張媛媛

(開封大學(xué)信息工程學(xué)院, 河南 開封 475000)

Mursaleen等[1]研究了半線性雙曲型和拋物型系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)邊值問題和初邊值問題整體廣義解和古典解的存在性、唯一性和正則性,這些偏微分方程的非線性系統(tǒng)或耦合系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域．一類非線性彈性波導(dǎo)方程

(1)

可用來描述用黏彈性材料制成的彈性金屬桿的振動(dòng)．在有界區(qū)域,具有耗散項(xiàng)的此類方程解的整體存在性和衰減性質(zhì)已有較多的研究成果[2-7], 但在無(wú)界區(qū)域此類方程解的特點(diǎn)尚不明朗．Feireisl[8]利用構(gòu)造1個(gè)合適半群的方法討論了無(wú)界區(qū)域具阻尼項(xiàng)波動(dòng)方程解的存在性．受文獻(xiàn)[9-11]的啟發(fā),本文擬對(duì)無(wú)界區(qū)域下問題(1) Cauchy問題解的整體存在性及其特點(diǎn)進(jìn)行探討．

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)論及證明

定理3假定下列條件成立:

i)g∈C1(RN×R), |g(s)|≤C1(|s|p+1), |g′(s)|≤C2(|s|p-1+1), 其中1≤p

ii)f∈H-2, (u0,u1)∈X(RN), ‖(u0,u1)‖X(RN)≤R0, 則問題(1)存在唯一解u, 且(u,ut)∈L∞(R+;X(RN)),u滿足‖u‖2+‖ut‖2≤C(R0,‖f‖H-2) (t≥0), 且‖ut‖2+‖utt‖2≤t-2(t2+1)C(R0)e-kt+C(‖f‖H-2) (t>0)．

設(shè)Ω=ΩR是無(wú)界區(qū)域RN中半徑為R的球, ‖·‖=‖·‖L2(Ω), ‖·‖p=‖·‖Lp(Ω)．首先,考慮方程在有界區(qū)域Ω內(nèi)對(duì)應(yīng)的初邊值問題

(2)

(3)

(4)

‖A1/4ut‖2+‖utt‖2≤C1(t2+1)t-2e-kt+C(R0,‖f‖V-2),t>0．

(5)

(6)

(7)

(8)