羅 倩，張皓晶

(云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

熱膨脹系數(shù)決定了給定物質(zhì)隨溫度增加或減少擴(kuò)張的能力,可以分為線性膨脹系數(shù)、面積膨脹系數(shù)和體積膨脹系數(shù). 傳統(tǒng)上，液體的體積膨脹系數(shù)由膨脹儀測(cè)量，例如，實(shí)驗(yàn)中可直接由膨脹計(jì)得到水的體積膨脹系數(shù)[1]. 由于酒精的熱敏性，在討論熱膨脹現(xiàn)象時(shí)，酒精已成為傳統(tǒng)教科書和章末習(xí)題中涉及最多的物質(zhì)之一. 本文旨在用簡(jiǎn)單的方法和實(shí)驗(yàn)裝置獲得酒精的體積膨脹系數(shù).

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 已知球莖截面和球泡體積的溫度計(jì)

溫度計(jì)毛細(xì)管1中的酒精體積隨溫度的變化而膨脹或者收縮，溫度改變量ΔT1與體積的變化量ΔV1之間成正比例關(guān)系[2]，即

ΔV1=γ1V1ΔT1,

(1)

式中，γ1和V1分別為酒精的體積膨脹系數(shù)和初始體積(在一定的初始溫度下，玻璃溫度計(jì)球泡和毛細(xì)管中酒精的總體積). 式(1)可以寫為

(2)

式中，A1為溫度計(jì)毛細(xì)管的橫截面積. 式(2)中ΔL1與ΔT1線性相關(guān)，設(shè)其斜率為S1，即

(3)

通過擬合ΔL1-ΔT1獲得斜率S1，根據(jù)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)長(zhǎng)度的變化ΔL1和溫度的變化ΔT1，代入最佳擬合直線的斜率S1,從而獲得酒精的體積膨脹系數(shù)γ1.

1.2 球莖截面和體積未知的溫度計(jì)

毛細(xì)管2的橫截面積為A2，初始體積為V2(在一定的初始溫度下，球泡和毛細(xì)管中酒精的總體積). 由1.1可知以下關(guān)系成立：

ΔV2=γ2V2ΔT2.

(4)

(5)

(6)

式中,ΔT2為溫度改變量，ΔV2是酒精相應(yīng)體積變化量，γ2和V2分別為酒精的體積膨脹系數(shù)和初始體積.

將γ1的表達(dá)式(3)和γ2的表達(dá)式(6)等效,得到：

(7)

由式(7)可得：

(8)

因?yàn)?/p>

(9)

(10)

對(duì)于任意初始體積(V1和V2)、截面面積(A1和A2)以及最小的溫度間隔都不同的溫度計(jì)，在實(shí)驗(yàn)中可以使溫度的變化ΔT1和ΔT2相等. 因此，由式(9)和式(10)可得:

S1ΔL2=S2ΔL1,

(11)

代入式(8)時(shí)，得到：

(12)

將式(12)代入式(6)得到

(13)

由式(13)可知ΔL1和ΔL2線性相關(guān)，斜率S3為

(14)

在已知S3，S2，V1和A1情況下，可以通過式(14)得到酒精的體積膨脹系數(shù).

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 已知球莖截面和球泡體積的溫度計(jì)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，ΔL為長(zhǎng)度的變化,Lf是升溫到最高溫度后的長(zhǎng)度. 酒精溫度計(jì)1的量程為100 ℃，精度1 ℃，酒精柱的高度從溫度計(jì)的下端到35 ℃的標(biāo)高為L(zhǎng)0=18.10 cm，A1=1.2×10-3cm2. 燒杯內(nèi)裝熱水，并用卷尺測(cè)量一定溫度下酒精柱的高度. 設(shè)球泡中酒精的體積為V1′，已知等于0.12 cm3. 固定初始溫度為35 ℃，將溫度計(jì)浸入盛熱水的燒杯中，使溫度穩(wěn)定在35 ℃. 測(cè)出35 ℃相對(duì)于球泡頂端對(duì)應(yīng)的酒精柱高度為16.5 cm，毛細(xì)管中酒精的體積為0.019 8 cm3，酒精的初始體積V1為0.139 8 cm3.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

