劉福才 劉 林 郭根旺

(燕山大學(xué)工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 秦皇島 066004)

0 引 言

現(xiàn)今許多國(guó)家都投身于空間站的建設(shè)及太空研究中。由于太空環(huán)境相對(duì)惡劣，所以空間機(jī)械臂成為了人們所中意的太空工作助手。同時(shí)，機(jī)械臂使用的安全性和工作精度也受到更多關(guān)注[1]。惡劣環(huán)境和機(jī)械臂本身材料構(gòu)造等是影響機(jī)械臂工作安全性的主要因素。關(guān)節(jié)間隙、關(guān)節(jié)柔性等因素也在很大程度上影響機(jī)械臂的工作精度。其中，關(guān)節(jié)柔性會(huì)產(chǎn)生滯后、振動(dòng)、非線性耦合等問(wèn)題[2]。

本文主要對(duì)柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問(wèn)題做仿真研究及運(yùn)動(dòng)行為分析。建立了地面重力及空間微重力2種工況下的模型，為軌跡跟蹤控制設(shè)計(jì)基于奇異攝動(dòng)的自抗擾控制器，并做出穩(wěn)定性分析及仿真分析，仿真結(jié)果與基于奇異攝動(dòng)的自適應(yīng)PD控制器控制效果進(jìn)行比較。

1 國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行了控制研究。Good等人[3]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)柔性會(huì)影響機(jī)械臂的工作精度。Benosman等人[4]主要是對(duì)平面多連桿柔性臂進(jìn)行消除振動(dòng)的關(guān)節(jié)軌跡控制。針對(duì)慢關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)和快關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)以因果控制為基礎(chǔ)使用2種方案進(jìn)行控制，并以二連桿為例，進(jìn)行數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證。王旭輝等人[5]提出一種欠驅(qū)動(dòng)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人趨同控制算法，從原理上驗(yàn)證了控制器的可行性。榮吉利等人[6]針對(duì)關(guān)節(jié)柔性帶來(lái)的振動(dòng)問(wèn)題，提出了一種LQR和PD控制相結(jié)合的控制器，進(jìn)行了仿真研究和實(shí)驗(yàn)研究。陳志勇等人[7]針對(duì)空間服役階段的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂提出了基于奇異攝動(dòng)的增廣魯棒自適應(yīng)PD控制器，并進(jìn)行了仿真研究，該控制器較為繁瑣。宋崇生等人[8]為柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂提出了一種帶有觀測(cè)器的滑?？刂破鳎⒗?個(gè)仿真研究驗(yàn)證了控制器的有效性。劉福才等人[9]為柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂設(shè)計(jì)了基于奇異攝動(dòng)的自抗擾控制器，但存在模型補(bǔ)償會(huì)比較依賴于模型的問(wèn)題。劉福才等人[10]為柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，對(duì)漂浮機(jī)進(jìn)行空間地面2種工況下的軌跡跟蹤控制研究，該控制是針對(duì)任務(wù)空間進(jìn)行的，也就是對(duì)末端空間直接進(jìn)行控制，但一般正常的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)都是在關(guān)節(jié)處安裝電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，所以關(guān)節(jié)空間的控制研究更有效。

目前大多數(shù)研究都是對(duì)空間服役狀態(tài)下的空間機(jī)械臂進(jìn)行研究和控制的，沒(méi)有同時(shí)考慮地面裝調(diào)和空間在軌應(yīng)用2個(gè)階段的情況。也有一些是針對(duì)地面調(diào)試和空間基座固定狀態(tài)下的控制研究。但是在空間服役時(shí)，機(jī)械臂系統(tǒng)都是處于漂浮狀態(tài)的。所以，對(duì)地面調(diào)試和空間漂浮狀態(tài)下的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)行為的研究是很有意義的。

本文針對(duì)柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂末端軌跡跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究，分別建立了地面重力情況和空間微重力情況下的柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型，為柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂設(shè)計(jì)了基于奇異攝動(dòng)的自抗擾控制器，并且給出穩(wěn)定性分析及仿真研究。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的自抗擾控制器可實(shí)現(xiàn)地面空間2階段的軌跡跟蹤控制，并與奇異攝動(dòng)自適應(yīng)PD控制方法仿真結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明自抗擾控制器可以更高精度實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，且可以有效抑制關(guān)節(jié)柔性帶來(lái)的抖動(dòng)問(wèn)題。

2 系統(tǒng)模型建立

根據(jù)Spong[11]提出的由扭轉(zhuǎn)彈簧作為電機(jī)和機(jī)械臂關(guān)節(jié)之間連接機(jī)制的簡(jiǎn)化模型，并假設(shè)該扭轉(zhuǎn)彈簧是線性的，具有常值彈性系數(shù)。柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂及柔性關(guān)節(jié)局部示意圖如圖1和圖2所示。

圖1 柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型

圖2中，q為關(guān)節(jié)的角位置矢量，qm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的角位移矢量，根據(jù)Spong理論得到的微重力環(huán)境下柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂欠驅(qū)動(dòng)形式的模型如下：

