宋協(xié)慧，周立群

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

近年來，時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于圖像處理、聚類分析、人工智能和信號分類等多個領(lǐng)域.在有些應(yīng)用中，可能會處理時變且無界的時滯問題，如，QoS 路由決策在設(shè)計時通常需要比例時滯的保障，這里的比例時滯就是一種無界時變時滯.目前，具比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為得到了廣泛研究[1-14].文獻[1]利用M-矩陣理論討論了一類復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[2-3]運用時滯微分不等式和Lyapunov泛函研究了具比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[4-8]運用Brouwer 不動點定理和矩陣理論等方法分析了幾類具比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性.文獻[9-10]運用不等式技巧和Lyapunov 泛函得到了基于憶阻器的多比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無源性和指數(shù)同步性的判定準則.文獻[11-12]應(yīng)用非線性變換和Lyapunov 泛函，得到了保證具比例時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多項式同步性和全局指數(shù)周期性的充分條件.

在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)可能會受到時間極短的電壓或電流的作用，從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生短暫性變化，即出現(xiàn)“脈沖”現(xiàn)象.時滯和脈沖可能會引起神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定和混沌等現(xiàn)象，使得網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜.因此，研究具有時滯和脈沖效應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是必要的[15-20].文獻[15-16]利用M-矩陣理論和不等式分析技巧，討論了具時滯和脈沖效應(yīng)的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性和周期解的一致穩(wěn)定性.文獻[17-18]運用不動點理論和矩陣不等式方法，得到了具比例時滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性和無源性的判定準則.

本文考慮一類具多比例時滯的脈沖遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過構(gòu)造合適的Lyapunov 泛函和應(yīng)用不等式技巧，得到了保證該系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性和全局多項式穩(wěn)定性的時滯依賴的判定準則，該準則通過代數(shù)方法驗證即可.

1 模型描述和預(yù)備知識

考慮如下一類具多比例時滯的脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中：i=1，2，…，n，n 為網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元的個數(shù)；xi（t）為第i 個神經(jīng)元在t 時刻的狀態(tài)；常數(shù)aij、bij和cij為系統(tǒng)的連接權(quán)重；fj（·）、gj（·）和hj（·），j=1，2，…，n 為激活函數(shù)；比例時滯因子pj和qj滿足0 < pj、qj≤1，pjt=t-（1-pj）t，qjt=t-（1-qj）t，這里（1- pj）t 和（1-qj）t 為時滯函數(shù)，且當t→+∞時，有（1-pj）t→+∞（pj≠1）和（1-qj）t→+∞（qj≠1），即（1 - pj）t 和（1 - qj）t是無界函數(shù)；初始函數(shù)xi（s）=φi（s）∈C（[q~t0，t0]，R），序列tk滿足1≤t0

本文對模型（1）做如下假設(shè)：

假設(shè)（H） 激活函數(shù)fj（·）、gj（·）和hj（·）滿足

其中：u、v∈R，j=1，2，…，n.記L=max{L1，L2，…，Ln}，M=max{M1，M2，…，Mn}，N=max{N1，N2，…，Nn}.

令

則模型（1）等價變換為如下模型

注1易知模型（4）和模型（1）的平衡點z*和x*存在，且z*=x*=0，因此，研究模型（1）的平凡解x*=0的穩(wěn)定性等價于研究模型（4）的平凡解z*= 0 的穩(wěn)定性.

定義1[21]設(shè)x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，x 的范數(shù)定義為設(shè)A=（aij）n×n∈Rn×n，則稱‖A‖1=為A 的1 范數(shù)，稱為A 的∞范數(shù).

定義2[22]稱模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的，如果對于模型（1）的任意解x（t），有

定義3[22]稱模型（1）的平凡解x*= 0 是全局多項式穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)σ>0 和β≥1，使得模型（1）的任意解x（t）滿足

定義4[22]稱模型（4）的平凡解z*= 0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)σ>0 和β≥1，使得模型（4）的任意解z（t）滿足

定義5[22]設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，f（x）的右上Dini導(dǎo)數(shù)為

2 全局漸近穩(wěn)定性

對于模型（1），令A(yù)=（aij）n×n，B=（bij）n×n，C=（cij）n×n，并記

定理1設(shè)若假設(shè)（H）成立，且

其中dm=min{d1，d2，…，dn}，則模型（1）的平凡解x*= 0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明取如下Lyapunov 泛函

當t≠tk時，對函數(shù)V（t）沿模型（1）求導(dǎo)，得

當x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T≠0 時，即至少存在某個xi（t）≠0，由式（5）和式（7）可得V˙（t）<0.

當x（t）=0，x（pt）=（x1（p1t），x2（p2t），…，xn（pnt））T≠0且x（qt）=（x1（q1t），x2（q2t），…，xn（qnt））T≠0 時，即至少存在某個xj（pjt）≠0 和xj（qjt）≠0，由式（7）可得

當x（t）=0，x（pt）≠0 且x（qt）=0 或者x（t）=0，x（pt）=0 且x（qt）≠0 時，即至少存在某個xj（pjt）≠0或xj（qjt）≠0，由式（7）可得

或者

當x（t）= x（pt）= x（qt）= 0 時，由式（7）可得V˙（t）=0.

因此，當t≠tk時，當且僅當x（t）=x（pt）=x（qt）=0時，有V˙（t）=0，其他情況下V˙（t）<0.

