商啟發(fā), 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程是由整數(shù)階微分方程演變而來(lái)的，能夠處理整數(shù)階微分方程無(wú)法解決的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)階微分方程在許多科學(xué)領(lǐng)域有著重要的運(yùn)用，例如: 數(shù)學(xué)建模、物理、化學(xué)、生物技術(shù)、光學(xué)、熱學(xué)和信號(hào)處理等。因此分?jǐn)?shù)階微分方程變得越來(lái)越重要，引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究已有許多優(yōu)秀的成果[1-3]。朗之萬(wàn)方程是物理數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要方程，是用來(lái)描述布朗運(yùn)動(dòng)的。近年來(lái)分?jǐn)?shù)階朗之萬(wàn)方程受到了許多學(xué)者的關(guān)注，關(guān)于這方面的成果可見(jiàn)文獻(xiàn)[4-8]。

文獻(xiàn)[9]，研究了下列具有廣義分?jǐn)?shù)階積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階朗之萬(wàn)方程的解的存在性問(wèn)題:

其中

文獻(xiàn)[10]，研究了下列具有非局部積分邊值條件的非線(xiàn)性朗之萬(wàn)方程的解的存在性問(wèn)題:

受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā),研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階朗之萬(wàn)微分方程的邊值問(wèn)題見(jiàn)式(1)

(1)

其中0<α≤1,1<β≤2,a,b,λi∈R且

利用Banach壓縮映射原理和Leray-Schauder度理論給出了邊值問(wèn)題(1)解的唯一性與存在性充分性條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[11]連續(xù)函數(shù)f:(a,+)→R的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n-1<α≤n,n∈N+,Γ(·)是伽馬函數(shù)。

定義1.2[11]連續(xù)函數(shù)f:(a,+)→R的α階Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中n-1<α≤n,n∈N+,Γ(·)是伽馬函數(shù)。

引理1.3[12]如果α>0,則有

其中ci∈R,i=1,2,…,n。n為不小于α的最小整數(shù)。

為了方便起見(jiàn)，引入下面標(biāo)記：

等價(jià)于積分方程：

(2)

(3)

其中c0,c1，c2∈R。

從而

(4)

將c1代入(4)，即得到(2)。證畢。

2 主要結(jié)果

定義算子T:E→E，

首先，利用Banach 壓縮映像原理來(lái)討論邊值問(wèn)題(1)解的存在唯一性。

定理2.1假設(shè)下面條件成立：

(H1) 存在L>0，使得|f(t,x,y)-f(t,x1,y1)|≤L(|x-x1|+|y-y1|)，其中t∈[0,1]，x,x1,y,y1∈。若

則邊值問(wèn)題(1)存在唯一解。

作BR={x∈E:‖x‖≤R}。下證TBR?BR,?x∈BR。

對(duì)x,y∈E，t∈[0,1]

‖x-y‖+|λ|Λ(0)‖x-y‖+Ω‖x-y‖=

接下來(lái)利用Leray-schauder度理論來(lái)研究邊值問(wèn)題(1)解的存在問(wèn)題。

定理2.2假設(shè)下面條件成立：

|f(t,x,y)|≤L(|x|+|y|)+M,

則邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解。

證明：先證T在E是全連續(xù)的。下證T是全連續(xù)的，根據(jù)f的連續(xù)性可知T是連續(xù)的。令S={x∈E:‖x‖0},?x∈S

|λ|rΛ(0)+rΩ。

于是TS是一致有界的。設(shè)t1,t2∈[0,1]且t1

即知，當(dāng)t1→t2時(shí)，有|Tx(t2)-Tx(t1)|→0。因此TS是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理，可知TS是列緊的，從而T在E上是全連續(xù)的。

作Bc={x∈E:‖x‖≤c,c>0},使得x≠kTx,?x∈?Bc,?k∈[0,1]。令hk(x)=x-kTx,由拓?fù)涠韧瑐惒蛔冃灾?/p>

deg(h1,Bc,0)=deg(h0,Bc,0)=deg(I,Bc,0)=1≠0,

根據(jù)Leray-Schauder度的可解性知，

h1(x)=x-Tx=0,

在Bc上至少由一個(gè)解。假設(shè)x=kTx,其中x∈?Bc,k∈[0,1],則?t∈[0,1],由

|x(t)|=|kTx(t)|≤|Tx(t)|≤

|λ|Λ(0)+Ω)‖x‖+MΛ(β),

從而

|λ|Λ(0)+Ω)‖x‖+MΛ(β),

因此

令

則對(duì)任意x∈?Bc由x≠kTx并且k∈[0,1]。因此方程

h1(x)=x-Tx,

在Bc上至少由一個(gè)解，即T在Bc上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問(wèn)題(1)至少有一個(gè)解,證畢。

3 結(jié) 語(yǔ)

研究了一類(lèi)帶有廣義分?jǐn)?shù)階積分邊值條件的非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階朗之萬(wàn)方程解的唯一性和存在性。運(yùn)用的方法是Banach壓縮映像原理和 Leray-Schauder度理論。