(1)

地面裝調(diào)時(shí)，裝置會(huì)受到重力影響，所以在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)應(yīng)該將裝置的重力勢(shì)能考慮在內(nèi)。地面裝調(diào)階段的模型如下：

(2)

式中，G(q)∈Rn為重力載荷向量矩陣，可寫成如下形式：

G(q)=φ(q)g

(3)

3 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

利用奇異攝動(dòng)法進(jìn)行系統(tǒng)降階，將系統(tǒng)分為快慢2個(gè)子系統(tǒng)，再分別進(jìn)行控制[12,13]。

τm=τs+τf

(4)

式中，τf表示快子系統(tǒng)控制力矩，在突變情況下進(jìn)行控制；τs表示慢子系統(tǒng)控制力矩，對(duì)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行控制。

由式(1)和式(2)，得：

(5)

設(shè)計(jì)快子系統(tǒng)的控制器：

(6)

對(duì)慢子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器如下。

從式(1)和式(2)可以看出機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型具有強(qiáng)非線性及強(qiáng)耦合性，且模型精度有限，自抗擾控制器不依賴于系統(tǒng)準(zhǔn)確模型，并可以進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和擾動(dòng)補(bǔ)償，且算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，可實(shí)現(xiàn)高精度控制，對(duì)于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的控制研究和除去關(guān)節(jié)柔性帶來(lái)影響的剛性機(jī)械臂的研究相同，所以對(duì)以下幾種情況進(jìn)行研究時(shí)，均是考慮的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)時(shí)的控制。下面分4種情況對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制研究[14]。

情形1地面無(wú)擾動(dòng)

由式(2)得：

(7)

第i個(gè)關(guān)節(jié)表示為

(8)

將該關(guān)節(jié)本身力矩的未知項(xiàng)(bii-b)τi和其他關(guān)節(jié)動(dòng)作對(duì)本節(jié)的影響作為擾動(dòng)量,本關(guān)節(jié)總擾動(dòng)為

(9)

則有:

(10)

情形2地面有擾動(dòng)

式(2)寫成：

(11)

其中，ω∈Rn為擾動(dòng)量。

由式(11)可知:

(12)

同樣，將本關(guān)節(jié)力矩未知項(xiàng)和其他關(guān)節(jié)力矩產(chǎn)生的影響作為擾動(dòng)，總擾動(dòng)為

(13)

情形3空間無(wú)擾動(dòng)

由式(1)得:

(14)

由于空間為重力環(huán)境時(shí)，基座不受控，所以根據(jù)空間模型特點(diǎn)，得：

(15)

可寫為

(16)

情形4空間有擾動(dòng)

式(1)可寫為

(17)

其中，ω∈Rn+3為擾動(dòng)量。

則：

(18)

則：

(19)

各種情況總擾動(dòng)可表示為

(20)

ESO狀態(tài)方程如下形式：

(21)

式中，ω為外部擾動(dòng)，u(t)為控制量，b為放大系數(shù)?？刂瓶驁D如圖3所示。

圖3 空間機(jī)械臂自抗擾控制原理圖

微分跟蹤器(tracking differentiator，TD)避免了角度的劇烈變化表達(dá)式如下：

(22)

(23)

其中，x1=qd1-qd，x2=qd2。

ESO模塊表達(dá)式如下:

(24)

其中，誤差校正系數(shù)β01>0，β02>0，β03>0，fal使用如下形式函數(shù)[15]:

(25)

其中，α∈(0, 1)，δ>0。

控制律表達(dá)式如下:

(26)

其中，r、h0為可變參數(shù)。

(27)

將式(27)代入到式(20)得：

(28)

(29)

通過(guò)調(diào)節(jié)各環(huán)節(jié)參數(shù)實(shí)現(xiàn)良好的控制效果。

4 穩(wěn)定性分析

定理1針對(duì)系統(tǒng)式(1)和系統(tǒng)式(2)，無(wú)擾動(dòng)情況下，利用狀態(tài)反饋可實(shí)現(xiàn)漸近鎮(zhèn)定。

證令α(t)=f(q,q,t)為開(kāi)環(huán)控制過(guò)程中的實(shí)時(shí)表現(xiàn)量，則式(18)可轉(zhuǎn)化為

(30)

由式(27)得：

τ=τ0-α(t)/b

(31)

將式(31)代入式(30)得：

(32)

當(dāng)τ0取為如下形式時(shí)：

(33)

式中，γ1>0,γ2>0，則

(34)

取李亞普諾夫函數(shù)為

(35)

(36)

式(26)所示的控制律τ0=-fhan(ε1,ε2,r,h0)，同樣可以保證閉環(huán)情況下的漸進(jìn)鎮(zhèn)定。

下面對(duì)ESO進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

定理2對(duì)于系統(tǒng)式(1)和式(2)，無(wú)擾動(dòng)情況下，只要ESO中參數(shù)選取合理，則可保證ESO的穩(wěn)定性。

(37)