當t=tk時，由|λik|≤1 和式（6）可得

綜上可得，當t∈（tk-1，tk]時，有V˙（t）≤0，所以模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

根據(jù)式（7）可得以下推論.

推論設(shè)若假設(shè)（H）成立，且

則模型（1）的平凡解x*=0 是全局漸近穩(wěn)定的.

3 全局多項式穩(wěn)定性

定理2設(shè)xi（tk）=λikxi（tk-），|λik|≤1，若假設(shè)（H）成立，且存在常數(shù)λ>1，使得

其中dm=min{d1，d2，…，dn}，則模型（1）的平凡解x*=0是全局多項式穩(wěn)定的.

證明通過驗證模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的，可以證明系統(tǒng)（1）的平凡解x*=0 是全局多項式穩(wěn)定的.

令Wi（t）=eλt|zi（t）|，其中λ>1，于是Wj（t-τj）=eλ(t-τj)|zj（t-τj）|，Wj（t-ξj）=eλ(t-ξj)|zj（t-ξj）|.

當t≠tk時，對Wi（t）求導(dǎo)，得

取如下Lyapunov 泛函

當t≠tk時，對式（9）求導(dǎo)，得

當t≠tk時，由式（8）和式（10）可知，當且僅當z（t）=z（t-τ）=z（t-ξ）=0 時，V˙（t）=0，其他情況下V˙（t）<0，其中

于是，由式（9）可得V（tk）≤V（tk-）.

綜上可得，當t∈（tk-1，tk]時，有V˙（t）≤0，故V（t）≤V（ln t0）.

由式（9）可得

當t=ln t0時，由式（9）可得

由式（11）可得

于是

其中σ=λ-1>0.在式（13）中，令zi（t）=xi（et），得

令et=η，t≥ln t0，則η≥t0.令es=ξ，s∈[-τ+ln t0，由式（14）得

其中因此，模型（1）的平凡解x*=0 是全局多項式穩(wěn)定的.證畢.

定理3設(shè)若假設(shè)（H）成立，且存在常數(shù)λ>1，使得

則模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明由式（13）可知其中故模型（4）的平凡解z*=0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注2若λ=1，則定理2 中模型（1）平凡解的多項式穩(wěn)定性減弱為漸近穩(wěn)定性，定理3 中模型（4）平凡解的指數(shù)穩(wěn)定性減弱為漸近穩(wěn)定性，即指數(shù)穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性都強于漸近穩(wěn)定性，但多項式穩(wěn)定性弱于指數(shù)穩(wěn)定性.

注3若λik=0，pj=qj=1，i、j=1，2，…，n，k∈N*，則模型（1）成為無時滯且不帶脈沖的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，此時本文所得結(jié)論仍然成立.

4 數(shù)值算例

例1考慮如下三維具比例時滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中：i=1、2、3，D=diag{7，11，9}，

計算得‖A‖1=‖A‖∞=‖B‖1=‖B‖∞=‖C‖1=‖C‖∞=1，故νM=1.

情況1取p1=p2=p3=0.6，q1=q2=q3=0.7，

取激活函數(shù)為fi（xi）=（|xi+1|-|xi-1|）/2，gi（xi）=tanh xi，hi（xi）=sin xi，i=1、2、3，λ=1.5，Lipschitz 常數(shù)是L=M=N=1.故

滿足定理1 和定理2 的條件，因此模型（18）的平凡解x*=（0，0，0）T是全局多項式穩(wěn)定的.模型（18）不加脈沖和加脈沖的相圖與時間響應(yīng)曲線分別見圖1 和圖2.

圖1 模型（18）不加脈沖的相圖和時間響應(yīng)曲線（情況1）Fig.1 Phase diagram and time response curves of Model（18）without impulse（Case 1）

圖2 模型（18）加脈沖的相圖和時間響應(yīng)曲線（情況1）Fig.2 Phase diagram and time response curves of Model（18）with impulse（Case 1）

情況2取p1=0.5，p2=0.3，p3=0.6，q1=0.4，q2=0.7，q3=0.3，

取激活函數(shù)為fi（xi）=（sin xi+ xi）/4，gi（xi）=hi（xi）=（cos xi+xi）/4，i=1、2、3，λ=1.4，Lipschitz 常數(shù)是L =M=N=1.故

滿足定理1 和定理2 的條件，因此模型（18）的平凡解x*=（0，0，0）T是全局多項式穩(wěn)定的.模型（18）不加脈沖和加脈沖的相圖與時間響應(yīng)曲線分別見圖3 和圖4.

圖3 模型（18）不加脈沖的相圖和時間響應(yīng)曲線（情況2）Fig.3 Phase diagram and time response curves of Model（18）without impulse（Case 2）

圖4 模型（18）加脈沖的相圖和時間響應(yīng)曲線（情況2）Fig.4 Phase diagram and time response curves of Model（18）with impulse（Case 2）

5 結(jié)論

本文針對一類具多比例時滯的脈沖遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過構(gòu)建Lyapunov 泛函和應(yīng)用不等式技巧研究了模型的漸近穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性，得到該模型漸近穩(wěn)定和多項式穩(wěn)定的時滯依賴的判定準則，并利用數(shù)值實驗驗證了結(jié)論的有效性和正確性. 同時，具比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多項式耗散性和多項式周期性也可用本文方法進行研究.