孟圣鈞，韓光信

(吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022)

板球系統(tǒng)作為經(jīng)典控制對象球桿系統(tǒng)的二維擴展，是控制領(lǐng)域中驗證控制算法的一種重要實驗對象.諸如自抗擾控制[1]、預(yù)測控制[2]、滑?？刂芠3]、模糊邏輯控制[4]、反演控制等很多控制算法先后被學(xué)者運用到板球系統(tǒng)中檢驗優(yōu)劣[5].反演控制方法將復(fù)雜的系統(tǒng)分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入虛擬變量，從后向前反推，最后得出控制規(guī)律.例如，戈艷麗將反演控制算法與自適應(yīng)算法相結(jié)合設(shè)計反演自適應(yīng)算法，研究了板球系統(tǒng)模型中的不確定性問題，但并沒有考慮到系統(tǒng)實際存在的非線性因素[6].文獻[7]同樣采用了反演控制法，在控制器的設(shè)計中忽略了系統(tǒng)x,y方向的運動耦合作用，可能會導(dǎo)致控制精度下降.郝偉[8]采用反演法的靜態(tài)補償思想設(shè)計了反演自適應(yīng)動態(tài)滑?？刂破?，利用虛擬控制量將高階控制問題分散為多個低階子系統(tǒng)的控制問題，并結(jié)合濾波器的設(shè)計研究了經(jīng)典滑模存在的微分爆炸問題，提高了系統(tǒng)控制精度，但忽略了機器視覺對小球定位存在誤差的影響.

以上是一些學(xué)者在研究板球系統(tǒng)中，將反演控制算法與自適應(yīng)算法、滑模變結(jié)構(gòu)控制等算法相結(jié)合設(shè)計的控制器，完成了對小球軌跡跟蹤的控制任務(wù).本文針對板球系統(tǒng)控制中的不確定項影響跟蹤精度這一問題，研究了將低通濾波與反演控制算法相結(jié)合設(shè)計控制器的方法.首先，在板球系統(tǒng)建模時加入自身擾動，將低通濾波器與板球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型結(jié)合成一個整體系統(tǒng)，接著用假設(shè)的方法設(shè)定子系統(tǒng)參數(shù)，將參數(shù)帶到虛擬函數(shù)中，然后選取合適的Lyapunov函數(shù)，使每個子系統(tǒng)達到漸進穩(wěn)定，進而設(shè)計出一種帶有低通濾波的反演控制器.最后，在板球系統(tǒng)克服內(nèi)部擾動的前提下，加入外界干擾，查看小球軌跡跟蹤的效果.仿真驗證，與H∞控制器[9]相比，帶有低通濾波的反演控制器具有良好的抗干擾能力.

1 板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

Quanser公司生產(chǎn)的板球系統(tǒng)實驗平臺如圖1所示.

圖1 Quanser板球系統(tǒng)模型

主要由：平板、小球、伺服電機、連桿、視覺系統(tǒng)、電源等組成.板球系統(tǒng)是雙輸入雙輸出的非線性動態(tài)系統(tǒng)，通過步進電機驅(qū)動x、y軸以達到控制平板的傾斜角度，進而控制小球的運動.應(yīng)用歐拉-拉格朗日動力學(xué)方程推導(dǎo)建模，建模時忽略小球與平板之間的摩擦以及小球自身滾動的摩擦.板球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下式所示[10].

(1)

其中，k=m/(m+Jb/r2)，m為小球質(zhì)量，r為小球半徑，Jb小球轉(zhuǎn)動慣量，x1,x2,x3,x4分別為x軸小球的位置、速度、傾斜角度和角速度；因板球系統(tǒng)的x,y軸對稱分布，故x5,x6,x7,x8分別對應(yīng)y軸的系統(tǒng)狀態(tài)變量.ux,uy對應(yīng)x,y軸的角加速度α,β，作為系統(tǒng)的控制輸入，y為系統(tǒng)的控制輸出.一般情況下，小球滾動時的速度和平板轉(zhuǎn)動角度足夠小(一般不超過±6°，sinx3≈x3,sinx4≈x4)，則式(1)中的x4x5x8和x1x4x8可忽略，板球系統(tǒng)解耦、線性化后可形成兩個相同的x,y方向欠驅(qū)動子系統(tǒng)，模型如下所示.

(2)

y=[x1,x5]T

2 控制器設(shè)計

(1)由于系統(tǒng)實際運行中存在擾動，會影響系統(tǒng)的輸出，進而降低控制器性能.為增強系統(tǒng)的抗干擾性，提高軌跡的跟蹤精度，引入低通濾波器[11-13]，對小球的位移和滾動角度進行濾波處理.以板球系統(tǒng)x軸為例，設(shè)計低通濾波器如下.