此狀況下ESO為如下形式：

(38)

由式(37)和式(38)作差得：

(39)

取李雅普諾夫函數(shù)為

(40)

由式(40)求導(dǎo)得：

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(41)

式(41)可寫為

+(βα(t)e1-2χα(t)e2)

(42)

定理3針對(duì)系統(tǒng)式(1)和式(2)擾動(dòng)存在且有界的情況下，參數(shù)選擇合適可以實(shí)現(xiàn)ESO 對(duì)狀態(tài)的實(shí)時(shí)觀測(cè)。

(43)

誤差系統(tǒng)為

(44)

(45)

其中，fal(e1,α,δ)是關(guān)于e1的單調(diào)函數(shù)且fal(e1,α,δ)=0，一般先將α和δ根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定為固定常數(shù)，故其反函數(shù)存在且fal-1(0)=0，因此，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，估計(jì)誤差為

(46)

5 仿真研究

對(duì)本文提出的地面空間2種工況下的模型進(jìn)行了仿真研究，選擇以(1，1)為起點(diǎn)邊長(zhǎng)為5 m逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的正方形軌跡，正方形與圓或直線等形狀的軌跡相比，其控制要求更高，并且便于觀察在正方形4個(gè)角軌跡突變處的跟蹤情況。表1為仿真時(shí)機(jī)械臂桿的參數(shù)取值。

表1 平面二連桿柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂仿真參數(shù)

采用基于奇異攝動(dòng)的自抗擾控制器對(duì)地面二自由度機(jī)械臂及空間自由漂浮機(jī)械臂進(jìn)行控制仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，自適應(yīng)PD控制仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

由圖4(a)可以看出地面調(diào)試階段設(shè)計(jì)的自抗擾控制器可以較好地實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制。由圖4(b)可以看出x方向y方向誤差基本在0附近變化，只是在轉(zhuǎn)角處，誤差偏大一點(diǎn)。

由圖4(c)和圖4(d)可以看出，ESO對(duì)關(guān)節(jié)角度狀態(tài)的估計(jì)精度很高，估計(jì)值曲線與實(shí)際值曲線基本重合，估計(jì)精度很高。

(a)端軌跡跟蹤圖

從圖4(e)和圖4(f)可以看出，角速度實(shí)際值和角速度估計(jì)值曲線基本吻合，所以，ESO實(shí)現(xiàn)的估計(jì)精度較高。綜上，可以看出ESO的有效性。

由圖5(a)可知，空間階段控制器也可以較好進(jìn)行軌跡跟蹤控制。由圖5(b)可以看出x方向y方向誤差基本在0附近變化，其誤差值越來(lái)越小，在轉(zhuǎn)角處，誤差偏大一點(diǎn)。

(a)末端軌跡跟蹤圖

由圖5(c)和圖5(d)可知，ESO對(duì)狀態(tài)的估計(jì)精度很高，由圖5(e)和圖5(f)可知，關(guān)節(jié)1角速度實(shí)際值和估計(jì)值曲線基本吻合，估計(jì)精度較高，但從圖5(g)可知，關(guān)節(jié)2的角速度估計(jì)值和實(shí)際值變化趨勢(shì)相同，但估計(jì)情況并不好，引起這一問(wèn)題的主要原因是參數(shù)選取不當(dāng)，有待改善和調(diào)整。

由圖4(g)和圖5(h)可知關(guān)節(jié)力矩在轉(zhuǎn)角處會(huì)出現(xiàn)明顯突變，以應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)彎情況。同時(shí)在空間階段，力矩有明顯的抖動(dòng)，這是由于ESO對(duì)關(guān)節(jié)2角速度估計(jì)不準(zhǔn)確且關(guān)節(jié)2時(shí)機(jī)角速度變化明顯不平滑導(dǎo)致的。

采用基于奇異攝動(dòng)自適應(yīng)PD控制器對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制得到的仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。設(shè)計(jì)的控制率如下：

圖6 地面階段奇異攝動(dòng)自適應(yīng)PD控制仿真圖

圖7 空間階段奇異攝動(dòng)自適應(yīng)PD控制仿真圖

(18)

由圖6和圖7可知，基于奇異攝動(dòng)自適應(yīng)PD控制器控制精度低，不能很好地抑制抖動(dòng)。對(duì)比圖4、圖5和圖6、圖7可知，自抗擾控制有效地抑制了柔性關(guān)節(jié)帶來(lái)的抖動(dòng)，且能實(shí)現(xiàn)較高精度的軌跡跟蹤。

6 結(jié) 論

本文針對(duì)地面調(diào)試和空間漂浮兩階段柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂末端軌跡跟蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于奇異攝動(dòng)的自抗擾控制器。利用李亞普諾夫方法證明了控制系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，并進(jìn)行了仿真研究。仿真結(jié)果表明，控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂的高精度跟蹤控制，且有效抑制了關(guān)節(jié)柔性帶來(lái)的抖動(dòng)，分析了重力變化對(duì)系統(tǒng)控制帶來(lái)的影響。