楊雅勛，楊福利，陳 東,2

(1.長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064; 2.上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司天津分公司 天津 300042)

0 引言

采用有限元模型對工程結(jié)構(gòu)分析已成為現(xiàn)在工程設(shè)計(jì)必不可少的環(huán)節(jié)。模型建立過程中的多種因素的簡化、截面尺寸誤差、材料性能參數(shù)、連續(xù)介質(zhì)離散化的精度及施工過程中某些不確定因素的影響等都會(huì)使初始有限元模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果存在偏差[1]。因此，務(wù)必考慮對初始有限元模型修正，使其與橋梁實(shí)際受力性能一致。

國內(nèi)外已對有限元模型修正進(jìn)行了一系列的研究，提出了幾種模型修正方法，主要有矩陣修正法、靈敏度法和響應(yīng)面法等[2]。矩陣修正法將質(zhì)量矩陣、剛度矩陣作為修正對象對有限元模型進(jìn)行修正，但復(fù)雜結(jié)構(gòu)的矩陣不容易得出，且修正后的矩陣往往不具有稀疏、對稱的性質(zhì)，喪失了其物理意義[3-5]。靈敏度法對于修正參數(shù)選取有較大隨機(jī)性和單一性，每次迭代必須調(diào)用程序計(jì)算，計(jì)算量較大，修正效率低[6-8]。響應(yīng)面法由于其精確性和高效性在優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠度分析和有限元模型修正中得到廣泛應(yīng)用[9-11]。

本研究對傳統(tǒng)響應(yīng)面法進(jìn)行改進(jìn)，并將改進(jìn)后響應(yīng)面法應(yīng)用到一座系桿拱橋的有限元模型修正中，以鋪裝層的厚度及各構(gòu)件的彈性模量和密度為待修正參數(shù)，采用F檢驗(yàn)法尋找顯著性高的參數(shù)，通過函數(shù)擬合構(gòu)造響應(yīng)面模型，再根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在響應(yīng)面內(nèi)優(yōu)化求解，得到最優(yōu)解對有限元模型進(jìn)行修正。在響應(yīng)面法的基礎(chǔ)上，利用成橋荷載試驗(yàn)數(shù)據(jù)對一座系桿拱橋模型進(jìn)行修正，修正前后誤差明顯降低，驗(yàn)證了該方法在系桿拱橋模型修正中的有效性。

1 基于響應(yīng)面法的有限元模型修正理論

1.1 修正參數(shù)及響應(yīng)參數(shù)的選取

通常選擇材料的彈性模量、密度、泊松比阻尼比、摩擦系數(shù)、支座剛度等作為待修正參數(shù)。當(dāng)基于動(dòng)力測試數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行修正時(shí)，響應(yīng)值通常為模態(tài)振型和模態(tài)頻率，當(dāng)基于靜力測試數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行修正時(shí)，響應(yīng)值通常為撓度和應(yīng)變。

1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

以有限的試驗(yàn)次數(shù)獲得最有效的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)鍵在于試驗(yàn)設(shè)計(jì)，樣本數(shù)據(jù)的增加能夠使模型的精確度提高，但大量的數(shù)據(jù)會(huì)使計(jì)算效率顯著降低[12]。因此，在不影響精度的前提下，選擇最具代表性的樣本數(shù)據(jù)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的中心原則。D-最優(yōu)設(shè)計(jì)是一種基于最小化協(xié)方差矩陣|(X′X)-1|的計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成的設(shè)計(jì)，在擬合響應(yīng)面模型時(shí)，其樣本個(gè)數(shù)為n=(k+1)(k+2)/2(k為待修正參數(shù)的數(shù)量)，與其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，具有較高的精度且試驗(yàn)次數(shù)少[12]。

參數(shù)顯著性檢驗(yàn)是對參數(shù)響應(yīng)值進(jìn)行方差分析，結(jié)合F檢驗(yàn)法，挑選顯著性高的參數(shù)。其基本原理是將總離差平方和分解為由各個(gè)試驗(yàn)因素引起的離差平方和SSA和試驗(yàn)數(shù)據(jù)本身偏差引起的離差平方和SSE，然后，構(gòu)造服從F分布的統(tǒng)計(jì)量FA：通過計(jì)算出的FA值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判定參數(shù)的顯著性。

統(tǒng)計(jì)量：

(1)

式中，dA為因素自由度數(shù)，dE為偏差自由度數(shù)。在方差分析中，對于給定的顯著性水平α，當(dāng)F≥F1-α(nc,ne)即P≤α?xí)r，則稱該因素對其影響顯著；否則，該因素對響應(yīng)值的影響不顯著。

