黃鑫茹

摘 要：皮卡定理的證明有四步，第一步是將初值問題等價于積分問題，第二步是用逐次替代法構(gòu)造皮卡序列，第三步是證明皮卡序列一致收斂，第四步是證明唯一性。第四步普遍采用的是設(shè)兩個解做兩個解的差再用歸納法，本文用兩個解的差，再湊函數(shù)利用最后積分得到我們要的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：皮卡序列; 逐次迭代法 ;條件;判別法 ;不等式積分

證明初值問題其中在矩形區(qū)域：，上連續(xù)，并且對滿足條件：即存在，使對所有，常成立，則初值問題在區(qū)間上的解存在且唯一，這里，

由五個命題來證明存在唯一性，命題一：初值問題等價于積分方程：（1）。證明：若為初值問題的連續(xù)解，則對第一式從到取定積分得 即 故為（1）式的連續(xù)解。反之若為（1）式的連續(xù)解，則有 由于在上連續(xù)，從而連續(xù)，故對上式兩邊求導(dǎo)，得 且 即為初值問題的連續(xù)解。構(gòu)造逐步逼近函數(shù)列

（2）

命題二：對于所有，連續(xù)且滿足。用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，顯然在上連續(xù)，且設(shè)命題二當(dāng)時成立，即上連續(xù)且。當(dāng)時 。由在上連續(xù)性知，在上連續(xù)，從而在上連續(xù)且即命題二當(dāng)時成立，從而命題二對所有都成立。

命題三：函數(shù)序列在上一致收斂，記，。

證明：考慮函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，

（3）。它的前n項(xiàng)部分和為，于是一致收斂性與級數(shù)（3）一致收斂性等價。通過找規(guī)律對級數(shù)（3）的通項(xiàng)進(jìn)行估計由條件可知

設(shè)對于正整數(shù)n，有不等式，則當(dāng)時，由條件有

于是由數(shù)學(xué)歸納法得知，對所有正整數(shù)n，有，其中。從而當(dāng)時，，

由于正項(xiàng)級數(shù)收斂，由判別法知，級數(shù)（2）在上一致收斂。因而函數(shù)序列在上一致收斂。

現(xiàn)設(shè)，，則由在的連續(xù)性和一致收斂性得，在上連續(xù)，且

命題四：是積分方程（1）定義于上連續(xù)解。證明：由條件有以及在的一致收斂得函數(shù)列在上一致收斂于函數(shù)，因此對（2）式兩邊取極限得， 即。故是積分方程（1）定義于上連續(xù)解。

命題五：設(shè)是積分方程（1）定義于上的一個連續(xù)解，則，。證明：設(shè)，則是定義于上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由? ?及條件得：

令 則是定義于，且，，，于是，，對最后一個不等式從積分得，故，即

由于用積分法證明唯一性涉及連續(xù)性因此有了第四步的證明連續(xù)解，因?yàn)榉e分法雖然比兩解的歸納法復(fù)雜但是它更通俗易懂。