有興趣的可對二元或零膨脹變量進行分析。