1.3 改進(jìn)響應(yīng)面法

對于修正參數(shù)較多，輸入值和響應(yīng)值之間存在高度非線性的問題，傳統(tǒng)響應(yīng)面法構(gòu)造的響應(yīng)面模型往往精度不高，所以更適合局部模型的建立，而徑向基函數(shù)的方法可用于全局顯式模型的建立[13]。改進(jìn)響應(yīng)面法是將二階多項(xiàng)式與徑向基函數(shù)相結(jié)合作為響應(yīng)面的模型函數(shù),旨在提高模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)在參數(shù)取值的全局范圍內(nèi)的契合度，提高模型修正的精度。

根據(jù)最佳一致理論中的哈文條件的等價(jià)定義[14]，徑向基函數(shù)是未知函數(shù)唯一的最佳一致逼近形式[13]。根據(jù)不同的徑向基函數(shù)的函數(shù)近似結(jié)果，發(fā)現(xiàn)對不同類型的測試函數(shù)、高斯函數(shù)的均方根誤差均較小，說明高斯徑向基函數(shù)具有良好的擬合適應(yīng)性、較高的精度和應(yīng)用的廣泛性[15]。所以，選擇高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，隨著空間維數(shù)的增加，計(jì)算量呈線性增長，對模型的非線性模擬適應(yīng)能力強(qiáng)[16-19]。因此,將多項(xiàng)式函數(shù)和徑向基函數(shù)相結(jié)合作為響應(yīng)面函數(shù)，形成混合響應(yīng)面[20-23]，即改進(jìn)響應(yīng)面法。

傳統(tǒng)響應(yīng)面法一般選用二階多項(xiàng)式作為響應(yīng)面模型函數(shù)式[24]，其函數(shù)形式如式(2)；對傳統(tǒng)響應(yīng)法進(jìn)行改進(jìn)，在二階多項(xiàng)式后增加高斯函數(shù)項(xiàng)，旨在提高響應(yīng)面擬合精度，其方程形式如式(3)：

(2)

(3)

文獻(xiàn)[13]通過大量的數(shù)值算例驗(yàn)證，總結(jié)出σ取值的經(jīng)驗(yàn)公式：

(4)

式中r0為設(shè)計(jì)空間內(nèi)最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離。

檢驗(yàn)響應(yīng)面擬合程度可靠性的標(biāo)準(zhǔn)有：

(5)

(6)

1.4 優(yōu)化求解

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)對響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化求解[25]。目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如式(7)：

(7)

式中，fi為響應(yīng)面模型的計(jì)算值，fii為結(jié)構(gòu)的實(shí)測值。在參數(shù)取值區(qū)間內(nèi)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)F取最小值時(shí)，得到參數(shù)最優(yōu)解，即修正后的參數(shù)取值。

2 有限元模型修正

2.1 工程概況與有限元模型建立

貴州岑鞏黃弓大橋?yàn)?52+70+52) m的三跨系桿拱橋，拱軸線為二次拋物線，主拱矢高14 m。主拱圈和縱梁均為2 m×1.2 m的矩形截面，中橫梁為1.35 m×0.8 m的矩形截面，橫撐為1.2 m×1 m的內(nèi)八角形箱形截面，均為鋼筋混凝土材料；吊桿采用消除預(yù)應(yīng)力鍍鋅高強(qiáng)鋼絲束。材料參數(shù)見表1。根據(jù)橋梁的結(jié)構(gòu)信息，采用ANASYS建立主橋的有限元模型如圖1所示。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

圖1 黃弓大橋有限元模型Fig.1 Finite element model of Huanggong Bridge

2.2 靜動(dòng)載試驗(yàn)2.2.1 靜載試驗(yàn)

按照作用效應(yīng)等效的原則進(jìn)行荷載試驗(yàn)，獲得主拱圈跨中和縱梁跨中各測點(diǎn)的數(shù)據(jù)。為保證其合理有效性，按影響線的最不利位置進(jìn)行加載，并保證各截面的加載效率在0.95～1.05之間，本次靜載試驗(yàn)共采用4輛35T的三軸加載車，設(shè)置4個(gè)工況：

(1)工況1：L/2拱肋、縱梁截面最大正彎矩中載工況；

(2)工況2：L/2拱肋、縱梁截面最大正彎矩偏載工況。

(3)工況3：L/4拱肋、縱梁截面最大正彎矩中載工況；

(4)工況4：L/4拱肋、縱梁截面最大正彎矩偏載工況。

荷載試驗(yàn)中應(yīng)變和撓度測點(diǎn)布置圖如圖2所示，現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)如圖3所示。測試多組數(shù)據(jù)取平均值并進(jìn)行處理，消除沉降影響，由于殘余應(yīng)變和殘余撓度在合理范圍內(nèi)，消除殘余應(yīng)變和殘余撓度，得到各工況下的應(yīng)變和撓度測試數(shù)據(jù)見表2。

