摘要：消防員等高溫環(huán)境工作者都會(huì)配備熱防護(hù)服，保障高溫作業(yè)人員在接近熱源時(shí)免受傷害。熱防護(hù)服通常由三層織物材料構(gòu)成，服裝與人體皮膚之間還有一定的空隙，可認(rèn)為人體與外環(huán)境之間存在四層隔離。本文建立四層隔離和皮膚層之間的熱傳導(dǎo)模型，用有限差分法求解熱傳導(dǎo)的偏微分方程，對(duì)熱防護(hù)服進(jìn)行設(shè)計(jì)，確定熱防護(hù)服各層的厚度范圍。最后從安全和舒適兩個(gè)目標(biāo)出發(fā)建立雙目標(biāo)優(yōu)化模型并求解，得到熱防護(hù)服的各層最優(yōu)厚度。

Abstract： Firemen and other high-temperature environmental workers should be equipped with protective clothing against heat to avoid injuries while approaching heat sources. Protective clothing against heat is usually composed of three layers of fabric material， and the air between clothing and human skin can be regarded as the fourth layer of isolation between external environment and human body. In this paper， the heat conduction model between the four layers of insulation and human body is established. The partial differential equation of heat conduction is solved by the finite difference method， and the thickness range of each layer of thermal protective clothing is designed. Finally， based on the safety and comfort objectives， a double object optimization model is established and solved to obtain the optimal thickness of each layer of thermal protective clothing.

關(guān)鍵詞：熱防護(hù)服;熱傳導(dǎo);有限差分法

Key words： protective clothing against heat;heat conduction;finite difference method

中圖分類(lèi)號(hào)：TS941.2???????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1006-4311（2020）28-0194-02

1? 問(wèn)題簡(jiǎn)述

1.1 背景? 消防員等高溫環(huán)境工作人員都會(huì)配備具有防火、隔熱、阻燃等特性的專(zhuān)用工作服，穿上這種服裝，高溫作業(yè)人員即使接近熱源，也不會(huì)受到酷熱、火焰、蒸汽等的侵害。高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝一般由三層織物材料構(gòu)成，當(dāng)物質(zhì)之間存在溫度差時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)熱量傳遞的現(xiàn)象。

1.2 需要解決的問(wèn)題? 利用數(shù)學(xué)模型解決以下問(wèn)題：①對(duì)環(huán)境溫度為75℃、防護(hù)服II層厚度為6mm、IV層厚度為5mm、工作時(shí)間為90分鐘的情形開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，記錄假人皮膚外側(cè)溫度。根據(jù)環(huán)境溫度和假人皮膚外側(cè)溫度求中間各層的溫度分布。②當(dāng)環(huán)境溫度為65℃、IV層的厚度為5.5mm時(shí)，確定II層的最優(yōu)厚度，確保工作60分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。③當(dāng)環(huán)境溫度為80℃時(shí)，確定II層和IV層的最優(yōu)厚度，確保工作30分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。

2? 溫度的分布

2.1 熱傳導(dǎo)過(guò)程? 首先將人體形狀視作圓柱體。假人體內(nèi)溫度恒定37℃，但是假人皮膚外側(cè)的溫度是變化的，所以人體并不能看作一種物質(zhì)構(gòu)成的整體，而應(yīng)該包含皮膚層和內(nèi)部?jī)煞N結(jié)構(gòu)。

本題中熱量在空間上的傳導(dǎo)為一維形式，如下式：

（1）

熱防護(hù)服的熱傳導(dǎo)過(guò)程如圖1所示，最右側(cè)的人體實(shí)際上是人體皮膚外側(cè)，計(jì)算時(shí)使用實(shí)驗(yàn)記錄的人體皮膚外側(cè)溫度作為右邊界條件。圖中I、II、III、IV四層各自均符合熱傳導(dǎo)方程式，對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行離散處理，形成時(shí)間空間網(wǎng)格，用有限差分的方法解熱傳導(dǎo)微分方程。

根據(jù)熱傳導(dǎo)情況和對(duì)人體的假設(shè)，可以列出一個(gè)帶有求偏導(dǎo)數(shù)的方程，在有初始條件和邊界條件限制時(shí)，此方程存在唯一穩(wěn)定的解。初始條件即初始0時(shí)刻的時(shí)候，各個(gè)位置的函數(shù)值。邊界條件即在位置開(kāi)始和結(jié)束兩個(gè)位置上的各個(gè)時(shí)刻的函數(shù)值，或者函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)的值，本題目分了4個(gè)偏微分方程，因而在每個(gè)邊界都要有邊界條件。用數(shù)值法求解的時(shí)候，需要把方程和邊界條件全部進(jìn)行差分。

由傳熱學(xué)相關(guān)研究可得邊界Ⅰ與外界環(huán)境之間的換熱微分方程得到Ⅰ層與外界環(huán)境的第三類(lèi)邊界條件為[1]：

（2）

其中h1為空氣層對(duì)流換熱系數(shù)，取值20。

為保證邊界時(shí)溫度的連續(xù)性，Ⅰ層與Ⅱ?qū)又g的連續(xù)型邊界條件如式（3）和式（4），其它各層之間的邊界條件也類(lèi)似。

（3）

（4）

Ⅳ層與人體內(nèi)的溫度邊界為人體皮膚層，則在人體內(nèi)外側(cè)邊界的邊界條件假設(shè)為換熱微分方程：

（5）

其中h2為皮膚層的對(duì)流換熱系數(shù)，可以通過(guò)給出的皮膚外側(cè)溫度來(lái)算出。

總的熱傳導(dǎo)微分方程模型為：

（6）

其中ui表示各層的溫度，li表示第i層的厚度，ti表示時(shí)間節(jié)點(diǎn)劃分，tw就是最后一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。已知初始條件為u（x，0）=37，再以四層材料邊緣處的溫度為邊界條件，理論上即可求解微分方程組。

