崔冉冉 葛立蕓 姜 科

(1.青島理工大學(xué)管理工程學(xué)院，山東 青島 266520；2.青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266520)

1 問題分析及假設(shè)

首先，我們分析了理想狀態(tài)下球和鼓的運(yùn)動(dòng)，得到時(shí)間軌跡如圖1。

為了將球的跳動(dòng)方向由傾斜狀態(tài)改為豎直狀態(tài)，需要調(diào)整鼓的傾斜角度，使得鼓的傾斜角度和球的跳動(dòng)方向的傾斜角度相同，以此來抵消球的水平方向分速度。假設(shè)第i個(gè)隊(duì)員在ti時(shí)刻發(fā)力，隊(duì)員對(duì)發(fā)力時(shí)機(jī)的誤差為1s。Fi是沿繩方向的恒力。Fi可分解為水平方向和豎直方向2個(gè)方向上的分力。水平方向分量僅作用于空心鼓的水平移動(dòng)，鼓面傾斜僅取決于豎直方向分量。在描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系時(shí)，可只考慮Fi的豎直分量。將鼓面傾斜看做剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該項(xiàng)目的道具是一面牛皮雙面鼓，可將鼓簡化成薄壁圓筒。

圖1

其中，λ為環(huán)密度。依據(jù)垂直軸定理

Jz=Jx+Jy

因?yàn)閳A環(huán)任意兩個(gè)方向?qū)ΨQ，所以

Jx=JyJz=mR2(Jz為均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)

而經(jīng)分析可知，僅豎直分量對(duì)鼓的旋轉(zhuǎn)有影響，將所有豎直分量的力矩相加得到總力矩和：

對(duì)于此式，應(yīng)在不同時(shí)間段分階段計(jì)算總力矩和，下面為力與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系：

將鼓面傾斜視為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律可求得鼓轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度：

Mz=Jcβ

而調(diào)整鼓的傾斜角度可考慮以下方案：僅改變部分隊(duì)員的用力大小，所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)相同；僅改變部分隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)，所有隊(duì)員用力大小相同。由于球的傾斜角度介于2位隊(duì)員之間，因此僅需要調(diào)整球的傾斜角度兩側(cè)隊(duì)員的發(fā)力策略。

為了更好地解決問題，本文在此給出以下假設(shè)：

(1)假設(shè)忽略鼓和排球運(yùn)動(dòng)過程中的空氣阻力；

(2)假設(shè)忽略鼓和排球撞擊過程中的阻尼運(yùn)動(dòng)，不計(jì)能量損耗；

(3)假設(shè)隊(duì)員們無差別，即簡化為n個(gè)相同的隊(duì)員站成圓形，初始時(shí)刻每個(gè)隊(duì)員以相同姿勢手握繩子末端，能使得鼓面保持平行狀態(tài)；

(4)假設(shè)忽略雙面牛皮的重量，鼓可簡化成薄壁圓筒；

(5)由于鼓傾斜度角度較小，假設(shè)其對(duì)繩夾角大小和力矩的影響可以忽略；

(6)假設(shè)其它未考慮因素對(duì)所求結(jié)果影響不大。

2 模型的建立

第1步：隊(duì)員間距離應(yīng)滿足大于0.6m的條件：

第2步：由幾何關(guān)系可知，鼓最后的傾斜角度與撞擊前瞬間排球速度與豎直方向夾角相等。由拋物線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：初速度與豎直方向的夾角和下落到相同高度時(shí)速度與豎直方向夾角相等，即：δ=φ

第3步：給定其余隊(duì)員的用力大小，將2位隊(duì)員的發(fā)力大小設(shè)為未知數(shù)，計(jì)算所有隊(duì)員對(duì)于鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩和所有隊(duì)員產(chǎn)生的總力矩：Mi=ri×Fi

第4步：所有隊(duì)員產(chǎn)生的總力矩應(yīng)該與球的傾斜方向在水平面的投影垂直：Mz·rσ= 0

求得鼓的角加速度并求出合力矩：

Mz=Jcβ

利用以下公式將弧度轉(zhuǎn)化為角度：

由以上可求得這2位隊(duì)員的用力大小。

3 模型的求解

方便起見，假設(shè)0.11s時(shí)隊(duì)友施加力后，鼓的傾斜角度為預(yù)定值；隊(duì)員間距離等于0.6m。代入8位普通隊(duì)員的用力大小為80N，即：Fi=80N，i=3，4，…，10

得到2位隊(duì)友的用力大小分別為：F1=77.407879N；F2=78.674985N

即在發(fā)力時(shí)機(jī)相同的時(shí)候，隊(duì)員1用力77.407879N，隊(duì)員2用力78.674985N。

對(duì)于另一種情況：所有隊(duì)員大小相同，部分隊(duì)員發(fā)力大小不同，計(jì)算方式與此類似，不再贅述。

4 策略的現(xiàn)實(shí)意義

(1)實(shí)際情況下，所有隊(duì)員的發(fā)力情況不可能被精準(zhǔn)控制，排球和鼓在空氣中運(yùn)動(dòng)會(huì)受到的空氣阻力，撞擊過程中還存在阻尼運(yùn)動(dòng)和能量損耗。故此，調(diào)整策略的實(shí)施效果有折扣，但對(duì)球方向的調(diào)整有積極作用。

(2)本文對(duì)于維持鼓面平行的模型可以推廣至工地塔吊高空運(yùn)輸平衡器的研發(fā)，乒乓球、網(wǎng)球等拍擊球類運(yùn)動(dòng)中，調(diào)整球類運(yùn)動(dòng)軌跡的分析中。