圖2 荷載試驗(yàn)測點(diǎn)布置示意圖Fig.2 Schematic diagram of arrangement of measuring points in load test

圖3 現(xiàn)場荷載試驗(yàn)Fig.3 Field load test

表2 靜載試驗(yàn)應(yīng)變值Tab.2 Strain values in static load test

表3 靜載試驗(yàn)撓度值Tab.3 Deflection values in static load test

2.2.2動(dòng)載試驗(yàn)

采用行車激勵(lì)的方法對橋梁進(jìn)行動(dòng)力測試，使用加速度傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)收集。在主橋的拱肋L/2截面和橋面L/2截面的拱肋上緣和橋面分別布置測點(diǎn)，測試結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率。以一輛35T的激勵(lì)車分別以15，30，45 km/h速度對橋梁進(jìn)行激勵(lì)，采集多組數(shù)據(jù)并進(jìn)行處理，對比個(gè)階模態(tài)對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后得到各階頻率實(shí)測值，并將實(shí)測值與計(jì)算值對比見表4。

表4 自振頻率對比Tab.4 Comparison of natural frequencies

2.3 有限元模型修正2.3.1 修正參數(shù)及響應(yīng)值選取

對本橋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，得出可能造成模型與實(shí)橋存在偏差的因素有：材料特性參數(shù)、幾何尺寸，邊界條件等。研究中模型是根據(jù)施工圖建立的，截面幾何尺寸誤差較小，橋墩與縱梁簡支連接，橋墩變形對頻率響應(yīng)影響較小，但施工過程中標(biāo)高控制誤差的存在會(huì)使成橋后的橋面鋪裝層厚度產(chǎn)生誤差，以材料參數(shù)和橋面鋪裝層厚度作為修正對象，在設(shè)計(jì)值上下20%內(nèi)進(jìn)行取值，參數(shù)及修正范圍見表5。

表5 模型修正參數(shù)選取Tab.5 Model correction parameter selection

2.3.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與參數(shù)顯著性分析

根據(jù)實(shí)橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與本次模型修正的目的，選擇工況1作用下拱頂截面撓度d1，d2,縱梁跨中撓度d3，d4及前三階頻率f1，f2，f3作為響應(yīng)值進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。由于待修正參數(shù)較多，按照取最少樣本點(diǎn)獲得最有效的數(shù)據(jù)原則，選擇D-最優(yōu)準(zhǔn)則的計(jì)算機(jī)生成設(shè)計(jì)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到65個(gè)(55個(gè)設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)+5個(gè)不匹配點(diǎn)+5個(gè)最佳重復(fù)點(diǎn))隨機(jī)樣本點(diǎn)見表6，將樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)代入有限元模型得到響應(yīng)值見表7，并進(jìn)行方差分析。根據(jù)各參數(shù)類型及其對應(yīng)顯著水平值得顯著性分析圖，如圖4所示：

表6 D-最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.6 D-optimal test design parameters

表7 D-最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)響應(yīng)值Tab.7 D-optimal test design response values

圖4 參數(shù)顯著性分析Fig.4 Parameter significance analysis

本次分析中設(shè)置顯著性水平為0.05，當(dāng)p∈[0,0.001]時(shí)，該參數(shù)影響高度顯著；當(dāng)P∈(0.001,0.05]，該參數(shù)影響顯著；當(dāng)P∈(0.05,1]時(shí)，該參數(shù)影響不顯著。參數(shù)對頻率的顯著性分析結(jié)果表明，主效應(yīng)中E1，D1，E2，D2對前三階頻率影響高度顯著，E3，D3，E4對前三階頻率影響顯著；大部分參數(shù)交互項(xiàng)和二次項(xiàng)對前三階頻率影響不顯著。參數(shù)對撓度的顯著性分析結(jié)果表明，主效應(yīng)中彈性模量對撓度影響高度顯著；部分參數(shù)的交互作用對撓度影響顯著，主要為各構(gòu)件彈性模量交互項(xiàng)；縱梁彈性模量二次項(xiàng),縱梁密度二次項(xiàng)對撓度影響高度顯著，其他二次項(xiàng)分別對d1，d2，d3，d4的顯著性有不同程度的影響。橋面鋪裝層厚度對撓度影響高度顯著，分析原因，主要為鋪裝層層厚度在一定程度上改變了橋梁的整體剛度。

