林英語

（晉江市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 晉江36220）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》將發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題作為“四能”列入數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)，［1］由此帶動數(shù)學(xué)“四能”培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐改革。在一系列教學(xué)實(shí)踐改革中，教學(xué)者不斷嘗試與融入各種有創(chuàng)意的課堂教學(xué)策略，如“玩數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“演數(shù)學(xué)”等等，期望以多元化的策略促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)“四能”的發(fā)展，突破“聽數(shù)學(xué)”“算數(shù)學(xué)”等傳統(tǒng)教學(xué)策略在能力培養(yǎng)上的局限。以北師大版六年級《圓的面積（二）》一課為例，分析“畫數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”策略在數(shù)學(xué)“四能”培養(yǎng)上的作用與運(yùn)用。

一、以“畫”助“說”，驅(qū)動問題提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)質(zhì)是一個問題提出與問題解決相互關(guān)聯(lián)、互為促動的迭代活動。結(jié)合數(shù)學(xué)“四能”來看，可將發(fā)現(xiàn)與提出問題統(tǒng)整為問題提出，將分析與解決問題歸屬于問題解決。在問題提出的活動中，發(fā)現(xiàn)問題側(cè)重于對問題的關(guān)注與對問題的敏感度，體現(xiàn)為學(xué)生能多角度、多方面從看似無關(guān)的現(xiàn)象中敏感地發(fā)現(xiàn)問題的存在；提出問題則是對問題“目標(biāo)、給定與差距”等要素的再思考，對問題的數(shù)學(xué)化表達(dá)與精致，并包含對問題價值性、適合性、可探究性的評價與選定。能否提出具有思考性、探究性和價值性的數(shù)學(xué)問題，在一定程度上受限于問題提出情境的刺激。而數(shù)學(xué)問題提出的情境多種多樣，但一般認(rèn)為可歸為現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境［2］三種類型。因此，從情境與問題的關(guān)系看，數(shù)學(xué)問題提出就是引導(dǎo)學(xué)生在不同語言形式表達(dá)的情境中閱讀、發(fā)現(xiàn)、提取數(shù)學(xué)信息，并從目標(biāo)、給定、差距等方向去分析信息間的聯(lián)結(jié)，以數(shù)學(xué)化的形式將已知與欲知信息問題化。在眾多的情境表達(dá)方式中，由于圖形語言可以把復(fù)雜的信息簡明化、形象化，并對應(yīng)于幾何直觀與空間想象，因此，在情境中運(yùn)用畫圖策略，以圖形來描述信息或分析信息，有利于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀、空間想象說出信息關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而驅(qū)動數(shù)學(xué)問題提出。

例如，在《圓的面積（二）》一課的問題提出階段，在前課《圓的面積（一）》已經(jīng)知道圓可轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅芜M(jìn)行面積推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，教師可呈現(xiàn)圓的圖形、公式與平行四邊形的公式。然后運(yùn)用“畫圖”策略，畫出平行四邊形的一條對角線，引導(dǎo)學(xué)生在畫中看、看中思、思中問，用幾何直觀、空間想象、數(shù)學(xué)直覺、邏輯推理、聯(lián)想等思維，發(fā)現(xiàn)、提取與分析信息，建立起圓、平行四邊形、三角形等圖形與公式的思維聯(lián)結(jié)，提出“圓可否轉(zhuǎn)化為三角形，并用三角形的面積來推導(dǎo)圓的面積”的探索性問題。通過比較分析前課所知的圓面積公式與三角形面積公式，推測三角形的底是圓的周長、高是圓的半徑（如圖1），使問題進(jìn)一步數(shù)學(xué)化。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了圖形語言在情境中驅(qū)動問題提出的作用。