(3)

其中，T為低通濾波器的時間常數(shù)，x1為低通濾波器的輸出信號，即小球的位置.x2為低通濾波器的輸入信號，即小球滾動角度(式(2)中x2代表小球速度).結(jié)合式(2)、式(3)組建一個整體的帶有低通濾波的板球系統(tǒng).

(4)

其中，x3為小球角速度，d為板球系統(tǒng)的自身擾動，y為經(jīng)過低通濾波器濾除干擾后的輸出.

(2)反演控制器設(shè)計

反演控制算法實際上是利用遞推程序交替的選擇合適的Lyapunov函數(shù)，在每一個子系統(tǒng)中，將復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)變量和所設(shè)計的虛擬函數(shù)聯(lián)系起來進行逐步推導(dǎo)，得出控制規(guī)律后設(shè)計反饋控制器，最后證明整個系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的.

針對系統(tǒng)(4)的反演設(shè)計過程如下，定義系統(tǒng)偏差[14]：

(5)

式中，xd為板球系統(tǒng)x軸小球跟蹤軌跡的位置指令信號，α1,α2為虛擬函數(shù).

(6)

結(jié)合式(4),(5)整理后可得：

(7)

選取Lyapunov函數(shù)V1：

(8)

(9)

定義虛擬控制量α1：

α1=-c1e1+x1(c1>0的常數(shù))

(10)

代入式(9)得：

(11)

選取Lyapunov函數(shù)V2：

(12)

(13)

(14)

(15)

結(jié)合式(4),(5),(10)整理后可得：

(16)

結(jié)合式(5),(11),(16)化簡式(13)可得：

(17)

定義虛擬控制量α2：

(18)

代入式(17)得：

(19)

選取Lyapunov函數(shù)V3：

(20)

(21)

e3=x3-α2

(22)

(23)

結(jié)合式(4),(5),(10),(18)整理后可得：

(24)

結(jié)合式(7),(16),(19),(24)化簡式(21)可得：

(25)

(26)

式(26)為帶有低通濾波的反演控制器ux，根據(jù)前面設(shè)計的虛擬函數(shù)和偏差函數(shù)求解控制器參數(shù)，結(jié)合式(4),(5),(10),(18)整理出帶有狀態(tài)變量的ux表達式.

(27)

3 仿真結(jié)果分析

(28)

由于板球系統(tǒng)的x,y軸對稱分布，故推導(dǎo)控制器ux,uy只需要更改x,y軸的指令信號即可.將上述參數(shù)值結(jié)和式(28)的三階時間導(dǎo)數(shù)帶入式(27)中，分別求出帶有低通濾波的x,y軸反演控器.

應(yīng)用Simulink軟件分別搭建H∞控制器和帶有低通濾波的反演控制器系統(tǒng)仿真模型,適當調(diào)節(jié)狀態(tài)變量參數(shù)后，仿真結(jié)果如下圖所示.圖2是帶有低通濾波的反演控制器跟蹤的圓形軌跡，小球受到外界干擾(step=5的階躍)后能夠自動調(diào)整跟蹤軌跡，不斷地減小與預(yù)設(shè)跟蹤軌跡之間的誤差.圖5為H∞控制器跟蹤的圓形軌跡，同樣加入step=5的階躍干擾，小球偏離原軌道且無法自動調(diào)整跟蹤軌跡.當H∞控制器做圓形軌跡跟蹤運動時，引入外界干擾后誤差增大，小球在x、y軸方向上的位置誤差分別維持在21.7 mm和21.5 mm左右，如圖7所示.從圖4中我們可以看出，反演控制器做相同的跟蹤運動時，面對同樣的干擾，小球x、y軸方向上的位置誤差分別維持在±1.05 mm和±0.58 mm之間，能夠自動調(diào)整跟蹤誤差.帶有低通濾波的反演控制器和H∞控制器的控制器輸出圖分別如圖3和圖6所示.

x1/m

r/s

r/s

x1/m

t/s

t/s

4 結(jié) 論

本文以非線性、多變量和強耦合的板球系統(tǒng)作為研究對象，針對系統(tǒng)受到干擾而影響軌跡跟蹤的精確性這一問題，將反演控制器具有維持板球系統(tǒng)穩(wěn)定運行性能與低通濾波器濾除外界干擾這一性能相結(jié)合，設(shè)計出一種帶有低通濾波的反演控制器.從實驗結(jié)果可以看出，改進的控制器結(jié)構(gòu)簡單，受到外界干擾時，能夠快速恢復(fù)到原預(yù)定軌跡，不斷提高控制精度，穩(wěn)定性更強.