圖5 部分響應(yīng)面模型Fig.5 Partial response surface models

2.3.3響應(yīng)面擬合

2.3.4優(yōu)化求解

將設(shè)計(jì)參數(shù)代入響應(yīng)面模型得到計(jì)算值，構(gòu)造計(jì)算值與實(shí)測值目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行優(yōu)化求解，采用粒子群優(yōu)化算法求解，得到修正后的參數(shù)見表9。將修正后的全部參數(shù)代入有限元模型計(jì)算，得到頻率和撓度的計(jì)算值并與實(shí)測值進(jìn)行對比見表10。

表8 響應(yīng)面精度檢驗(yàn)Tab.8 Response surface accuracy test

表9 優(yōu)化求解后的參數(shù)Tab.9 Parameters after optimization

表10 工況1修正前后響應(yīng)值對比Tab.10 Comparison of response values before and after correction of working condition 1

由表9可以發(fā)現(xiàn)，有限元模型修正后，各構(gòu)件的彈性模量均增大，吊桿的彈性模量較初始值增加了0.065倍；拱肋、縱梁、橫梁的彈性模量值較初始值都增加了0.14倍以上；鋪裝層厚度比初始值增加了約0.04倍，拱肋的密度較初始值則減少了0.09倍，其余各構(gòu)件密度較初始值變化不大，均在0.03倍之內(nèi)。分析原因可能為：(1)拱肋結(jié)構(gòu)、縱梁、橫向聯(lián)系中鋼筋的存在增大了構(gòu)件的彈性模量，而初始有限元模型中未考慮鋼筋的影響；(2)施工中使用的水泥或者混凝土標(biāo)號高于設(shè)計(jì)值；(3)拱肋澆注過程中振搗不完全，造成密實(shí)度降低。修正后的彈性模量可視為各鋼筋混凝土構(gòu)件的整體彈性模量，反映了各構(gòu)件的實(shí)際剛度。

由表10可以發(fā)現(xiàn)，修正后的頻率響應(yīng)值誤差由初始的13%左右降到1%以內(nèi)，修正后的撓度響應(yīng)值誤差由20%降至1.8%以內(nèi)，在可接受的范圍內(nèi)。結(jié)果表明：響應(yīng)面法可以實(shí)現(xiàn)對系桿拱橋結(jié)構(gòu)有限元模型修正，且精度能滿足工程要求。

2.3.5結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力響應(yīng)驗(yàn)證

將原有限元模型中的參數(shù)改為修正值，計(jì)算不同工況下的響應(yīng)值，并與實(shí)測值對比，圖6表明，修正后的有限元模型響應(yīng)值與實(shí)測值偏差明顯降低。

圖6 模型修正前后計(jì)算結(jié)果對比圖Fig.6 Comparison of calculation results before and after model correction

3 結(jié)論

以貴州岑鞏黃弓大橋?yàn)槔?，結(jié)合靜動(dòng)力測試數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)響應(yīng)面法，對該橋的有限元模型進(jìn)行了修正，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，結(jié)合徑向基函數(shù)，將傳統(tǒng)響應(yīng)面法進(jìn)行改進(jìn)，增加了對模型非線性模擬的適應(yīng)性，提高了響應(yīng)面的擬合精度?；陟o動(dòng)力測試數(shù)據(jù)在響應(yīng)面內(nèi)優(yōu)化求解，以修正參數(shù)進(jìn)行D-最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，避免了采樣點(diǎn)的主觀性，降低了樣本點(diǎn)采集數(shù)量，提高了樣本點(diǎn)質(zhì)量；縮減有限元模型的調(diào)用頻率，模型修正的效率提高。

(2)建立了貴州岑鞏黃弓大橋有限元模型，結(jié)合靜動(dòng)力測試數(shù)據(jù)得到對撓度的主要響應(yīng)因素為彈性模量E二次項(xiàng)效應(yīng)，并將鋪裝層厚度作為修正參數(shù)，分析得出鋪裝層厚度對頻率影響不顯著，對撓度影響高度顯著。因此，在今后的分析中鋪裝層厚度對橋梁的靜力特性的影響不可忽略。

(3)利用改進(jìn)的響應(yīng)面法修正后的系桿拱橋有限元模型，其計(jì)算值更接近于實(shí)測值，頻率誤差由原來的13%左右降至1%以內(nèi)，撓度誤差由原來的20%左右降至1.8%以內(nèi)，在結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力響應(yīng)驗(yàn)證中，修正后有限元模型的響應(yīng)值與實(shí)測值相吻合，為以后的橋梁結(jié)構(gòu)受力性能再分析、承載能力評估等提供了基準(zhǔn)有限元模型，對橋梁服役期內(nèi)的健康監(jiān)測與結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別具有重要意義與實(shí)用價(jià)值。