圖1

二、以“畫”導(dǎo)“說”，促進(jìn)問題解決

問題提出后，學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程必然是分析問題與解決問題。分析與解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維、思路、思想的運(yùn)用與發(fā)展。面對新的問題，學(xué)生會如何思考與分析呢？會運(yùn)用哪些思想與思維呢？會采用哪種思路呢？探明這些問題，是推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程、培養(yǎng)問題解決能力的關(guān)鍵。這些問題具有內(nèi)隱的特點(diǎn)，需要教師采用有效策略將其外顯化，以更好地觀察與評估?！爱嬓巍薄罢f理”是較好的思維外顯化形式，一種以“畫形”將思維可視化，另一種則以“說理”將思維可聽化。將“畫形”“說理”交融運(yùn)用于問題分析與解決的過程中，一方面能增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)直觀、空間想象于分析問題的意識與能力；另一方面能以“畫”導(dǎo)“說”，以形（形象思維）通理（抽象思維），促進(jìn)問題解決。同時，教師通過觀察與分析學(xué)生“畫形”“說理”的角度、方式與內(nèi)容，能更準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)與評價學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的思考方式、能力水平，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)性評價的精準(zhǔn)性，使補(bǔ)充與調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)觀念與調(diào)整思維思路能更加適時、適宜與適效，實(shí)現(xiàn)適性且深度的教學(xué)。

例如，在《圓的面積（二）》一課的問題解決階段，教師可讓學(xué)生小組合作，有序畫出圓形的環(huán)與三角形的線（如圖2），引導(dǎo)學(xué)生邊操作、邊觀察、邊思考，并在小組內(nèi)說說兩個圖形的可能關(guān)聯(lián)，小組間交流與質(zhì)疑想法。首先，通過操作性畫圖，使學(xué)生產(chǎn)生思維的基點(diǎn)；其次，通過比較、觀察，觸動學(xué)生思維的生長點(diǎn)；最后，通過生生間的互動“說”，促使思維延伸與拓展，形成大膽的理性的推測，體現(xiàn)以“畫”導(dǎo)“說”。為了使推測有理據(jù)可“說”，隨后的教學(xué)可結(jié)合剪圓杯墊重組成三角形的直觀操作活動找出證據(jù)，并在此基礎(chǔ)上引入數(shù)學(xué)詞匯或符號，說一說推導(dǎo)與發(fā)現(xiàn)，概括說出圓的面積可轉(zhuǎn)化為三角形的面積進(jìn)行求導(dǎo)。

圖2

三、“畫”“說”結(jié)合，參悟問題本質(zhì)

動作語言、文字語言、圖形語言、符號語言等均是數(shù)學(xué)問題提出與問題解決教學(xué)的表征形式。不同表征形式對應(yīng)不同的思維類型，如動作語言、圖形語言對應(yīng)動作直觀、幾何直觀，側(cè)重形象思維；文字語言、符號語言側(cè)重于抽象思維、邏輯思維等。通過綜合與靈活運(yùn)用多種表征形式來展開數(shù)學(xué)問題提出與問題解決的教學(xué)，更有利于迎合不同學(xué)生的思維優(yōu)勢，發(fā)展學(xué)生的綜合思維。對于發(fā)展“四能”，實(shí)現(xiàn)“三會”（會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界）［3］也具有重要的意義?！爱嫛薄罢f”兩種活動，或者兩種表達(dá)方式，基本上囊括了動作語言、文字語言、圖形語言、符號語言等多種語言形式，并且具有過程性與結(jié)果性的特點(diǎn)，能較好地落實(shí)教學(xué)評的協(xié)調(diào)一致與融通一體。在教學(xué)總結(jié)階段，將“畫”“說”有機(jī)結(jié)合呈現(xiàn)，有助于學(xué)生運(yùn)用多種思維參悟數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象總結(jié)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

例如，在《圓的面積（二）》的總結(jié)階段，可運(yùn)用學(xué)習(xí)單，呈現(xiàn)多種推導(dǎo)圓面積公式的圖形（如圖3）。通過問題清單，如“觀察這些圖形，你發(fā)現(xiàn)圓的面積是如何推導(dǎo)的？”“你能說說圓的面積推導(dǎo)運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想或方法嗎？”“這種數(shù)學(xué)思想或方法，你以前用過嗎？還可以運(yùn)用在什么數(shù)學(xué)問題的解決上呢？”引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納推理，抽象概括，進(jìn)行抽象“說”、概括“說”、本質(zhì)“說”、遷移應(yīng)用“說”，從而使教學(xué)指向致知（圓面積與半徑大小有關(guān)，與半徑平方成正比）、明理（等積變形思想）、達(dá)用（在生活生產(chǎn)實(shí)踐中，在新數(shù)學(xué)問題的解決中的思想與方法應(yīng)用）的境界。

圖3