采集ΔT1和ΔL1的數(shù)據(jù)時(shí)，將溫度計(jì)浸入盛熱水燒杯中，改變熱水的溫度，從而將酒精的溫度從35 ℃升高到穩(wěn)定的最終溫度Tf1. 在特定的最后溫度下，用單獨(dú)的溫度計(jì)讀數(shù)，測(cè)量相對(duì)應(yīng)溫度下的高度，再將得到的變化長(zhǎng)度減去18.10cm，得到酒精在特定溫度下伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度ΔL1. 同樣，Lf是相對(duì)于溫度計(jì)球的下端測(cè)量的. 類似地，溫度ΔT1也要減去初始溫度35 ℃. 測(cè)量8個(gè)數(shù)據(jù)，每次酒精的初始溫度都為35 ℃. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1.

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)1(T0=35.0 ℃，L0=18.10 cm)

ΔL1-ΔT1圖像如圖2所示，使用Excel擬合數(shù)據(jù),得到長(zhǎng)度變化與溫度變化的線性關(guān)系. 解得體積膨脹系數(shù)γ1=1.08 8×10-3℃-1. 通過查閱文獻(xiàn)[3]得酒精體積膨脹系數(shù)的值為1.1×10-3℃-1,相對(duì)偏差為1.1%.

圖2 ΔL1-ΔT1圖像

2.2 球莖截面和體積未知的溫度計(jì)

溫度計(jì)2的量程為200 ℃，精度為2 ℃，酒精柱從溫度計(jì)的下端到35 ℃的標(biāo)高為13.70 cm，球泡的體積和莖的橫截面積未知. 采集數(shù)據(jù)點(diǎn)ΔL2和ΔT2. 按照2.1步驟完成實(shí)驗(yàn)，但有約束條件，即所有的溫度變化ΔT2應(yīng)等于2.1實(shí)驗(yàn)得到的溫度變化ΔT1[與式(10)一致]. 此外，將初始溫度固定在35 ℃，同時(shí)將初始溫度提高到與2.1相同的最終溫度Tf2. 對(duì)應(yīng)溫度變化ΔT2，取對(duì)應(yīng)的高度變化ΔL2，其值應(yīng)與ΔL1不同. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2. ΔL2-ΔT2圖像如圖3所示，使用Excel擬合數(shù)據(jù),得到長(zhǎng)度變化與溫度變化的線性關(guān)系,其斜率為S2=0.064.

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)2(T0=35.0 ℃，L0=13.7 cm)

圖3 ΔL2-ΔT2圖像

繪制ΔL1-ΔL2,如圖4所示,并進(jìn)行線性回歸得S3=1.978. 將S3代入式(14),由已知A1,V1和S2,得到酒精的體積膨脹系數(shù)γ=1.086×10-3℃-1，與標(biāo)準(zhǔn)值1.1×10-3℃-1[3]的相對(duì)偏差為1.3%.

圖4 ΔL1-ΔL2圖像

4 結(jié)束語(yǔ)

利用生活中常見的材料，設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)便易行的測(cè)量或演示酒精體積膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)裝置. 學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)物理的樂趣. 教師可選擇2.1實(shí)驗(yàn)(V1和A1已知)，通過酒精柱長(zhǎng)度變化提供多對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)計(jì)算酒精的體膨脹系數(shù). 2.2實(shí)驗(yàn)(V1和A1未知)需要理論推導(dǎo)和一定時(shí)間的實(shí)驗(yàn)室活動(dòng)，因此2.2實(shí)驗(yàn)可作為學(xué)生課外興趣實(shí)驗(yàn)，加深學(xué)生對(duì)膨脹系數(shù)的理解及應(yīng)用.