2.2 求解熱傳導(dǎo)模型? 利用Matlab軟件求解，可以得到時(shí)間空間網(wǎng)格中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的溫度，即溫度的時(shí)間和空間分布，繪制溫度分布圖。

如圖2所示，多層材料在從室溫條件下進(jìn)入高溫工作環(huán)境后不同厚度位置處的溫度隨時(shí)間變化情況已給出。其中越靠近熱源地方初始時(shí)刻溫度上升的越快，在接近皮膚處地方由于皮膚初始溫度為37℃高于初始時(shí)刻的內(nèi)層材料溫度，因此在初始時(shí)刻溫度上升時(shí)呈現(xiàn)出兩邊快，中間延后的情況。再考慮經(jīng)過(guò)一段較長(zhǎng)工作時(shí)間90分鐘后，各層材料厚度基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)時(shí)越靠近外界環(huán)境處的溫度越高。

3? 材料層的最優(yōu)厚度

當(dāng)環(huán)境溫度低于75℃時(shí)，對(duì)上述防護(hù)服的規(guī)格要求就會(huì)有所降低，這種情況下仍然使用高規(guī)格的防護(hù)服是一種材料的浪費(fèi)，同時(shí)也會(huì)令穿著者感到笨重。如果要節(jié)約成本，提高使用舒適感，就要針對(duì)不同外界環(huán)境的溫度設(shè)置不同厚度的材料層。某層材料變薄，對(duì)熱量的阻隔作用就會(huì)變差，皮膚外側(cè)收到的保護(hù)削弱，升溫越快。而外界環(huán)境溫度的降低則減緩皮膚外側(cè)升溫，兩個(gè)作用效果相反的因素結(jié)合，當(dāng)一個(gè)因素確定時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的最佳搭配，恰好能物盡其用。

由于約束條件中的直接研究對(duì)象是Ⅳ層右側(cè)、皮膚表面的溫度，這里的溫度是會(huì)變化的，而人體內(nèi)體溫是恒定的37℃，這里的溫度不連續(xù)說(shuō)明在皮膚表面與人體內(nèi)部存在著一個(gè)皮膚層。改變模型中的環(huán)境溫度u外為65℃，Ⅳ層厚度為5.5mm，建立最優(yōu)化模型。

已知Ⅱ?qū)拥暮穸确秶?，利用二分法尋找滿(mǎn)足約束條件的最優(yōu)厚度。首先在Ⅱ?qū)雍穸葏^(qū)間取中值，驗(yàn)證該中值是否能使假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。若符合這個(gè)條件，在數(shù)值偏小的半?yún)^(qū)間繼續(xù)取中值檢驗(yàn)，若不符合，在數(shù)值偏大的半?yún)^(qū)間繼續(xù)取中值檢驗(yàn)，重復(fù)這個(gè)過(guò)程，最終就會(huì)得到一個(gè)具有一定精度的最優(yōu)厚度。二分法尋找的過(guò)程由Matlab編程實(shí)現(xiàn)，最后得到第二層最優(yōu)厚度為9mm。

4? 材料層和空氣層的最優(yōu)厚度

當(dāng)材料層Ⅱ和空氣層Ⅳ的厚度都未知時(shí)，用雙目標(biāo)優(yōu)化的思想求解模型，有兩個(gè)未知厚度層，且外界環(huán)境溫度發(fā)生了改變（u外為80℃）。優(yōu)化的目標(biāo)依然是要既滿(mǎn)足約束條件，又輕便靈活，節(jié)約材料。

約束條件是工作30分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。經(jīng)計(jì)算，L2+L4的最小值為14.2。

為使服裝滿(mǎn)足約束條件，有良好的隔熱性能，Ⅱ?qū)硬牧虾穸仍O(shè)計(jì)應(yīng)盡量大，Ⅳ層厚度應(yīng)盡量小;為使服裝輕便舒適，降低成本，Ⅱ?qū)硬牧虾穸葢?yīng)盡量小，Ⅳ層厚度應(yīng)盡可能大，且Ⅳ是空氣層，不需要材料，而Ⅱ?qū)邮强椢?，需要材料，為了?jié)省成本，Ⅱ?qū)討?yīng)盡可能薄。將雙目標(biāo)統(tǒng)合為同一目標(biāo)進(jìn)行有效分析，最優(yōu)厚度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)y

y=s+c（7）

式中s表示安全性，c表示舒適性。

根據(jù)各層材料的參數(shù)，熱傳導(dǎo)率越大越安全，密度越小越舒適的基本規(guī)則，對(duì)Ⅱ、Ⅳ兩層進(jìn)行安全和舒適評(píng)估打分，最后得到雙目標(biāo)優(yōu)化模型的最優(yōu)解為：Ⅱ?qū)雍穸?.8mm，Ⅳ層厚度4.4mm。

5? 總結(jié)

多層熱防護(hù)服設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是確定各層材料厚度，使熱防護(hù)服既能滿(mǎn)足防護(hù)要求，又盡量輕便省料，難點(diǎn)在對(duì)熱防護(hù)效果的分析上。本文以四層熱防護(hù)服為例，根據(jù)傳熱原理建立熱傳導(dǎo)微分方程組。經(jīng)典的導(dǎo)熱微分方程在本問(wèn)題中的形式比較復(fù)雜，計(jì)算困難，使用有限差分法求解偏微分方程，容易通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算，得到較為精確的數(shù)值解。

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作者簡(jiǎn)介：白曉萌（1998-），女，河南鄭州人，本科，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模。